
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suite}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. }



\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
Indiquer sans justification la bonne réponse pour chaque question :
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Si $u_n=n^2+n-1$ alors $u_{n+1}=$}
\\
$u_{n+1}=(n+1)^2+(n+1)-1=n^2+2n+1+n+1-1=n^2+3n+1$
\item {\footnotesize On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}$ alors :}
\begin{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est croissante et admet pour limite $1$ ;
\item La suite $u$ est décroissante et admet pour limite $1$ ;
\item La suite $u$ admet pour limite $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{footnotesize}
Plus $n$ devient grand plus $\dfrac{1}{n+1}$ se rapproche de $0$ par conséquent :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$$
et on en déduit :
$$\lim\limits_{n\to +\infty} 1-\dfrac{1}{n+1}=1-0=1 $$
La suite $u$ admet pour limite $1$.
\\
De plus $$ u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{1}{n+2}-1+\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n+2-n-1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$$
Puisque $n\in\N$ alors $n\geq 0$ et donc $(n+1)(n+2)>0$ donc $\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ et donc :
$$ u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n \quad \forall n\in \N$$
Par conséquent la suite $u$ est croissante.
\\
\textbf{Conclusion} : La suite $u$ est croissante et admet pour limite $1$.
\item \begin{footnotesize}
Alice écrit la suite de nombres suivantes :
$$ 5\quad ; \quad 5 \quad ; \quad 6 \quad ;\quad 8 \quad ;\quad 11 \quad ;\quad 15 \quad ; \quad 20 \quad ; \quad 26 \quad ;\quad 33 \quad ;\quad \dots $$
Parmi les suites suivantes laquelle \textbf{ne permet pas} de retrouver la suite de nombre écrites par Alice :
\end{footnotesize}
\begin{footnotesize}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=u_n+n\end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=u_n+n+1\end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n}=u_{n-1}+n-1\end{array} \right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Testons la deuxième formule et calculons $u_1$, pour cela remplaçons $n$ par $0$ :
$$ u_1=u_0+0+1=5+1=6$$
Or, le deuxième nombre d'Alice est $5$ ; cette suite ne permet donc pas de retrouver la suite de nombre écrites par Alice.
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : 
$$ u_n=\sqrt{n}+n$$
\end{footnotesize}
\begin{footnotesize}
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>1000$ est :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ 91$ ;
\item $968$ ;
\item $ 969$ ;
\item  $ 970$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
$u_{91}=\sqrt{91}+91\simeq 100$ donc la réponse $(a)$ est fausse.
\\
$u_{968}=\sqrt{968}+968\simeq 999$ et $u_{969}=969**0.5+969\simeq 1000,12$. On en déduit que le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>1000$ est $n=969$.
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie par $ \left\{ \begin{array}{l} u_0=8 \\ u_{n+1}=u_n-7\end{array} \right.$ alors l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u$ est  réel,  $n$  un  entier et $A>0$ \\
}
{
$u:=8$ et $n:=0$\\
    \While{$ u>-A$ }
{$u:=u-7$ 
\\
$n:=n+1$}\\
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\end{footnotesize}
\begin{footnotesize}
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item permet d'afficher les termes de la suite $u$ ;
\item permet d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_n\leq -A$ ;
\item permet d'afficher le plus grand entier $n$ tel que $u_n>-A$ ;
\item ne sert à rien.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
La première affirmation est fausse, en aucun cas l'algorithme n'affiche $u$.
\\
La deuxième affirmation est vraie, effectivement l'algorithme affiche $n$ dès $u_n\leq -A$.
\\
La troisième affirmation est fausse, en effet l'algorithme affiche un entier $n$ tel que $u_n leq -A$, cela ne peut donc pas être le plus grand entier $n$ tel que $u_n>-A$.
\\
La dernière affirmation est complexe et demande de philosopher sur l'utile...
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill (4 points) \\
\begin{footnotesize}
On considère la suite définie pour $n \in \N$ par :
$$u_n= n^2-10n+16$$
Montrer que la suite $u$ est croissante à partir d'un rang que l'on précisera.
\end{footnotesize}

Etudions le signe de $u_{n+1}-u_n$ :
$$ u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-10(n+1)+16-(n^2-10n+16)=n^2+2n+1-10n-10+16 - n^2+10n-16=2n-9$$
Dressons le tableau de signe de $2n-9$ en fonction de $n$ qui s'annule lorsque $2n-9=0\Longleftrightarrow 2n=9\Longleftrightarrow n=4,5$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{n}&\tx{0}&&\tx{4,5}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2n-9}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
Ainsi dès lors que $n\geq 5$ (souvenez vous  $n$ désigne un nombre entier !) on a $$2n-9> 0\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n > 0 \Longleftrightarrow u_{n+1}> u_n$$
\\
On en déduit que la suite $u$ est strictement croissante à partir de $n=5$
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (8 points)\\
\begin{footnotesize}
On trouve dans les écrits anciens, chez Héron d'Alexandrie, un procédé permettant d'extraire la racine carrée d'un nombre :

\og Pour extraire la racine carrée de $A$, choisir une expression arbitraire $a$ ; et prendre la moyenne entre $a$  et $\dfrac{A}{a}$ et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent\fg{}

On considère alors l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$a$ est un nombre réel et $A>0$\\
}
{
Entrer $A$ et Entrer $a$\\
    \For{$i$ allant de $1$ à $3$  }
{$a:=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{A}{a}\right)$ 
\\
Afficher $a$}
}
}
\end{center}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre $a=4$ et $A=2$ ?}
\\
L'algorithme affiche les trois premiers termes de la suite $u$ définies ci-après, en l'occurrence il affiche  approximativement :
$$ 2,25\qquad 1.57\qquad 1.42$$
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=4 \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)\end{array} \right.$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner $u_1$ et $u_2$.}
$$ u_1=\dfrac{1}{2}\left(u_0+\dfrac{2}{u_0}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4+\dfrac{2}{4}\right)=\dfrac{9}{4}$$
$$ u_2=\dfrac{1}{2}\left(u_1+\dfrac{2}{u_1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{4}+\dfrac{2}{9/4}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{4}+\dfrac{2\times 4}{9}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{81}{36}+\dfrac{32}{36}\right)=\dfrac{113}{72}\simeq 1.57$$
\item {\footnotesize Donner une fonction $f$ telle que $f(u_n)=u_{n+1}$.}
\\
La fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$ pour $x\neq 0$ convient. \\
En effet :
$$ f(u_n)=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)=u_{n+1}$$
\item {\footnotesize Sur le graphique suivant, nous avons représenté la courbe de la fonction $f$ ainsi que la droite d'équation $y=x$ :}
\begin{footnotesize}
Placer sur l'axe des abscisses, \textbf{en utilisant $\mathscr C_f$ et la droite d'équation $y=x$}, les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On laissera apparent les traits de construction.
\end{footnotesize}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,0)(4,2.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,2.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,2.25)(0,2.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(4,2.25)(0,2.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.25)(2.25,2.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,2.25)(2.25,2.25)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.25,2.25)(2.25,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(2.25,2.25)(2.25,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.25,0)(2.25,1.56944)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(2.25,0)(2.25,1.56944)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.25,1.56944)(0,1.56944)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(2.25,1.56944)(0,1.56944)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.56944)(1.56944,1.56944)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,1.56944)(1.56944,1.56944)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.56944,1.56944)(1.56944,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.56944,1.56944)(1.56944,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.56944,0)(1.56944,1.42189)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.56944,0)(1.56944,1.42189)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.56944,1.42189)(0,1.42189)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.56944,1.42189)(0,1.42189)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.42189)(1.42189,1.42189)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(0,1.42189)(1.42189,1.42189)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.42189,1.42189)(1.42189,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{-}(1.42189,1.42189)(1.42189,0)
\def\F{1 2 div x 2 x div add mul}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0.001}{5}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{5}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](4,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,2.25){\small $u_1$}
\uput[-90](2.25,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,1.56944){\small $u_2$}
\uput[-90](1.56944,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,1.42189){\small $u_3$}
\uput[-90](1.42189,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize En se servant du graphique précédent, conjecturer le sens de variation de la suite $u$ ainsi que la limite $\ell$ de la suite $u$.}
\\
Graphiquement on constate que $u_0>u_1>u_2>u_3$, il semble donc que $u$ soit décroissante.
\\
Les termes de la suite se rapprochent de l'abscisse du point d'intersection de $\mathscr C_f$ et de la droite d'équation $y=x$, on conjecture que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n\simeq 1.4$$
\end{enumerate}
\item{\footnotesize  On souhaite résoudre l'équation $(E) : \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)=x$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $x^2-2=0$.}
$$ x^2-2=0\Longleftrightarrow x^2=2\Longleftrightarrow x=\sqrt{2}\qquad \text{ou}\qquad x=-\sqrt{2}$$
Ainsi l'équation $x^2-2=0$ admet deux solutions :
$$ \mathscr S=\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}$$
\item {\footnotesize Montrer que résoudre l'équation $(E)$ revient à résoudre l'équation $x^2-2=0$.}
Pour $x\neq 0$ on a la suite d'équivalence suivante :
$$ \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)=x \Longleftrightarrow x+\dfrac{2}{x}=2x$$
On multiplie tout par $x$ :
$$ (E) \Longleftrightarrow x^2+2=2x^2 \Longleftrightarrow x^2+2-2x^2=0\Longleftrightarrow -x^2+2=0\Longleftrightarrow 0=x^2-2$$
\item {\footnotesize Que peut-on penser de la valeur exacte de la limite $\ell$ de la suite $u$ ?}
\\
La limite de la suite $u$ semble être l'abscisse positif du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et la droite d'équation $y=x$, donc semble être la solution (positive) de l'équation $f(x)=x$ qui est $\sqrt{2}$ ; on peut donc penser que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\sqrt{2}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (3 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-5x+1$.\\
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la représentation graphique de $f$ et de la droite d'équation $y=x$.
\end{footnotesize}

L'abscisse des points d'intersection de la représentation graphique de $f$ et de la droite d'équation $y=x$ sont les solutions de l'équation :
$$ f(x)=x \Longleftrightarrow x^2-5x+1=x\Longleftrightarrow x^2-6x+1=0$$
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 1\times 1=32>0$ donc l'équation précédente admet deux solutions que voici :
$$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-\sqrt{32}}{2}=3-\sqrt{8}\qquad \text{et}\qquad x_2=3+\sqrt{8}$$
Puisque les points que l'on cherche sont sur la droite d'équation $y=x$ ils ont même abscisse et même ordonnée, par conséquent les deux points d'intersection $A$ et $B$ entre la représentation graphique de $f$ et la droite d'équation $y=x$ ont pour coordonnées :
$$ A\left(3-\sqrt{8};3-\sqrt{8}\right) \qquad \text{et}\qquad B\left(3+\sqrt{8};3+\sqrt{8}\right)$$
\end{exoi}




\end{document}
