
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{D\'erivation}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez au moins deux exercices parmi les trois suivants. \hfill A rendre le 16/02/15 }

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $ f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x}$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize A l'aide de la définition, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.}

Calculons alors pour $h\neq 0$ le nombre $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ :

$$ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{\dfrac{(1+h)^2+1+h+2}{1+h}-\dfrac{1+1+2}{1}}{h}=\dfrac{\dfrac{1+2h+h^2+1+h+2}{1+h}-4}{h}=\dfrac{\dfrac{h^2+3h+4}{1+h}-\dfrac{4(1+h)}{1+h}}{h}$$ ce qui donne :
$$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =\dfrac{h^2+3h+4-4-4h}{h(1+h)}=\dfrac{h^2-h}{h(1+h)}=\dfrac{h(h-1)}{h(1+h)}=\dfrac{h-1}{1+h}$$

Enfin :
$$ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{h-1}{1+h}=\dfrac{0-1}{1+0}=-1$$

Ainsi on vient de démontrer que $f'(1)=-1$.
\item {\footnotesize Déterminer, avec les formules du cours, la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier le résultat obtenu à la question $1$.}

La fonction $f$ est un quotient, de la forme $\dfrac{u}{v}$ par conséquent $f$ est dérivable sur $\R^*$ et on a, pour  tout réel $x\neq 0$

$$ f'(x)=\dfrac{(x^2+x+2)'x-(x^2+x+2)(x)'}{x^2}=\dfrac{(2x+1)x-(x^2+x+2)\times 1}{x^2}=\dfrac{2x^2+x-x^2-x-2}{x^2}=\dfrac{x^2-2}{x^2}$$

En particulier pour $x=1$ on retrouve :

$$ f'(1)=\dfrac{1-2}{1}=-1$$
\item {\footnotesize Ecrire une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.}

Au point d'abscisse $1$ l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ est de la forme :

$$ y=f'(1)(x-1)+f(1)$$

où  $f'(1)=-1$ d'après les questions précédentes et $f(1)=\dfrac{1+1+2}{1}=4$ et donc une équation de cette fameuse tangente est :
$$ y=-(x-1)+4=-x+1+4=-x+5$$
\item \begin{footnotesize}
Existe-t-il des tangentes à la courbes parallèles à la droite d'équation $y=-7x-5$ ?\\
Si oui préciser les points de la courbe qui correspondent à ces tangentes.
\end{footnotesize}

Si une tangente est parallèle à la droite d'équation $y=-7x-5$ alors son coefficient directeur vaut $-7$. Le coefficient directeur de la tangente étant $f'(x)$,  on cherche  les valeurs de $x$ telles que  :

$$ f'(x)=-7 \Longleftrightarrow \dfrac{x^2-2}{x^2}=-7\Longleftrightarrow x^2-2=-7x^2\Longleftrightarrow 8x^2=2\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{4} \Longleftrightarrow x=\pm \dfrac{1}{2}$$

Il existe deux tangentes à la courbe parallèles à la droite d'équation $y=-7x-5$. Elles passent respectivement par les points d'abscisses $0,5$ et $-0,5$. Déterminons l'ordonnée de ces points :

$$ f(0,5)=\dfrac{0,5^2+0,5+2}{0,5}=\dfrac{2,75}{0,5}=5,5\qquad \text{et}\qquad f(-0,5)=\dfrac{(-0,5)^2-0,5+2}{-0,5}=\dfrac{0.25-0.5+2}{-0,5}=\dfrac{2,25}{-0,5}=-4,5$$

Les points de la courbe qui correspondent à ces tangentes ont pour coordonnées $(0,5;5,5)$ et $(-0,5;-4,5)$.


\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit$\\
\begin{footnotesize}
Etudier la fonction $f$ définie par $ f(x)=\dfrac{x^2}{x+2}$
L'étude d'une fonction comprend les étapes suivantes :
\end{footnotesize}

\begin{itemize}
\item \textit{Ensemble de définition} :

La fonction $f$ est définie pour $x$ vérifiant $x+2\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq -2$ d'où :
$$ \mathscr D_f=\R\textbackslash \{-2\}$$
\item \textit{Ensemble de dérivabilité} :

 $f$ est dérivable sur son ensemble de définition (pour une justification plus précise, il faudra attendre d'être en terminale) ainsi $f'$ est définie pour $x\in \R\textbackslash \{-2\}$

\item \textit{Calcul de la dérivée} :

Pour $x\neq -2$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(x^2)'(x+2)-x^2(x+2)'}{(x+2)^2}=\dfrac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=\dfrac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x}{(x+2)^2}$$
\item \textit{Etude du signe de la dérivée} :

$(x+2)^2>0$ lorsque $x\neq 2$ donc $f'(x)$ a le même signe que $x^2+4x$.

Nous déterminons les racines de $x^2+4x$ i.e. les solutions de l'équation $x^2+4x=0\Longleftrightarrow x(x+4)=0$ qui sont donc $0$ et $-4$ (pas besoin de calculer le discriminant ici, mais on peut le faire).

Nous obtenons alors  :

\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-4}&&\tx{-2}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$






\item \textit{Tableau de variation} :



Du tableau précédent on déduit immédiatement :

\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-4}&&\tx{-2}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&&\fm&\txh{-8}&\fd&\doubletraitmilieu&\fd&\txb{0}&\fm&\cr
}$$


\item \textit{Recherche des points d'intersection avec les axes du repère} :

Les points d'intersection avec l'axe des ordonnée ont pour abscisse $0$ donc on calcule $f(0)$ :

$f(0)=\dfrac{0^2}{0+2}=0$.

Il existe un unique point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des abscisses, il a pour coordonnée $(0;0)$.

Les points d'intersection avec l'axe des abscisses ont pour ordonnée $0$ donc on résout $f(x)=0$ :

$$f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{x^2}{x+2}=0\Longleftrightarrow x^2=0\times (x+2)  \Longleftrightarrow x^2=0 \Longleftrightarrow x=0$$

Il existe un unique point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnées, il a pour coordonnée $(0;0)$.



\item \textit{Représentation graphique} :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{dm6.eps}
\end{center}

\end{itemize}
\end{exoi}


\pagebreak
\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit$

\partieBac{Avec un pavé}
\begin{footnotesize}
Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur $y$ et dont la base est un carré de côté $x>0$. L’unité de longueur est le décimètre.

\end{footnotesize}
\textbf{But} : \textit{L'industriel cherche à construire une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ et de surface minimale.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $y=\dfrac{1}{x^2}$ puis en déduire que la surface totale de la boite vaut $S(x)=2x^2+\dfrac{4}{x}$.}

Le volume du parallélépipède rectangle de hauteur $y$ et dont la base est un carré de côté $x>0$ vaut :
$$ y\times x \times x=yx^2$$

Puisqu'il vaut aussi $1$ on a $yx^2=1 \Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{x^2}$

La surface totale est constitué de deux carrés de côté $x$ et de 4 rectangles de côté $y$ et $x$ donc :
$$ S(x)=2\times x^2 + 4\times yx=2x^2+4yx$$
Puisque $y=\dfrac{1}{x^2}$ on obtient :
$$ S(x)=2x^2+4\times \dfrac{1}{x^2}\times x=2x^2+\dfrac{4}{x}$$

\item
\begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$ \forall x>0,\qquad  S'(x)=\dfrac{4(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$$
\end{footnotesize}

Pour $x>0$ on a :

$$ S'(x)=2\times 2x + 4\times \left(\dfrac{1}{x}\right)'=4x+4\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=4x-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{4x\times x^2-4}{x^2}=\dfrac{4x^3-4}{x^2}=\dfrac{4(x^3-1)}{x^2}$$

Or, $ (x-1)(x^2+x+1)= x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1$ donc :

$$ S'(x)=\dfrac{4(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$$
\begin{footnotesize}
En déduire le tableau de signe de $S'$ puis le tableau de variation de $S$.
\end{footnotesize}

Pour tout $x>0$ on a $x^2>0$ et donc $S'(x)$ a le même signe que $4(x-1)(x^2+x+1)$


Déterminons le signe du trinôme $x^2+x+1$ :

$\Delta= 1-4=-3<0$ donc $x^2+x+1$ est de signe constant et puisque $a=1>0$ on a pour tout réel $x$ $x^2+x+1>0$ d'où :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{4(x-1)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{x^2+x+1}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{4(x-1)(x^2+x+1)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{S'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$



\item {\footnotesize Quelles doivent être les dimensions de la boîte pour que la surface soit minimale ?}

Du tableau de signe de $S'$ on déduit immédiatement les variations de $S$ :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{S'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{S(x)}&&\fd&\txb{6}&\fm&\cr
}$$

De ce même tableau on tire que la surface est minimale lorsque $x=1$. Dans ce cas $y=\dfrac{1}{1^2}=1$. Autrement dit pour que la surface de la boîte soit minimale il faut que la boîte soit un cube de côté $1$.

\end{enumerate}

\partieBac{Avec un cylindre}
{\footnotesize Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ ayant la forme d’un cylindre de hauteur $y$ et dont le rayon de la base vaut $x>0$. L’unité de longueur est le décimètre.} 

{\footnotesize \textit{L'industriel cherche de nouveau à minimiser la surface. En vous inspirant le partie A, déterminer quelles doivent être les dimensions du cylindre pour que la surface soit minimale.}}

On procède de la même manière que précédemment.

Le volume du cylindre vaut :

$$  \pi x^2 \times y$$

Mais il vaut aussi $1$ d'où :
$$ \pi x^2 y=1 \Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{\pi x^2}$$

La surface du cylindre est constitué de deux cercles de rayons $x$ et d'un rectangle de dimension $y$ et $2\pi x$ d'où, si on note $S(x)$ la surface du cylindre :
$$ S(x)=2\times \pi	x^2 + y \times 2\pi x=2\pi x^2 + 2\pi xy$$

Or, $ y=\dfrac{1}{\pi x^2}$ donc :
$$ S(x)=2\pi x^2 + 2\pi x \times \dfrac{1}{\pi x^2}=2\pi x^2+\dfrac{2}{x}$$


Afin d'étudier les variations de la fonction $S$ on calcule $S'$ :

$$ S'(x)=4\pi x-\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{4\pi x^3-2}{x^2}$$

Puisque pour $x>0$ on a $x^2>0$, il suit que $S'(x)$ est du signe de $4\pi x^3-2$.

Or, $4\pi x^3-2=0 \Longleftrightarrow x^3=\dfrac{1}{2\pi}\Longleftrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}$.

De plus si $x>\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}$ alors $x^3>\dfrac{1}{2\pi}\Longleftrightarrow  2\pi x^3 >1 \Longleftrightarrow 4\pi x^3 >2 \Longleftrightarrow 4\pi x^3-2>0 \Longleftrightarrow S'(x)>0$ 

Nous pouvons désormais établir le tableau de signe de $S'$ et en déduire le tableau de variation de $S$.

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{4\pi x^3-2}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{S'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{S(x)}&&\fd&\txb{S(1)}&\fm&\cr
}$$



De ce  tableau on tire que la surface est minimale lorsque $x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}$. Dans ce cas la hauteur vaut $$ y=\dfrac{1}{\pi \left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{2\pi}}\right)^2}$$ 
\end{exoi}

Le cylindre minimisant la surface a pour rayon $x\simeq 1,16$ et pour hauteur $y\simeq 0.24$
\end{document}
