
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Maison 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie plane vectorielle}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez l'un des exercices suivants. \hfill A rendre le 17/01/15 }

\begin{exoi}\hfill $\star$\\
{\footnotesize Soit $ABC$ un triangle.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Construire les points $D$ et $E$ vérifiant :
$$ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AB}\qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$$
\end{footnotesize}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.65,-3.36)(14.19,7.56)
\psline(1,2)(7.44,6.09)
\psline(7.44,6.09)(6.51,1.47)
\psline(6.51,1.47)(1,2)
\psline{->}(1,2)(0.07,-2.62)
\psline{->}(0.07,-2.62)(12.95,5.56)
\psline{->}(1,2)(1.93,6.62)
\psline{->}(1.93,6.62)(-3.58,7.15)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,2)
\rput[bl](1.11,2.07){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.44,6.09)
\rput[bl](7.56,6.15){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.51,1.47)
\rput[bl](6.63,1.53){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](12.95,5.56)
\rput[bl](13.08,5.61){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3.58,7.15)
\rput[bl](-3.45,7.2){$E$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Démontrer que $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$. Que peut-on en déduire ?}

On utilise la relation de Chasles et les données de l'énoncé de la manière suivante :

$$ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AB}=
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

De l'égalité $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$ on déduit que le quadrilatère $BDCA$ est un parallélogramme.
\item {\footnotesize Démontrer que $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{CA}$. Déduire des deux précédentes égalités que $E$, $B$ et $D$ sont alignés.}

On utilise la relation de Chasles et les données de l'énoncé de la manière suivante :

$$ \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CA}$$
\item {\footnotesize Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Justifier que $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$. Que peut-on en déduire pour $(AE)$ et $(CI)$ ?}

On utilise la relation de Chasles et le fait que $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ puisque $I$ est le milieu de $[AB]$ et on obtient quasi-immédiatement :

$$ \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{CI}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\begin{exoi} \hfill $\star \star \star$ \\
\begin{footnotesize}
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $A'$ le milieu de $[BC]$, $B'$ le milieu de $[AC]$ et $C'$ le milieu de $[AB]$.
\\
Soit $G$ le point du plan vérifiant :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser une figure que vous compléterez au fur et à mesure.}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.13,-4.07)(9.35,6.05)
\psline(1,2)(3,4)
\psline(3,4)(8,2)
\psline(8,2)(1,2)
\psline(2,3)(8,2)
\psline(3,4)(4.5,2)
\psline(1,2)(5.5,3)
\psline{->}(2.64,5.68)(1,2)
\psline{->}(2.64,5.68)(6.72,-3.36)
\psline{->}(1,2)(1.36,0.32)
\psline{->}(2.64,5.68)(8,2)
\psline{->}(1.36,0.32)(6.72,-3.36)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,2)
\rput[bl](1.08,2.05){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,4)
\rput[bl](3.08,4.05){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8,2)
\rput[bl](8.1,2.05){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,3)
\rput[bl](1.8,3.06){$C'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.5,3)
\rput[bl](5.59,3.04){$A'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.5,2)
\rput[bl](4.6,2.05){$B'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,2.67)
\rput[bl](4.09,2.71){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.64,5.68)
\rput[bl](2.73,5.72){$M$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Justifier que le couple $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ constitue une base de l'espace des vecteurs.}

$ABC$ étant un triangle, cela suggère que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés et donc que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent le couple $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ constitue une base de l'espace des vecteurs.
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que le point $G$ vérifie :
$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$
\end{footnotesize}

Par définition $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ donc :
$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \Longleftrightarrow 3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$
\item\begin{footnotesize}
 Démontrer que :
$$ \overrightarrow{AA'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
\end{footnotesize}

On utilise la relation de Chasles :

$$ \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'}$$

Or, $\overrightarrow{BA'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, par conséquent :
$$ \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que :
$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$$
\end{footnotesize}

On a démontré que $\overrightarrow{AA'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ ainsi :
$$ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}$$
{\footnotesize Que peut-on dire des points $A$, $A'$ et $G$ ?}

On vient de démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AA'}$ sont colinéaires, on en déduit donc que les points $A$, $A'$ et $G$ sont alignés.
\item {\footnotesize Par un raisonnement analogue, que l'on ne demande pas de refaire, donner deux autres relations vectorielles impliquant $G$ et $B'$ (puis $G$ et $C'$).}
\\
Par des raisonnements analogues on peut démontrer que :
$$ \overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB'}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{CG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CC'}$$
{\footnotesize Que peut-on en déduire sur $G$ ?}

$G$ se situe sur chacune des $3$ médianes du triangle $ABC$.

 {\footnotesize Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?}
 
 $G$ représente le centre de gravité du triangle $ABC$, on peut ajouter que le centre d'un triangle se situe au deux tiers de chaque médiane (partant d'un sommet du triangle).
\item \begin{footnotesize}
Soit $M$ un point quelconque du plan, démontrer que :
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$$
\end{footnotesize}

Pour tout point $M$ on a :

$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+
\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}+
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}
$$
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}
