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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez l'exercice suivant. \hfill A rendre le 01/12/14 }

\begin{exoi} \hfill $\star \star $ \\
\begin{footnotesize}
On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{graph.eps}
\end{center}
Déterminer une fonction $f$ pouvant admettre une telle représentation graphique. On justifiera soigneusement sa réponse.
\end{footnotesize}
\\
La forme de la représentation graphique ci-dessus rappelle la parabole ; de plus la représentation graphique est au dessus de l'axe des abscisses c'est pourquoi on cherche des fonctions $f$ sous la forme :
$$ f(x)=\left|ax^2+bx+c\right|$$
Les racines du polynôme $ax^2+bx+c$ sont $-2,5$ et $4$ par conséquent :
$$ ax^2+bx+c=a(x-(-2,5))(x-4)=a(x+2,5)(x-4)=a(x^2+2,5x-4x-10)=a(x^2-1,5x-10)=ax^2-1,5ax-10a$$
De plus graphiquement $f(0)=5$ donc :
$$ |a\times 0^2+b\times 0+c|=5 \Longleftrightarrow |c|=5 \Longleftrightarrow c=\pm 5$$
Si $c=5$ alors on a :
$$ ax^2+bx+5=ax^2-1,5ax-10a$$
Par identification on en déduit que $-10a=5 \Longleftrightarrow a=\dfrac{5}{-10}=-0,5$ et donc :
$$ ax^2-1,5ax-10a=-0,5x^2+1,5\times 0,5 x+5=-0,5x^2+0,75x+5$$
Une fonction pouvant admettre une telle représentation graphique est donc la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par :
$$ f_1(x)=|-0,5x^2+0,75x+5|$$
Si $c=-5$ alors :
$$ ax^2+bx-5=ax^2-1,5ax-10a$$
Par identification on en déduit que $-10a=-5 \Longleftrightarrow a=\dfrac{5}{10}=0,5$ et donc :
$$ ax^2-1,5ax-10a=0,5x^2-1,5\times 0,5 x-5=0,5x^2-0,75x-5$$
Une fonction pouvant admettre une telle représentation graphique est donc la fonction $f_2$ définie sur $\R$ par :
$$ f_2(x)=|0,5x^2-0,75x-5|$$
Il existe deux polynôme dont la valeur absolue donne la représentation graphique de l'énoncé, cependant on a :
$$ f_1(x)=f_2(x)$$
\end{exoi}



\end{document}
