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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Maison 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez l'exercice suivant. \hfill A rendre le 12/11/14 }

\begin{exoi} \hfill $\star \star $ 

\partieBac{Echauffement}
\begin{footnotesize}
Résoudre, dans $\R$, les équations trigonométriques suivantes :
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $\sin x=-1$

Un unique point du cercle est associé à des réels dont le sinus vaut $-1$ ; ces réels sont de la forme $-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ avec $k\in \Z$ ; ce qui nous permet de conclure que :
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{avec}\quad k\in \Z \right\}$$
\item $\sin x =2$

Nous savons que pour tout réel $x$ $-1\leq \sin x\leq 1$, par conséquent il n'existe aucun nombre réel tel que $\sin x=2$.

$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Deux points du cercle trigonométrique sont associés à des réels dont le sinus vaut $-\dfrac{1}{2}$, les premiers sont tous de la forme $-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in \Z$ et les autres sont de la forme $\dfrac{-5\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in\Z$ ce qui donne :
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{avec}\quad  k\in \Z; \dfrac{-5\pi}{6}+2k\pi \quad \text{avec} \quad k\in \Z\right\}$$
\end{enumerate}
\partieBac{Polynôme et trigonométrie}
\begin{footnotesize}
Le but de cette partie est de résoudre l'équation $(E)$ suivante :
$$ 2\sin^3 x+\cos^2 x-5\sin x-3=0$$
Pour cela on considère le polynôme  définie sur $\R$ par :
$$ P(X)=2X^3-X^2-5X-2$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que $P(-1)=0$.}

$$ P(-1)=2\times (-1)^3-(-1)^2-5\times (-1)-2=-2-1+5-2=0$$
\item \begin{footnotesize}
Déterminer trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ vérifiant :
$$ P(X)=(X+1)(aX^2+bX+c)$$
\end{footnotesize}

Supposons qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ qui vérifient $P(X)=(X+1)(aX^2+bX+c)$, dans ce cas :
$$ P(x)=aX^3+bX^2+cX+aX^2+bX+c=aX^3+(b+a)X^2+(c+b)X+c$$
Or, $P(X)=2X^3-X^2-5X-2$, donc en choisissant $a=2$, $b+a=-1\Longleftrightarrow b=-1-a=-3$, $c+b=-5\Longleftrightarrow c=-5+3=-2$ on obtient l'égalité désiré.

On vient de démontrer que :
$$ P(X)=2X^3-X^2-5X-2=(X+1)(2X^2-3X-2)$$
\item {\footnotesize En déduire les solutions de l'équation $P(X)=0$.}

$$ P(X)=0 \Longleftrightarrow (X+1)(2X^2-3X-2)=0$$
Or, un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul d'où :
$$ P(X)=0 \Longleftrightarrow X+1=0\qquad \text{ou}\qquad 2X^2-3X-2=0 \Longleftrightarrow X=-1 \qquad \text{ou}\qquad 2X^2-X-2=0$$

Pour résoudre $2X^2-3X-2=0$ calculons le discriminant $\Delta= b^2-4ac=9-4\times 2\times (-2)=25$
donc l'équation $2X^2-3X-2=0$ admet deux solutions :
$$ x_1=\dfrac{3+ \sqrt{25}}{4}=2\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}$$

Au final le polynôme $P$ admet $3$ racines qui sont $-1$ ; $-\dfrac{1}{2}$ et $2$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que résoudre l'équation $2\sin^3 x+\cos^2 x-5\sin x-3=0$ revient à résoudre l'équation :
$$ 2\sin^3 x-\sin^2 x-5\sin x-2=0$$
\end{footnotesize}

On sait que pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow \cos^2 x=1-\sin^2 x$ d'où :
$$ 2\sin^3 x+\cos^2 x-5\sin x-3=0\Longleftrightarrow 2\sin^3 x+1-\sin^2 x-5\sin x-3=0 \Longleftrightarrow 2\sin^3 x-\sin^2 x-5\sin x-2=0 $$
\item {\footnotesize En posant $X=\sin x$ et en utilisant les résultats des questions précédentes donner l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.}


On cherche à résoudre $ 2\sin^3 x-\sin^2 x-5\sin x-2=0$ puisqu'elle a les mêmes solutions que l'équation $(E)$ d'après la question précédente, puis en posant $X=\sin x$ cette équation devient :
$$ 2X^3-X^2-5X-2=0 \Longleftrightarrow P(X)=0 \Longleftrightarrow X\in \left\{-1;-\dfrac{1}{2};2\right\}$$

Ainsi l'ensemble des solutions de $(E)$ vérifient $\sin x=-1$ ou $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ ou $\sin x=2$. On utilise alors les résultats de la première question pour déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ que voici :
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{avec} \quad k\in \Z ;-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{avec}\quad  k\in \Z; \dfrac{-5\pi}{6}+2k\pi \quad\text{avec} \quad k\in \Z\right\}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}
