
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites et Second degr\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez au moins l'exercice 1. \hfill A rendre le 08/10/14 } 

\begin{exoi}\hfill $\star\star$
\\
\begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=4\\ u_{n+1}=\dfrac{2 u_n}{2-u_n}\quad  \forall n \geq 0 \end{array} \right.$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.}
\begin{multicols}{2}
pour $n=0$
\begin{equation*}
u_1=\dfrac{2\times u_0}{2-u_0}=\dfrac{2\times 4}{2-4}=\dfrac{8}{-2}=-4
\end{equation*}
pour $n=1$ 
\begin{equation*}
u_2=\dfrac{2u_1}{2-u_1}=\dfrac{2\times(-4)}{2+4}=\dfrac{-8}{6}=\dfrac{-4}{3}
\end{equation*}
pour $n=2$
\begin{equation*}
u_3=\dfrac{2u_2}{2-u_2}=\dfrac{2\times \left(-\frac{4}{3}\right)}{2+\frac{4}{3}}=\dfrac{-8/3}{10/3}=-\dfrac{8}{10}=-\dfrac{4}{5}
\end{equation*}
pour $n=3$
\begin{equation*}
u_4=\dfrac{2u_3}{2-u_3}=\dfrac{2\times \left(\frac{-4}{5}\right)}{2+\frac{4}{5}}=\dfrac{-8/5}{14/5}=-\dfrac{8}{14}=-\dfrac{4}{7}
\end{equation*}
\end{multicols}
\item \textbf{Représentation graphique} :
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.}\\
Soit $f$ la fonction définie our $x\neq 2$ par $f(x)=\dfrac{2x}{2-x}$. On a alors :
$$ f(u_n)=\dfrac{2u_n}{2-u_n}=u_{n+1}$$
Ainsi la fonction $f$ convient.
\item {\footnotesize On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$. Sur l'axe des abscisses, placer $u_0$ puis construire $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en laissant apparent les traits de construction.}
\begin{center}

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-6.59999)(6.5,2.59999)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-6} \def\ymax{2}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-6.5,-6.59999)(6.5,2.59999)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,0)(4,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,-4)(0,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,-4)(0,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-4)(-4,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,-4)(-4,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-4,-4)(-4,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-4,-4)(-4,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-4,0)(-4,-1.33334)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-4,0)(-4,-1.33334)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-4,-1.33334)(0,-1.33334)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-4,-1.33334)(0,-1.33334)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-1.33334)(-1.33334,-1.33334)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,-1.33334)(-1.33334,-1.33334)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.33334,-1.33334)(-1.33334,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-1.33334,-1.33334)(-1.33334,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.33334,0)(-1.33334,-0.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-1.33334,0)(-1.33334,-0.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.33334,-0.8)(0,-0.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-1.33334,-0.8)(0,-0.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-0.8)(-0.8,-0.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,-0.8)(-0.8,-0.8)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.8,-0.8)(-0.8,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-0.8,-0.8)(-0.8,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.8,0)(-0.8,-0.57143)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-0.8,0)(-0.8,-0.57143)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.8,-0.57143)(0,-0.57143)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-0.8,-0.57143)(0,-0.57143)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-0.57143)(-0.57143,-0.57143)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,-0.57143)(-0.57143,-0.57143)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.57143,-0.57143)(-0.57143,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-0.57143,-0.57143)(-0.57143,0)
\def\F{2 x mul 2 x sub div}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-6}{6}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{1.999}{\F}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2.001}{6}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](4,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,-4){\small $u_1$}
\uput[-90](-4,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,-1.33334){\small $u_2$}
\uput[-90](-1.33334,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,-0.8){\small $u_3$}
\uput[-90](-0.8,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,-0.57143){\small $u_4$}
\uput[-90](-0.57143,0){\small $u_4$}
\end{pspicture*}



\end{center}
\item {\footnotesize Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la limite de la suite $(u_n)$ ?}

Lorsque l'on place $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sur l'axe des abscisses ils apparaissent dans l'ordre croissant, on peut \textbf{conjecturer } que la suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $1$.

De plus les termes  de la suite se rapproche de l'abscisse du point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec la droite d'équation $y=x$ qui vaut $0$, on \textbf{conjecture} alors que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=\dfrac{-4}{2n-1}$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $w_0$, $w_1$,  $w_2$, $w_3$ et $w_4$. Que constate-t-on ?}

$$ w_0=\dfrac{-4}{2\times 0-1}=4\qquad \text{et}\qquad w_1=\dfrac{-4}{2\times 1-1}=\dfrac{-4}{1}=-4$$
Puis en procédant de même :

$$ w_2=\dfrac{-4}{2\times 2-1}=\dfrac{-4}{3}\qquad \text{;}\qquad w_3=\dfrac{-4}{2\times 3-1}=\dfrac{-4}{5}\qquad \text{et}\qquad w_4=\dfrac{-4}{2\times 4-1}=\dfrac{-4}{7}$$

On constate que les suites $u$ et $w$ sont identiques pour $n$ allant de $0$ à $4$ c'est-à-dire :
$$ u_0=w_0\qquad \text{; }\qquad u_1=w_1\qquad \text{;}\qquad u_2=w_2 \qquad \text{;}\qquad u_3=w_3 \qquad \text{et}\qquad u_4=w_4$$
\textbf{On admet que les suites $u$ et $w$ sont identiques.}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$ w_{n+1}-w_n=\dfrac{8}{(2n+1)(2n-1)}\qquad \forall n\in \N$$
\end{footnotesize}

Puisque $w_n=\dfrac{-4}{2n-1}$ on a $w_{n+1}=\dfrac{-4}{2(n+1)-1}=\dfrac{-4}{2n+2-1}=\dfrac{-4}{2n+1}$

On en déduit que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ w_{n+1}-w_n=\dfrac{-4}{2n+1}-\dfrac{-4}{2n-1}=\dfrac{-4(2n-1)}{(2n+1)(2n-1)}+\dfrac{4(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{-4(2n-1)+4(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}$$
c'est-à-dire :
$$ w_{n+1}-w_n=\dfrac{-8n+4+8n+4}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{8}{(2n-1)(2n+1)}$$
\item {\footnotesize En déduire que $w$ est croissante à partir du rang $1$.}
Etudions le signe de $\dfrac{8}{(2n-1)(2n+1)}$ ce qui revient à étudier le signe de $(2n-1)(2n+1)=4n^2-1$

Or, $\Delta=0^2-4\times 4\times (-1)=16$ le trinôme $4n^2-1$ admet donc deux racines qui sont :
$$ n_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad n_2=\dfrac{-b+{\Delta}}{2a}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$
On en déduit alors le signe du trinôme $4n^2-1$ :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{n}&\tx{0}&&\tx{0,5}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{4n^2-1}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$

On a donc $4n^2-1>0$ lorsque $n>0.5$ c'est-à-dire $w_{n+1}-w_n>0$ lorsque $n>0.5$ et donc $w_{n+1}>w_n$. Par conséquent la suite $w$ est croissante à partir de $n=1$ (soit du rang $1$).
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On donne l'algorithme suivant :}

\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u$ est un réel et $n$ un entier.
}
{\\
$n=1$ et $u:=-4$\\
  \While{$u<A$}
{$u:=\dfrac{2\times u}{2-u}$
\\$n:=n+1$ 
}
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Programme cet algorithme (sur algobox ou sur python ou sur votre calculatrice) et précisez ce qu'affiche l'algorithme si $A=-0.1$ puis si $A=-0.01$.}

L'algorithme sur Python pour $A=-0.1$:

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{dm2.eps}
\end{center}

et celui sur algobox pour $A=-0.01$ :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{dm2bis.eps}
\end{center}
\item {\footnotesize Que fait cet algorithme ?}

Cet algorithme affiche le plus entier naturel $n$ tel que $u_n\geq A$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $ \star \star \star$
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On pose $a=0.99999\dots$ (il y a une infinité de 9 et on le note $a=0.\underline{9}$). }
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Montrer que $10a = 9+a$}
 
 D'une part $10a=9,999999\dots$ et d'autre par $9+0,99999999999\dots = 9,99999\dots$ c'est-à-dire :
 $$ 10a=9+a$$
 \item {\footnotesize En déduire la valeur de $a$. \qquad \textit{Incroyable non ?! Et pourtant vrai, l'infini fait des miracles !}}
 
 Puisque $10a=9+a$ on a aussi $9a=9 $ ce qui équivaut à $a=1$.
 
 On vient de démontrer que $0,999999999999999\dots$ est \textbf{exactement} égal à $1$. 
\end{enumerate}
 \item {\footnotesize On pose  $\Phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}}$  \quad (il y a une infinité de racines imbriquées).}
 \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Montrer que $\Phi^2=1+\Phi$.} 
  
  $\Phi^2=\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}}\right)^2 = 1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}}=1+\Phi$
  \item {\footnotesize En déduire la valeur de $\Phi$. \qquad \textit{On appelle $\Phi$ le nombre d'or}}
  
  On sait que \quad $\Phi^2=\Phi+1 \iff \Phi^2-\Phi-1=0$.\\
On trouve $\Delta = (-1)^2-4\times 1 \times (-1)=5$ \hfill  Donc les solutions sont 
\quad $\Phi_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ \qquad et \qquad $\Phi_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.\\
Il est clair que $\Phi >0$, \quad ainsi $\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
  
   \item {\footnotesize Montrer que $\Phi=1+\dfrac1{\Phi}$.}
   
   On sait que $\Phi^2=\Phi + 1 \iff \Phi=1+\dfrac1{\Phi}$ car $\Phi \neq 0$.
 \item \begin{footnotesize}
\begin{footnotesize}
 En déduire que $\Phi = 1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}}=\dots$ \\
\textit{Cette écriture s'appelle le développement en fractions continues de $\Phi$}
\end{footnotesize}

Puisque \quad $\Phi=1+\dfrac1{\Phi}$ \quad en remplaçant successivement $\Phi$ par cette expression,
 on peut aussi dire que :
 $$\Phi=1+\dfrac1{\Phi} =1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}}=\dots  $$
 \end{footnotesize}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\star\star\star\star$\\
\begin{footnotesize}
On positionne $2016$ carrés de chocolat comme sur le dessin ci-dessous 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.64,-0.4)(4.14,3.44)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(3,0)
\psline(3,0)(3,1)
\psline(3,1)(0,1)
\psline(1,3)(1,0)
\psline(2,2)(2,0)
\psline(2,2)(0,2)
\psline(0,3)(1,3)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{itemize}
\item 1 carré sur la première ligne
\item 2 carrés sur la deuxième ligne, etc.
\end{itemize}
\end{multicols}
En détaillant le raisonnement, calculer le nombre de carrés de chocolat sur la dernière ligne.
\end{footnotesize}

L'algorithme suivant écrit en Python construit la figure :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{dm23.eps}
\end{center}

Il suffit de remplacer le $100$ par $2016$ pour voir s'afficher sur la $63$ ème ligne le nombre $2016$. Il y a enfin $63$ carrés de chocolat sur cette dernière ligne.


\end{exoi}

\end{document}
