
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 7}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Loi binomiale}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements.}

\begin{exoi}\hfill \textbf{6 points}\\
Une entreprise possède $50$ ordinateurs. Lorsque les employés de cette entreprise partent en week-end, les $50$ ordinateurs fonctionnent parfaitement. On suppose que chaque ordinateur a une probabilité égale à $0,01$ de tomber en panne pendant le week-end.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'ordinateur en panne le lundi matin.

\textit{On donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près.}
\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, la loi suivie par la variable aléatoire $X$ en préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'aucun ordinateur ne tombe en panne durant le week-end.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins un ordinateur soit en panne le lundi matin.
\item Déterminer $P(X=1)$ puis $P(X=2)$.
\item Déterminer la probabilité qu'au plus $2$ ordinateurs soient en panne le lundi matin.
\item Déterminer $E(X)$ puis interpréter. 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}

Des études statistiques ont montré qu'à la naissance, la probabilité d'avoir une fille est de $0,49$. On rencontre au hasard une famille de trois enfants, dont les naissances sont supposés indépendantes (c'est-à-dire que chaque enfant a $49\%$ de chance d'être une fille), et on s'intéresse au nombre de filles.


\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de filles dans cette famille.
\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, la loi suivie par la variable aléatoire $X$ en précisant ses paramètres.
\item Calculer la probabilité que cette famille ait au moins une fille.
\item Calculer la probabilité que cette famille ait au moins un garçon.
\end{enumerate}
\item On rencontre ensuite au hasard et de manière indépendante $10$ familles de trois enfants (les hypothèses sont les mêmes qu'au début de l'exercice).

On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de familles qui ont au moins une fille.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que neuf familles exactement sur les dix aient au moins une fille.
\end{enumerate}
\item Combien de familles de trois enfants doit-on rencontrer pour être sûr à plus de $99\%$ qu'au moins l'une d'entre elles ait au moins une fille ?
\end{enumerate}
\end{exoi}






\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}\\
Alice et Bob jouent une série de $12$ parties de dames. On suppose que la probabilité que Bob gagne une partie est identique pour chacune des $12$ parties de la série.

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de victoire de Bob. Nous savons que l'espérance de $X$ vaut $E(X)=\dfrac{48}{5}$.
\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit-elle une loi binomiale ? 
\item En déduire la probabilité $p$ que Bob gagne une partie.
\item Calculer $P(X=10)$.
%\item Calculer la probabilité qu'Alice gagne au moins une partie.
\end{enumerate}
\item Alice et Bob recommence une série de parties de dames pour lesquelles à chaque fois Bob gagne avec une probabilité égale à $\dfrac{4}{5}$. En revanche, ils décident d'interrompre la série dès qu'Alice remporte une partie.

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de parties disputées lors de cette série.
\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $Y$ suit-elle une loi binomiale ? Si oui, préciser ses paramètres.
\item Calculer $P(Y=1)$ et $P(Y=2)$.
\item La probabilité que Bob gagne plus de parties qu'Alice est-elle supérieure à $\dfrac{1}{2}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
