
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et d\'erivation - Partie A}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. Les exercices $1$, $2$, $3$ et $4$ rapportent chacun $5$ points.}

\begin{exoi}\textbf{Points alignés}\hfill \textbf{(4 points)}\\
 Dans un repère \Oij\, du plan, on donne les points :
 $$A(2,1) \qquad, \qquad B(x,4) \qquad \text{ et } \qquad C(3,x+2)$$
 \begin{enumerate}
  \item Montrer $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $x^2-x-5=0$
  \item En déduire les éventuelles valeurs de $x$ telles que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
 \end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi} \textbf{Parallélisme}\hfill \textbf{(3 points)}\\
%Dans un repère \Oij\, du plan, on considère les points :
%$$A(-1;-3) \qquad , \qquad B(-3;3) \qquad , \qquad C(4;2) \qquad \text{ et } \qquad D(7;-7)$$
%\begin{enumerate}
% \item Montrer que $(AB)//(CD)$.
% %\item Que pouvez-vous en déduire sur la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
% \item Déterminer les coordonnées de $E$ tel que $ABCE$ soit un parallélogramme.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(6 points)}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $ f(x)=\dfrac{x^2+2}{x}$
\begin{enumerate}
%\item A l'aide de la définition, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\item Montrer que pour $x\neq 0$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2}$$
\item \begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi étudier le signe de $f'(x)$ revient à étudier le signe de $x^2-2$.
\item Déterminer alors le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
%\item Déterminer, avec les formules du cours, la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier le résultat obtenu à la question $1$.
\item Ecrire une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.
\item Existe-t-il des tangentes à la courbes parallèles à la droite d'équation $y=-7x-5$ ?\\
Si oui préciser les points de la courbe qui correspondent à ces tangentes.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\textbf{Problème}\hfill \textbf{(10 points)}\\
$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés du plan. Les points $G$ et $F$ sont définis par :
$$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}+5\overrightarrow{CA}\qquad 
\text{et}\qquad \overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0} $$
\partieBac{Dans une base}
\begin{enumerate}
%\item Expliquer pourquoi $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ forme une base du plan.
\item Exprimer $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\item Démontrer que \quad $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
\item Compléter alors la figure donnée en annexe ci-contre.
\item Que peut-on dire du quadrilatère $AGBF$ ? \textit{(Justifier)}
\end{enumerate}
\partieBac{Dans un repère}
On se place dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ est un repère du plan.
\item Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$ et $G$. 
\textit{(Inutile de justifier, mais pensez à utiliser vos réponses de la partie A)}
\item Prouver que $F(-1;-3)$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BF)$.
\item On donne la droite $\mathscr D :\dfrac{3}{2}x+y=0$ et le point $E\left(2;-\dfrac{3}{2}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Le point $E$ est-il un point de $\mathscr D$ ? Si oui, le placer.  \\
Si non, déterminer l'abscisse du point $K$ de $\mathscr D$ d'ordonnée $-\dfrac32$ puis placer $K$.
\item La droite $\mathscr D$ est-elle parallèle à la droite $(BF)$ ?\\
Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$ et le placer.
\item Grâce aux informations des deux questions précédentes, tracer la droite 
$\mathscr D$.
%\item Déterminer l'équation de la droite $\mathscr D'$ parallèle à $(BF)$ et passant par $E$.\\
%\textit{Si vous avez fait l'erreur de répondre \og oui \fg à la question 4b) \textbf{ET} 
%à la question 4c), c'est à cette question que vous devriez vous en rendre compte ...}
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\pagebreak

\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }
$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill \textbf{Classe : 1S3}\\

\begin{center}
\textbf{Annexe : Exercice sur les vecteurs}
\end{center}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-10,-7)(7,11)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-7)(7,11)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,2)(2,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(2,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,-2)(0,0)
\rput[bl](-0.31,0.13){{$A$}}
\rput[bl](3.07,2.1){{$B$}}
\rput[bl](2.09,-2.27){{$C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak
\renewcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 5 - Partie B}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\renewcommand{\Ch}{D\'erivation}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\renewcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\renewcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\renewcommand{\Annee}{2014-2015}

\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. Les exercices $1$, $2$, $3$ et $4$ rapportent chacun $5$ points.}


\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}

La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-5)\qquad f'(-3)\qquad f'(-1) \qquad f'(0) \qquad f'(2)\qquad f'(6)$$
\item Le graphique ne permet pas la lecture de $f'(4)$, préciser néanmoins son signe (expliquer)
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,1,1)(-3,-2,-0.6666,3)(-1,-2,3,1)(0,2,1,1)(2,-1,0,1)(6,-2,-2,1)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-2){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\end{exoi}
\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}

On considère la fonction $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=x^3-9x-12$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P'(x)$ pour tout réel $x$.
\item Etudier le signe de $P'$ et en déduire le tableau de variation complet de $P$.
\item Donner le maximum et le minimum de $P$ sur l'intervalle $[-2;2]$.
\item Par lecture du tableau de variation de la fonction $P$, donner le nombre de solution de l'équation $P(x)=0$.\\
En donner une valeur approchée à l'aide de votre calculatrice, à $10^{-1}$ près.
\item \textbf{Application} : Un cube a une arête de $x$ cm. Un parallélépipède rectangle a pour dimensions : $1$ cm ; $3$ cm et $(3x+4)$ cm. Trouver la valeur de $x$ pour que ces $2$ solides aient le même volume.
\end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi} \hfill \textbf{points}
%
%$ABCD$ est un carré de côté $10$. $\mathscr C$ est le quart de cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ contenu dans le carré $ABCD$. $M$ est un point quelconque de $\mathscr C$. La tangente à $\mathscr C$ en $M$ coupe les segments $[BC]$ et $[CD]$ en $E$ et en $F$.
%\\
%\textbf{On se propose de trouver la position du point $M$ sur $\mathscr C$ pour que la longueur $EF$ soit minimale.}
%\begin{center}
%\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
%\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
%\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
%\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-0.78,-0.46)(5.06,4.72)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.29,3.81)(1.11,3.42)(1.5,3.25)(1.67,3.63)
%\psline[linecolor=qqzzqq](0,0)(4,0)
%\psline[linecolor=qqzzqq](4,0)(4,4)
%\psline[linecolor=qqzzqq](4,4)(0,4)
%\psline[linecolor=qqzzqq](0,4)(0,0)
%\parametricplot[linecolor=qqqqcc]{0.0}{1.5707963267948966}{1*4*cos(t)+0*4*sin(t)+0|0*4*cos(t)+1*4*sin(t)+0}
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0)(1.67,3.63)
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-0.32,4.55)(0.88,4)
%\psline[linecolor=ccqqqq](0.88,4)(4,2.56)
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4,2.56)(4.77,2.2)
%\rput[tl](2.98,2.38){$\qqqqcc{\mathscr C}$}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
%\rput[bl](-0.3,-0.18){$A$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,0)
%\rput[bl](4.12,-0.1){$B$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,4)
%\rput[bl](4.08,4.08){$C$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,4)
%\rput[bl](0.08,4.08){$D$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.67,3.63)
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.88,4)
%\rput[bl](0.96,4.08){$E$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,2.56)
%\rput[bl](4.08,2.64){$F$}
%\rput[bl](1.76,3.72){$M$}
%%\rput[bl](1.38,3.46){\qqwuqq{$90\textrm{\degre}$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%On pose $BF=x$ et $DE=y$. Le réel $x$ appartient à l'intervalle $[0;10]$.
%\begin{enumerate}
%\item En comparant successivement dans les triangles $AMF $ et $ABF $ justifier que $MF=x$. Procéder de même pour justifier que  $ME=y$. En déduire que $$ EF=x+y$$
%\item En considérant le triangle $CEF$, démontrer que :
%$$ EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$$
%puis, en utilisant le fait que $EF=x+y$, que 
%$$ y(2x+20)=-20x+200$$
%\item En déduire que $ y=\dfrac{100-10x}{x+10}$
%\item En déduire enfin que que $EF=x+y=\dfrac{x^2+100}{x+10}$.
%\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par :
%$$ f(x)=\dfrac{x^2+100}{x+10}$$
%\begin{enumerate}
%\item Etudier les variations de la fonction $f$.
%\item En déduire que la valeur minimum de $EF$ est $20\sqrt{2}-20$ et que dans ce cas, $BE=DF$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}\\
On considère la fonction $g$  par : $$ g(x)=\dfrac{x^2-3}{2x-1}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $g$.
\item Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
\item Etudier le signe de $g'$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
\item Déterminer les points d'intersection entre les axes du repère et la représentation graphique de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{2 points}

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I=[0;2]$ telles que : $f(0)=g(0)$ et $f'\leq g'$ sur $I$\newline
Démontrer que $f\leq g$ sur $I$ $^($\footnote{On pourra étudier les variations de $g-f$ }$^)$

\end{exoi}

\end{document}
