
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie ; suite ; fonctions et probabilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. Les exercices $1$, $2$, $3$ et $4$ rapportent chacun $5$ points.}



\begin{exoi}\hfill \textbf{Fonctions}\\
\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on place les points $D$ et $E$ respectivement sur $[AC]$ et $[AB]$ tels que $AD=BE=x$.
\\
\textit{Voir figure ci-contre}\\
\textbf{Données} : $AB=18$ m et $AC=8$ m.
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $-x^2+18x-72=0$.
\item Déterminer l'aire du triangle $ABC$.
\item Exprimer l'aire du triangle $ADE$ en fonction de $x$.
\item Déterminer $x$ pour que l'aire du triangle $ADE$ soit égale à la moitié de celle du triangle $ABC$.
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.42,-0.41)(2.34,3.22)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(2,0)
\psline(0,2.4)(0.6,0)
\psline(0,3)(2,0)
\rput[tl](-0.14,2.72){$x$}
\rput[tl](0.21,-0.1){$x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.1,-0.12){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](2.03,-0.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](-0.1,3.02){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,2.4)
\rput[bl](-0.13,2.36){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.6,0)
\rput[bl](0.61,-0.12){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des \textbf{entiers consécutifs} et dont la somme des aires est $15125$ ? Si oui, préciser quelles sont les valeur que doivent avoir les côtés.
\\
\textit{\underline{Indication} : On pourra démontrer que si $x$ est la longueur du plus petit des trois carrés alors $3x^2+6x-15120=0$} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Probabilit\'e}\\
Igor, un champion de roller sous marin, s'inscrit au championnat du monde de la discipline. Il doit effectuer deux figures pour lesquelles il est particulièrement entrainé. Par expérience il sait qu'il a $70\%$ de chance de réussir sa première figure, par contre il n'a que $40\%$ de chance de réussir sa deuxième figure. Le gouvernement Syldave a décidé de récompenser son champion de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item S'il réussit les deux figures, Igor reçoit la somme de $1000$ \euro{} Syldave.
\item S'il ne réussit qu'une figure, le gouvernement syldave récompense Igor d'un euro syldave.
\item Sinon Igor doit au gouvernement syldave la somme de $2000$ \euro{} Syldave.
\end{itemize}
On note $R_1$ l'événement :\og Igor réussit sa première figure \fg{} et $R_2$ l'événement :\og Igor réussit sa deuxième figure \fg{}
\begin{enumerate}
\item Décrire par un arbre pondéré cette expérience aléatoire.
\item Calculer $P(\overline{R_1}\cap \overline{R_2})$.
\item Calculer la probabilité qu'Igor réussisse les deux figures.
\item Calculer la probabilité qu'Igor réussisse exactement une figure.
\item On note $G$ la variable aléatoire donnant les gains d'Igor.
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $G$ puis déterminer la loi de probabilité de  $G$.
\item Déterminer l'espérance de $G$. Igor a-t-il raison de s'inscrire au championnat du monde ?
\item Déterminer l'écart-type $\sigma(G)$.
\end{enumerate}
\item Si Igor était Grolandais alors $Y=40G-100$ est la variable aléatoire qui donne les gains qu'Igor obtiendrait du gouvernement Grolandais. Calculer $E(Y)$ et $\sigma(Y)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{Trigonométrie} \\
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous :
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.14,-1.11)(1.2,1.19)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.14,-1.11)(1.2,1.19)
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.14,-1.11)(1.2,1.19)
\pscircle(0,0){3}
\psline(0.5,-1.11)(0.5,1.19)
\psplot{-1.14}{1.2}{(-0-1*x)/1}
\psplot{-1.14}{1.2}{(-0.5-0*x)/1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.02,0.01){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,-0.87)
\rput[bl](0.56,-0.96){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.71,0.71)
\rput[bl](-0.72,0.75){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.87,-0.5)
\rput[bl](0.87,-0.62){$A$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner la mesure principale associé aux points $A$, $B$ et $C$.
\item Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les points :
$$ E\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\qquad \text{;}\qquad F\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\qquad \text{et}\qquad G\left(\dfrac{15\pi}{2}\right)$$
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}
\hline 
$x$ & $-\frac{3\pi}{4}$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{2\pi}{3}$\tabularnewline
\hline 
\hline 
$\cos x$ &  &  & \tabularnewline
\hline 
$\sin x$ &  &  & \tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item Déterminer la mesure principale de $\dfrac{2014\pi}{3}$
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\item On sait que $x$ est un réel de l'intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ et que $\cos x=\dfrac{5}{6}$. Déterminer $\sin x$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{Suites}\\
\textbf{Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes et peuvent donc se traiter séparément.
}

\textbf{Partie A}

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\sqrt{4n+5}$$

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$ ; $u_1$ et $u_{100}$.
\item On considère la fonction $f$ définie par $$ f(x)=\sqrt{4x+5}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$.
\item Déduire de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ f(n+1)>f(n)$$
\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} v_0=19 \\ v_{n+1}=\sqrt{4v_n+5}\end{array} \right.$$

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$ ; $v_2$ et $v_3$. Donner si besoin une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item Soit $f(x)=\sqrt{4x+5}$. Sur le graphique suivant, nous avons représenté la courbe de la fonction $f$ ainsi que la droite d'équation $y=x$ :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.59999)(20.5,15.6)
\def\xmin{-1} \def\xmax{20} \def\ymin{-1} \def\ymax{15}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.5,-1.59999)(20.5,15.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(19,0)(19,9)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(19,0)(19,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(19,9)(0,9)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(19,9)(0,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,9)(9,9)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,9)(9,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(9,9)(9,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(9,9)(9,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{20}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{20}{\F}
\uput[0](3,6){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%\uput[-90](19,0){\small $u_0$}
%\uput[180](0,9){\small $u_1$}
%\uput[-90](9,0){\small $u_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Placer sur l'axe des abscisses, \textbf{en utilisant $\mathscr C_f$ et la droite d'équation $y=x$}, les termes $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$. On laissera apparent les traits de construction.
\item Conjecture, à l'aide de la question précédente, le sens de variation de la suite $(v_n)$ et la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$.
\item Retrouver par le calcul la valeur de la limite $\ell$ que vous avez conjecturé à la question précédente.
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$v$ est  réel,  $n$  un  entier et $A>0$ \\
}
{
$v:=19$ et $n:=0$\\
Choisir une valeur positive pour $A$\\
    \While{$ |v-5|>A$ }
{$v:=\sqrt{4\times v+5}$ 
\\
$n:=n+1$}\\
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur choisit $A=1$. \textbf{On ne demande aucune justification.}
\item Que fait cet algorithme ? \textbf{On ne demande aucune justification.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill \textbf{Question Cactus}\\
Deux prisonniers (complices d'un crime) sont retenus dans des cellules séparées et qui ne peuvent communiquer; l'autorité pénitentiaire offre à chacun des prisonniers les choix suivants :
\begin{itemize}
\item si un des deux prisonniers dénonce l'autre, il est remis en liberté alors que le second obtient la peine maximale (20 ans) ;
\item si les deux se dénoncent entre eux, ils seront condamnés à une peine plus légère (10 ans) ;
\item si les deux refusent de dénoncer, la peine sera minimale (1 ans), faute d'éléments au dossier.
\end{itemize}
En se plaçant du point de vue d'un des deux prisonniers, que faire ? Expliquez votre réponse.
\end{exoi}

\end{document}
