
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie et suite}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. }



\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes :
\\
\textit{On s'aidera d'un cercle trigonométrique pour résoudre chaque équation ; pour la dernière question on se contentera de placer approximativement $\dfrac{\pi}{5}$ sur le cercle trigonométrique.}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\item $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\cos x=\cos \dfrac{\pi}{5}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Donner les solutions dans $]-\pi;\pi]$ des équations précédentes.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill (3 points) \\
On suppose dans cette exercice que :
$$ \sin x=\dfrac{1}{5}\qquad \text{et}\qquad x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$$
L'unité du repère vaut $5$ cm.
\begin{enumerate}
\item Placer $x$ sur le cercle trigonométrique..
\item Quel est  le signe de $\cos x$ ?
\item Calculer $\cos(x)$ (\textbf{en valeur exacte}).
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et de sens direct tel que $AB = 2AC$.
$ACD$ est un triangle isocèle et rectangle en $C$ de sens direct et $BAE$ est un triangle équilatéral direct.
\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure pour $AC=3$ cm.
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en utilisant la relation de Chasles une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)$.
\item Les points $A$, $D$ et $E$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle $ABC$, déterminer à $10^{-2}$ près une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)$.
\\
\textit{Vous donnerez une mesure en radian ou en degré, au choix (en respectant l'orientation).}
\item En déduire une valeur approchée de l'angle $\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{BC}\right)$
\\
\textit{Vous donnerez une mesure en radian ou en degré, au choix (en respectant l'orientation).}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (7 points)\\
On considère la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par :
$$ u_n=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$ ; $u_1$ ; $u_2$ ; $u_3$ ; $u_4$ ; $u_5$ et enfin $u_6$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la mesure principale de $\dfrac{100\pi}{3}$.
\item En déduire $u_{100}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On suppose que $n$ est un multiple de $6$, donner la mesure principale de $\dfrac{n\pi}{3}$ puis préciser $u_n$.
\item On suppose que le reste de la division euclidienne de $n$ par $6$ est $1$, donner la mesure principale de $\dfrac{n\pi}{3}$ puis préciser $u_n$.
\item Que peut-on penser de la limite de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{exoi}\hfill \textbf{Question Cactus}\\
Un escargot est enfermé dans une cage carré de côté $4$ cm. Au début l'escargot se trouve au centre de la cage et décide de partir plein est. Toutes les minutes il parcourt, en ligne droite, $1$ cm exactement puis il dévie sa trajectoire d'un angle de $\dfrac{\pi}{4}$ et parcourt de nouveau $1$ cm. Il continue le même processus jusqu'à atteindre l'un des bords de la cage.
\\
L'escargot parviendra-t-il sur l'une des bordures de la cage ? Si oui, atteindra-t-il le bord est, le bord nord, le bord sud ou le bord ouest ?
\end{exoi}

\end{document}
