
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suite}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. }



\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
Indiquer sans justification la bonne réponse pour chaque question :
\begin{enumerate}
\item Si $u_n=n^2+n-1$ alors $u_{n+1}=$
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $n^2+n$
\item $n^2+3n$
\item $n^2+3n+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}$ alors :
\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est croissante et admet pour limite $1$ ;
\item La suite $u$ est décroissante et admet pour limite $1$ ;
\item La suite $u$ admet pour limite $+\infty$.
\end{enumerate}
\item Alice écrit la suite de nombres suivantes :
$$ 5\quad ; \quad 5 \quad ; \quad 6 \quad ;\quad 8 \quad ;\quad 11 \quad ;\quad 15 \quad ; \quad 20 \quad ; \quad 26 \quad ;\quad 33 \quad ;\quad \dots $$
Parmi les suites suivantes laquelle \textbf{ne permet pas} de retrouver la suite de nombre écrites par Alice :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=u_n+n\end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=u_n+n+1\end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n}=u_{n-1}+n-1\end{array} \right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : 
$$ u_n=\sqrt{n}+n$$
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>1000$ est :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ 91$ ;
\item $968$ ;
\item $ 969$ ;
\item  $ 970$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item On considère la suite $u$ définie par $ \left\{ \begin{array}{l} u_0=8 \\ u_{n+1}=u_n-7\end{array} \right.$ alors l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u$ est  réel,  $n$  un  entier et $A>0$ \\
}
{
$u:=8$ et $n:=0$\\
    \While{$ u>-A$ }
{$u:=u-7$ 
\\
$n:=n+1$}\\
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item permet d'afficher les termes de la suite $u$ ;
\item permet d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_n\leq -A$ ;
\item permet d'afficher le plus grand entier $n$ tel que $u_n>-A$ ;
\item ne sert à rien.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill (4 points) \\
On considère la suite définie pour $n \in \N$ par :
$$u_n= n^2-10n+16$$
Montrer que la suite $u$ est croissante à partir d'un rang que l'on précisera.
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill (8 points)\\
On trouve dans les écrits anciens, chez Héron d'Alexandrie, un procédé permettant d'extraire la racine carrée d'un nombre :

\og Pour extraire la racine carrée de $A$, choisir une expression arbitraire $a$ ; et prendre la moyenne entre $a$  et $\dfrac{A}{a}$ et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent\fg{}

On considère alors l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$a$ est un nombre réel et $A>0$\\
}
{
Entrer $A$ et Entrer $a$\\
    \For{$i$ allant de $1$ à $3$  }
{$a:=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{A}{a}\right)$ 
\\
Afficher $a$}
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre $a=4$ et $A=2$ ?
\item On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=4 \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Donner $u_1$ et $u_2$.
\item Donner une fonction $f$ telle que $f(u_n)=u_{n+1}$.
\item Sur le graphique suivant, nous avons représenté la courbe de la fonction $f$ ainsi que la droite d'équation $y=x$ :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.44,-0.25)(4.66,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.44,-0.25)(4.66,3.69)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.004377777777777771}{4.66444444444444}{1/2*(x+2/x)}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-0.44}{4.66}{(-0--1*x)/1}
\rput[tl](3.63,2.09){$\qqqqcc{\mathscr C_f}$}
\rput[tl](2.64,2.65){$\ccqqqq{y=x}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Placer sur l'axe des abscisses, \textbf{en utilisant $\mathscr C_f$ et la droite d'équation $y=x$}, les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On laissera apparent les traits de construction.
\item En se servant du graphique précédent, conjecturer le sens de variation de la suite $u$ ainsi que la limite $\ell$ de la suite $u$.
\end{enumerate}
\item On souhaite résoudre l'équation $(E) : \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)=x$
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x^2-2=0$.
\item Montrer que résoudre l'équation $(E)$ revient à résoudre l'équation $x^2-2=0$.
\item Que peut-on penser de la valeur exacte de la limite $\ell$ de la suite $u$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (3 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-5x+1$.\\
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la représentation graphique de $f$ et de la droite d'équation $y=x$.
\end{exoi}




\end{document}
