
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{D\'erivation}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez au moins deux exercices parmi les trois suivants. \hfill A rendre le 16/02/15 }

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $ f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x}$
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la définition, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\item Déterminer, avec les formules du cours, la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier le résultat obtenu à la question $1$.
\item Ecrire une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.
\item Existe-t-il des tangentes à la courbes parallèles à la droite d'équation $y=-7x-5$ ?\\
Si oui préciser les points de la courbe qui correspondent à ces tangentes.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit$\\
Etudier la fonction $f$ définie par $ f(x)=\dfrac{x^2}{x+2}$
L'étude d'une fonction comprend les étapes suivantes :
\begin{itemize}
\item \textit{Ensemble de définition} :

Il s'agit de l'ensemble des nombres réels $x$ pour lesquels le calcul de $f(x)$ est possible.
\item \textit{Ensemble de dérivabilité} :

Il s'agit de l'ensemble des nombres réels $x$ pour lesquels le calcul de $f'(x)$ est possible.

\item \textit{Calcul de la dérivée} :

Il s'agit d'appliquer les formules du cours, les étapes du calcul doivent apparaître.
\item \textit{Etude du signe de la dérivée} :

Il est important de justifier soigneusement l'élaboration du tableau de signe de $f'(x)$.
\item \textit{Tableau de variation} :

Celui-ci se déduit directement de l'étude du signe de la dérivée.
\item \textit{Recherche des points d'intersection avec les axes du repère} :

Les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle et les points d'intersection avec l'axe des ordonnées ont une abscisse nulle.
\item \textit{Représentation graphique} :

Elle s'effectue de préférence sur une feuille de papier millimétré.
\end{itemize}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit$

\partieBac{Avec un pavé}
Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ ayant la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur $y$ et dont la base est un carré de côté $x>0$. L’unité de longueur est le décimètre.

\textbf{But} : \textit{L'industriel cherche à construire une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ et de surface minimale.}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $y=\dfrac{1}{x^2}$ puis en déduire que la surface totale de la boite vaut $S(x)=2x^2+\dfrac{4}{x}$.
\item Démontrer que :
$$ \forall x>0,\qquad  S'(x)=\dfrac{4(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$$
En déduire le tableau de signe de $S'$ puis le tableau de variation de $S$.
\item Quelles doivent être les dimensions de la boîte pour que la surface soit minimale ?
\end{enumerate}

\partieBac{Avec un cylindre}
Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ ayant la forme d’un cylindre de hauteur $y$ et dont le rayon de la base vaut $x>0$. L’unité de longueur est le décimètre. 

\textit{L'industriel cherche de nouveau à minimiser la surface. En vous inspirant le partie A, déterminer quelles doivent être les dimensions du cylindre pour que la surface soit minimale.}
\end{exoi}
\end{document}
