
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie plane vectorielle}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez l'un des exercices suivants. \hfill A rendre le 17/01/15 }

\begin{exoi}\hfill $\star$\\
Soit $ABC$ un triangle.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $D$ et $E$ vérifiant :
$$ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AB}\qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$$
\item Démontrer que $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$. Que peut-on en déduire ?
\item Démontrer que $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{CA}$. Déduire des deux précédentes égalités que $E$, $B$ et $D$ sont alignés.
\item Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Justifier que $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$. Que peut-on en déduire pour $(AE)$ et $(CI)$ ?
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi} \hfill $\star \star \star$ \\
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $A'$ le milieu de $[BC]$, $B'$ le milieu de $[AC]$ et $C'$ le milieu de $[AB]$.
\\
Soit $G$ le point du plan vérifiant :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure que vous compléterez au fur et à mesure.
\item Justifier que le couple $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ constitue une base de l'espace des vecteurs.
\item Démontrer que le point $G$ vérifie :
$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$
\item Démontrer que :
$$ \overrightarrow{AA'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
\item En déduire que :
$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$$
Que peut-on dire des points $A$, $A'$ et $G$ ?
\item Par un raisonnement analogue, que l'on ne demande pas de refaire, donner deux autres relations vectorielles impliquant $G$ et $B'$ (puis $G$ et $C'$).
\\
Que peut-on en déduire sur $G$ ? Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?
\item Soit $M$ un point quelconque du plan, démontrer que :
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}
