
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites et Second degr\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez au moins l'exercice 1. \hfill A rendre le 08/10/14 } 

\begin{exoi}\hfill $\star\star$
\\
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=4\\ u_{n+1}=\dfrac{2 u_n}{2-u_n}\quad  \forall n \geq 0 \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\item \textbf{Représentation graphique} :
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$. Sur l'axe des abscisses, placer $u_0$ puis construire $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en laissant apparent les traits de construction.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-5.1)(5.1,2.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{5} \def\ymin{-5} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-5.1,-5.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,0)(4,-4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,-4)(0,-4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4,-4)(0,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-4)(-4,-4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,-4)(-4,-4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-4,-4)(-4,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-4,-4)(-4,0)
\def\F{2 x mul 2 x sub div}
\psplot[linewidth=0.5pt,linecolor=red, linestyle=solid]{-10}{10}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-10}{1.999}{\F}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2.0001}{10}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](4,0){\small $u_0$}
%\uput[180](0,-4){\small $u_1$}
%\uput[-90](-4,0){\small $u_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la limite de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=\dfrac{-4}{2n-1}$
\begin{enumerate}
\item Calculer $w_0$, $w_1$,  $w_2$, $w_3$ et $w_4$. Que constate-t-on ?

\textbf{On admet que les suites $u$ et $w$ sont identiques.}
\item Démontrer que :
$$ w_{n+1}-w_n=\dfrac{8}{(2n+1)(2n-1)}\qquad \forall n\in \N$$
\item En déduire que $w$ est croissante à partir du rang $1$.
\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u$ est un réel et $n$ un entier.
}
{\\
$n=1$ et $u:=-4$\\
  \While{$u<A$}
{$u:=\dfrac{2\times u}{2-u}$
\\$n:=n+1$ 
}
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Programme cet algorithme (sur algobox ou sur python ou sur votre calculatrice) et précisez ce qu'affiche l'algorithme si $A=-0.1$ puis si $A=-0.01$.
\item Que fait cet algorithme ?
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $ \star \star \star$
\begin{enumerate}
\item On pose $a=0.99999\dots$ (il y a une infinité de 9 et on le note $a=0.\underline{9}$). 
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $10a = 9+a$
 \item En déduire la valeur de $a$. \qquad \textit{Incroyable non ?! Et pourtant vrai, l'infini fait des miracles !}
\end{enumerate}
 \item On pose  $\Phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}}$  \quad (il y a une infinité de racines imbriquées).
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\Phi^2=1+\Phi$.      
  \item En déduire la valeur de $\Phi$. \qquad \textit{On appelle $\Phi$ le nombre d'or}
   \item Montrer que $\Phi=1+\dfrac1{\Phi}$.
 \item En déduire que $\Phi = 1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}}=\dots$ \\
\textit{Cette écriture s'appelle le développement en fractions continues de $\Phi$}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\star\star\star\star$\\
On positionne $2016$ carrés de chocolat comme sur le dessin ci-dessous 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.64,-0.4)(4.14,3.44)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(3,0)
\psline(3,0)(3,1)
\psline(3,1)(0,1)
\psline(1,3)(1,0)
\psline(2,2)(2,0)
\psline(2,2)(0,2)
\psline(0,3)(1,3)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{itemize}
\item 1 carré sur la première ligne
\item 2 carrés sur la deuxième ligne, etc.
\end{itemize}
\end{multicols}
En détaillant le raisonnement, calculer le nombre de carrés de chocolat sur la dernière ligne.
\end{exoi}

\end{document}
