
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Second degr\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Vous traiterez au moins un exercice parmi les $4$ suivants. \hfill A rendre le 22/09/14 }

\begin{exoi} \hfill $\star$ \\
On considère les polynômes $P$, $Q$ et $R$ définies pour $x\in \R$ par :
$$ P(x)=x^2-x-1\qquad \text{ ; }\qquad Q(x)=-4x^2-4x-1\qquad \text{et}\qquad R(x)=-3x^2+x-1$$
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes :\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $P(x)=0$
\item $Q(x)=0$
\item $R(x)=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Dresser, en fonction de $x$, les trois tableaux de signe des expressions $P(x)$, $Q(x)$ et $R(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, les inéquations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $P(x)>0$
\item $Q(x)\geq 0$
\item $R(x)\leq 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Déterminer les coordonnées des sommets $S_p$, $S_q$ et $S_r$ des paraboles représentant $P$, $Q$ et $R$.
\item Dresser les trois tableaux de variations des fonctions $P$, $R$ et $Q$ sur $\R$.
\item Donner, lorsque c'est possible, l'écriture factorisée des polynômes $P$, $Q$ et $R$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $ \star \star $\\
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $ u^2-5u-6=0$
\item En déduire les solutions de l'équation $ \sqrt{15-x}=x-3$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $ u^2-7u+6=0$
\item Un drapeau a pour dimensions $3$ et $4$ (en mètres) et la \og croix blanche \fg{} est de largeur constante. Quelle est cette largeur sachant que l'aire de la croix est égale à l'aire noire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.4,-0.5)(1.62,3.36)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1.0](-3,2.02)(-1.52,2.02)(-1.52,3)(-3,3)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1.0](-0.52,3)(-0.52,2.02)(1,2.02)(1,3)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1.0](-0.52,1.02)(1,1.02)(1,0)(-0.52,0)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1.0](-3,1.02)(-1.52,1.02)(-1.52,0)(-3,0)
\psline(-3,3)(1,3)
\psline(1,3)(1,0)
\psline(1,0)(-3,0)
\psline(-3,0)(-3,3)
\psline(-3,2.02)(-1.52,2.02)
\psline(-1.52,2.02)(-1.52,3)
\psline(-0.52,3)(-0.52,2.02)
\psline(-1.52,1.02)(-3,1.02)
\psline(-1.52,1.02)(-1.52,0)
\psline(-0.52,1.02)(-0.52,0)
\psline(-0.52,1.02)(1,1.02)
\psline(1,2.02)(-0.52,2.02)
\psline(-3,2.02)(-1.52,2.02)
\psline(-1.52,2.02)(-1.52,3)
\psline(-1.52,3)(-3,3)
\psline(-3,3)(-3,2.02)
\psline(-0.52,3)(-0.52,2.02)
\psline(-0.52,2.02)(1,2.02)
\psline(1,2.02)(1,3)
\psline(1,3)(-0.52,3)
\psline(-0.52,1.02)(1,1.02)
\psline(1,1.02)(1,0)
\psline(1,0)(-0.52,0)
\psline(-0.52,0)(-0.52,1.02)
\psline(-3,1.02)(-1.52,1.02)
\psline(-1.52,1.02)(-1.52,0)
\psline(-1.52,0)(-3,0)
\psline(-3,0)(-3,1.02)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\star \star \star$\\
On considère l'équation $(E_m)$ d'inconnue $x$ ci dessous :
$$ (m-1)x^2-2m x+m+3=0 \qquad (E_m)$$
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E_m)$ dans le cas où elle n'est pas une équation du second degré.
\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $(E_m)$ en fonction des valeurs de $m$.
\item Soit $P_m(x)=(m-1)x^2-2mx +m+3$, montrer que quelque soit la valeur de $m$, toutes les courbes représentant $P_m$ passent par un même point.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\star \star \star \star $\\
On dispose d'une ficelle de $1$ mètre que l'on coupe en deux morceaux, pas forcément égaux. Avec un des morceaux, on forme un carré, et avec l'autre, on forme un rectangle dont la longueur est le double de la largeur.

Comment couper la ficelle de sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale ?

\end{exoi}

\end{document}
