\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Formulaire}
\newcommand{\ch}{}
\newcommand{\Ch}{}
\newcommand{\Cl}{BTS CRSA}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{}	
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\DocCha

\section{Géométrie}
On munit l'espace d'un repère. On considère 
\begin{itemize}
 \item $A(x_A~;~y_A~;~z_A)$, $B(x_B~;~y_B~;~z_B)$  et $C(x_C~;~y_C~;~z_C)$ trois points, 
 \item $\vec u \left(\begin{array}{c}
                                                   x \\ y \\z
                                                  \end{array}\right)
$ et $\vec v \left(\begin{array}{c}
                                                   x' \\ y' \\z'
                                                  \end{array}\right)$ 
 deux vecteurs  non nuls.

\end{itemize}


\subsection{Coordonnées}
$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                           x_B-x_A \\y_B-y_A \\ z_B-z_A
                          \end{array} \right)$
 \hfill 
Si le repère est orthonormé, on a \quad  $||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

$A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
(ce qui équivaut à ce que leurs coordonnées soient proportionnelles).\\

$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
                          
\subsection{Barycentre}
On appelle barycentre de trois points pondérés $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$, avec $a+b+c \neq 0$, l'unique point $G$ tel que 
 $$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec 0$$
\textit{ Concrètement, il s'agit du point d'équilibre des trois points affectés de leur <<poids>>}\\
Dans ce cas on a :
$$\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b+c}\,\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\,\overrightarrow{AC}$$
$G$ pour coordonnées :
 $$G\left(\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c} ~;~ \dfrac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}~;~ \dfrac{az_A + bz_B+cz_C}{a+b+c}\right)$$
Si $H$ est le barycentre ce $(B,b)$ et $(C,c)$, avec $b+c \neq 0$, alors
$G$ est aussi le barycentre des points $(A,a)$ et $(H,b+c)$ \\

\Rqs{
\item Le milieu du segment $[AB]$ est le barycentre des points $A$ et $B$ affectés du même poids.
\item Le centre de gravité du triangle $ABC$ est le barycentre des points  $A$, $B$ et $C$ affectés du même poids.
} 

\subsection{Produit Scalaire}
\begin{itemize}
 \item $\vec u \cdot \vec v= ||\vec u || \times ||\vec v || \times \cos\left(\vec u ; \vec v \right)$
 \item $\vec u \cdot \vec v=xx'+yy'+zz'$
 \item Si $\vec u=\overrightarrow{AB}$, $\vec v = \overrightarrow{AC}$ et $H$ est le projeté
 orthogonal de $C$ sur $(AB)$ alors 
 \quad $\vec u \cdot \vec v=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$
\end{itemize}



\subsection{Produit Vectoriel}
$\vec u \wedge \vec v= \left(\begin{array}{c}
yz'-y'z \\ x'z-xz' \\ xy'-x'y                                                     
                            \end{array}\right)$\hfill                             
$||\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}||= ||\vec u || \times ||\vec v || \times \sin\left(\vec u ; \vec v \right)$\\

Aire du triangle $ABC$ = $\dfrac12 ||\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}||$\hfill 
Aire du parallélogramme $ABCD$ = $||\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} ||$\\
   

%\newpage
\section{Probabilités}

\subsection{Les lois Discrètes}
Les lois discrètes modélisent des expériences où l'univers est dénombrable (on peut compter son nombre d'éléments). On s'intéresse notamment à des événements
du type $P(X=k)$.
\begin{itemize}
  \begin{minipage}{8cm}
 \item Une \textbf{loi binomiale} modélise le nombre de succès dans répétition de mêmes épreuves indépendante à deux issues.
 Si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors :
\begin{itemize}
 \item %Les calculs du type $P(X=k)$ ou la recherche de $\alpha$ tel que $P(X\leq \alpha) = p$ se font à la calculatrice.
 Voir fiche TI.
 \item $E(X)=np$ \qquad \qquad $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
\end{itemize}        
       \end{minipage}
 \quad \begin{minipage}{8cm}
 \begin{center} Histogrammme \\
\includegraphics[scale=0.3]{Binomiale}
\end{center}        
       \end{minipage}

 \begin{minipage}{8cm}       
 \item Une \textbf{loi de Poisson} modélise des phénomènes rares, qui se produisent de manière indépendante.
et aléatoire.\\
 Si $X$ suit la loi de Poisson de paramètres $\lambda$, alors :
\begin{itemize}
 \item %Les calculs du type $P(X=k)$ ou la recherche de $\alpha$ tel que $P(X\leq \alpha) = p$ se font à la calculatrice.
 Les procédures de calculs à la calculatrice sont les mêmes que pour la loi binomiale, en choisissant la
 loi de Poisson et en rentrant la valeur du paramètres $\lambda$
 \item $E(X)=\lambda$ \qquad \qquad  $\sigma(X)=\sqrt{\lambda}$
\end{itemize}        
       \end{minipage}
 \quad \begin{minipage}{8cm}
 \begin{center} Histogrammme \\
       \includegraphics[scale=0.4]{poisson}
 \end{center}
       \end{minipage}
\end{itemize}

\subsection{Lois Continues}
 Les lois continues  modélisent des expériences où l'univers est indénombrable (comme le temps qui s'écoulent de façon continue). 
 On ne s'intéresse plus à des événements du type $P(X=k)$ car ils sont tous de probabilité nulle, mais plutôt
 à des événements du type $P(a\leq X \leq b)$.
 \begin{itemize}
\begin{minipage}{8cm}  
\item Une \textbf{loi uniforme} modélise le choix d'un nombre aléatoire dans un intervalle de nombres réels.\\
         Si $X$ suit la loi uniforme sur $[a;b]$ alors :
         \begin{itemize}
          \item $P(c\leq X \leq d)=\dfrac{\text{longueur de }[c;d]}{\text{longueur de } [a;b]}=\dfrac{d-c}{b-a}$
          \item $E(X)=\dfrac{a+b}2$ \qquad \qquad  $\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2\sqrt{3}}$
	\end{itemize}        
       \end{minipage}
 \quad \begin{minipage}{8cm}
	   \begin{center} Allure de la courbe de la fonction densité :\\
  \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=7cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.1,3.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,3.1)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,3.1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.05](0.3,0)(0.7,0)(0.7,2.5)(0.3,2.5)
\pspolygon[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.4,0)(0.5,0)(0.5,2.5)(0.4,2.5)
\psline[linecolor=zzttqq](0.3,0)(0.7,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7,0)(0.7,2.5)
\psline[linecolor=zzttqq](0.7,2.5)(0.3,2.5)
\psline[linecolor=zzttqq](0.3,2.5)(0.3,0)
\psline[linecolor=qqqqcc](0.4,0)(0.5,0)
\psline[linecolor=qqqqcc](0.5,0)(0.5,2.5)
\psline[linecolor=qqqqcc](0.5,2.5)(0.4,2.5)
\psline[linecolor=qqqqcc](0.4,2.5)(0.4,0)
\psline[linestyle=dotted](0.,2.5)(0.3,2.5)
\psline[linecolor=red](0.6,2)(0.6,0)
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=red](0.6,2)
\rput[bl](0.6,2.1){\red{$I$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=red](0.6,0)
\rput[bl](0.6,-0.2){\red{$X$}}
\rput[bl](0.37,-0.2){\blue{$c$}}
\rput[bl](0.5,-0.2){\blue{$d$}}
\rput[bl](0.25,-0.2){\blue{$a$}}
\rput[bl](0.7,-0.2){\blue{$b$}}
\rput[bl](-0.2,2.3){\blue{$\dfrac1{b-a}$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
         \end{minipage}
         

\begin{minipage}{10cm}           
 \item Une \textbf{loi normale} modélise de nombreux phénomènes naturels très fréquents (d'où son nom), 
qui résultent de l'addition de plusieurs causes indépendantes, comme la taille d'individus, 
le taux de cholestérol, les erreurs de mesure ...\\
Si $X$ suit la $\mathscr N\left(\mu~;~\sigma\right)$ alors :
\begin{itemize}
 \item Voir fiches calculatrices 
 + utilisation du graphique de la fonction densité pour trouver ce que la calculatrice ne peut pas faire.
 \item $E(X)=\mu$  \qquad \qquad   $\sigma(X)=\sigma$
\end{itemize}
       \end{minipage}
 \quad \begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
   Allure de la courbe de la fonction densité :\\
  \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-0.06)(6,0.45)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=100,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=10]{->}(0,0)(-4,-0.03)(4,0.45)
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}
%\pscustom[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{2}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}\lineto(2,0)\lineto(-1,0)\closepath}
%\rput[bl](-3.5,0.3){\red{$f(x) = \dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}2}$}}
\rput[bl](0.2,-0.05){\blue{$\mu$}}
%\rput[bl](1.9,-0.03){\blue{$b$}}
%\rput[bl](-0.8,0.15){\blue{$P(a\leq X \leq b)$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
       \end{minipage}

\begin{minipage}{11cm}
\item Une \textbf{loi exponentielle} modélise notamment la durée de vie d'un phénomène sans mémoire ou sans vieillissement, ou encore
non sujet à l'usure du temps.\\
Si $X$ suit la loi $\mathscr E(\lambda)$ alors :
\begin{itemize}
 \item pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0\leq a \leq b$ on a 
  $$P(a\leq X \leq b)=e^{-\lambda a }- e ^{-\lambda b}, \qquad P(X \leq a)=1-e^{-\lambda a}, \qquad 
  P(X \geq a)=e^{-\lambda a}$$
  \item pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a 
  $$P_{X\geq t}(X \geq t+h)=P(X\geq h)$$
 \textit{d'où le fait que l'on parle de durée de vie sans vieillissement.}
 \item $E(X)=\dfrac1{\lambda}$ \qquad \qquad $\sigma(X)=\dfrac1{\lambda}$
\end{itemize}
       \end{minipage}
 \qquad \begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
 Allure de la courbe de la fonction densité :\\
 \psset{xunit=0.4cm,yunit=10cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.05)(15,0.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-0.05)(15,0.6)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{15.0}{0.5*2.718281828^(-0.5*x)}
\end{pspicture*}
\end{center}
       \end{minipage}
     
\end{itemize}
 
\subsection{Approximation}
Dès que $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$, on peut approximer une loi binomiale $\mathscr B(n,p)$ 
par une loi normale $\mathscr N\left(np ; \sqrt{np(1-p)}\right)$


Dès que $n\geq 30$, $p\leq 0.1$ et $np \leq 10$, on peut approximer une loi binomiale $\mathscr B(n,p)$ 
par une loi de Poisson $\mathscr P\left(np\right)$


\section{Statistiques inférentielles}

Le tableau ci-dessous regroupe toutes les situations dans lesquelles on doit savoir fournir une estimation ponctuelle ou
par intervalle de confiance :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mbox{Paramètre de la } & \mbox{Valeur du} & \mbox{Estimation ponctuelle} & \mbox{Estimation par intervalle de confiance }\\
\mbox{population totale} & \mbox{paramètre dans} & \mbox{pour la} & \mbox{au niveau de confiance }1-\alpha \\
\mbox{à estimer} & \mbox{l'échantillon de taille }n & \mbox{population totale} & \mbox{pour la population totale}\\
\hline
\mbox{Fréquence} & f & p=f & \left[f-u_{\alpha}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}};f+u_{\alpha}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}\right] \\ [10pt]
\hline
\mbox{Moyenne} & \overline{x} & \mu=\overline{x} &
\left[\overline{x}-u_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{x}+u_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\\ [10pt]
\hline
\mbox{\'Ecart-type} & s_n & \sigma=s_n\sqrt{\dfrac{n}{n-1}} & \\ [10pt]
\hline
\end{array}$$



 
 
\end{document}




