\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Interro}
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Produit Vectoriel}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{8}	
\newcommand{\tps}{45 min}
\newcommand{\coef}{1}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}%\\
 %L'espace est rapporté au repère orthonormal direct \Oijk.\\
 %On considère les points 
 %$$A(4;3;1) \quad B(2;6;1) \quad C(0;2;1)  \quad  \text{ et } \quad D(2;-1;1)$$
 \begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
  \item 
  \begin{enumerate}
        \item %Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AC}$ \hfill (1.5 point)
         $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                                     -2 \\ 3 \\ 0
                                    \end{array}\right)$ , $\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c}
                                     -2 \\ 3 \\ 0
                                    \end{array}\right)$
                                      et  $\overrightarrow{AD} \left(\begin{array}{c}
                                     -2 \\ -4 \\ 0
                                    \end{array}\right)$
         \item %Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? \hfill (1 point)
         $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item %Calculer $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$. \hfill (1.5 point)
  $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD}= \left(\begin{array}{c}
                                     0 \\ 0 \\ 14
                                    \end{array}\right)$
  \item %En déduire l'aire du parallélogramme $ABCD$. \hfill (1 point)
  L'aire vaut $||\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD}||=\sqrt{0^2+0^2+14^2}=14$ ua
 \end{enumerate}  
 \end{multicols}
 \item %Montrer que le barycentre $G$ des points $(A;1)$ , $(B;2)$ et $(C;-4)$
 %a pour coordonnées $G(-8;-7;1)$ . \hfill (1.5 point)
 $x_G=\dfrac{1\times 4 + 2 \times 2 -4 \times 0}{1+2-4}=-8$ \quad 
 $y_G=\dfrac{1\times 3 + 2 \times 6 -4 \times 2}{1+2-4}=-7$ \quad et 
 \quad $z_G=\dfrac{1\times 1 + 2 \times 1 -4 \times 1}{1+2-4}=1$ \\
 donc $G(-8;-7;1)$
 \item %On considère le point $S(-8;-7;6)$. 
 \begin{enumerate}
  \item %Calculer $\overrightarrow{GS} \cdot \overrightarrow{GB}$ et $\overrightarrow{GS} \cdot \overrightarrow{GC}$
  %\hfill (2.5 point)
   $\overrightarrow{GS} \left(\begin{array}{c}
                                     0 \\ 0 \\ 5
                                    \end{array}\right)$ , $\overrightarrow{GB} \left(\begin{array}{c}
                                     10 \\ 13 \\ 0
                                    \end{array}\right)$
                                      et  $\overrightarrow{GC} \left(\begin{array}{c}
                                     8 \\ 9 \\ 0
                                    \end{array}\right)$  
Ainsi $\overrightarrow{GS} \cdot \overrightarrow{GB}= 0 \times 10 + 0 \times 13 + 5 \times 0  = 0$  
et  $\overrightarrow{GS} \cdot \overrightarrow{GC}= ... = 0$
  \item %Que pouvez-vous en déduire ? \hfill (1 point)
  $\overrightarrow{GS} \cdot \overrightarrow{GB}=0$ donc $\overrightarrow{GS} \perp \overrightarrow{GB}$
  et $\overrightarrow{GS} \cdot \overrightarrow{GC}=0$ donc $\overrightarrow{GS} \perp \overrightarrow{GC}$\hfill
  Finalement  $(GS) \perp (GBC)$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}%\\
% Dans l'espace muni d'un repère, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ de coordonnées :
% $$A(2;0;0) \quad B(4;3;1) \quad C(1;1;-1) \quad \text{ et } D(3;4;0)$$
 \begin{enumerate}
  \item %Vérifier que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. \hfill (1.5 point)\\
  %\textit{Faites un schéma pour ne pas vous tromper dans l'ordre des points !}
    $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                                     2 \\ 3 \\ 1
                                    \end{array}\right)$ \quad et  \quad $\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c}
                                     2 \\ 3 \\ 1
                                    \end{array}\right)$ \quad donc \quad $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$\hfill
                                    Ainsi $ABDC$ est un parallélogramme.
 \item \begin{enumerate}
        \item %Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ \hfill (1.5 point)
          $\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c}
                                     -1 \\ 1 \\ -1
                                    \end{array}\right)$ 
\quad donc \quad $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}=2 \times (-1) + 3 \times 1 + 1 \times (-1)=0$.
        \item %En déduire que $ABDC$ est un rectangle. \hfill (1 point)
        $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}=0$ implique $(AB)\perp (BD)$. %donc $\widehat{ABD}=90^{\circ}$.
         $ABDC$ est un //gr avec un angle droit : c'est un rectangle.
 \item %$ABDC$ est-il un losange  ?   Justifier. \hfill (2 points)\\
 $AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}$ et $BD=...=\sqrt{3}$.\\
 Donc $ABDC$ n'a pas tous ses côtés de même longueur, ce n'est donc pas un losange.
\end{enumerate}
 
\item  %Déterminer une mesure à $10^{-2}$ de l'angle $\widehat{BAD}$. \hfill (2 points)
 $\overrightarrow{BA} \left(\begin{array}{c}
                                     -2 \\ -3 \\ -1
                                    \end{array}\right)$ \quad et \quad 
 $\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c}
                                     -3 \\ -2 \\ -2
                                    \end{array}\right)$ \quad donc \quad 
$\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{BC}= \left(\begin{array}{c}
                                     4 \\ -1 \\ -5
                                    \end{array}\right)$\\
Et \quad $||\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{BC}||=...=\sqrt{42}$
\quad  $||\overrightarrow{BA} ||=...=\sqrt{14}$ \quad et
 \quad $||\overrightarrow{BC}||=...=\sqrt{17}$
\quad 
Or on a  %\begin{eqnarray*}
$$||\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{BC}|| = BA \times BC \times \sin(\widehat{ABC})
 \iff \sqrt{42} =  \sqrt{14} \times \sqrt{17} \times \sin(\widehat{ABC}
 \iff \dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}\times \sqrt{17}}=\sin(\widehat{ABC})$$
       %  \end{eqnarray*}
Ainsi on trouve $\widehat{ABC}\simeq 24,84 ^{\circ}$

 \item %Déterminer l'aire du triangle $BAD$. \hfill (2 points)
 On sait que l'aire du triangle $ABD$ vaut $\dfrac12 ||\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{BC}||=\dfrac12 \sqrt{42} \simeq 3,24$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\end{document}