\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Interro}
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es et Estimation}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{7}	
\newcommand{\tps}{45 min}
\newcommand{\coef}{1}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha


\begin{ExoF}
\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}\\
\textbf{Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés seront arrondis à $10^{-3}$.}\\

Dans un groupe d'assurances, on s'intéresse aux sinistres susceptibles 
de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une importante entreprise de maintenance
de chauffage collectif.\\

\noindent \partieBac{Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs}
On note $E$ l'événement <<un conducteur tiré au hasard dans l'ensemble des conducteurs 
de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée >>.
On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est $0,6$.

On tire au hasard 15 conducteurs dans l'effectif des conducteurs de l'entreprise. Cet effectif 
est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 
conducteurs.\\
On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs
n'ayant pas de sinistre pendant l'année considérée.

\noindent Calculer la probablité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année
considérée.\\
\textit{Vous préciserez votre choix de loi pour $X$ en le justifiant.}\\

\noindent\partieBac{Estimation de la fréquence des sinistres}
On considère un échantillon de 150 véhicules mis en service depuis 6 mois. Ce parc contient suffisamment
de véhicules pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.\\
On constate que 136 véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de sinistre.

\begin{enumerate}
 \item Donner une estimation ponctuelle $p_1$ de la fréquence $p$ de véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre
  6 mois après leur mise en service.
  \item Donner un intervalle de confiance $IC_1$ de cette fréquence $p_1$ avec le coefficient de 
  confiance $95\%$
  \item On décide d'augmenter la taille de l'échantillon et de faire un intervalle de confiance $IC_2$
  de la nouvelle estimation $p_2$ de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance $95\%$.
  \begin{itemize}
   \item Comparer la précision de $IC_1$ et de $IC_2$ (lequel est le plus précis)
   \item Comparer la précision de $IC_1$ et de $IC_2$ (lequel est le plus fiable)
   \item $IC_1$ et $IC_2$ peuvent-ils n'avoir aucune valeur en commun ?\\
  % \item Est-on sûr que $IC_1$ et $IC_2$ contiennent $p$  ?
  \end{itemize}

 % \item On considère l'affirmation suivante : << la fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance
 % obtenu à la question précédente >>.\\
 % Est-elle vraie ? Expliquer.\\
\end{enumerate}



\noindent \partieBac{Estimation du coût des sinistres}
Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de sinistres survenus dans l'entreprise
pendant l'année considérée.

On considère un échantillon de 100 véhicules ayant subi un sinistre de la catégorie considérée.
 Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.\\
On constate que le coût moyen de ce type de sinistre dans cet échantillon
est de 1200 $\euro$ et avec un écart-type de 200.

\begin{enumerate}
 \item Donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ du coût et de son écart-type $\sigma$ 
 de cette catégorie de sinistre pour les véhicules de ce parc.
  \item Donner un intervalle de confiance de cette moyenne  $\mu$ :
  \begin{itemize}
  \begin{multicols}{2}
      \item avec un risque de  $10\%$
   \item avec un risque de $1\%$
  \end{multicols}
  \end{itemize}
  \item Peut-on en déduire que la moyenne $\mu$ est obligatoirement comprise entre ... et ... ? Expliquer.
  \item Déterminer quelle devrait être la taille minimale de l'échantillon à étudier pour que 
  l'amplitude de l'intervalle de confiance de la moyenne soit inférieure ou égale à  ..., au seuil de $1\%$
\end{enumerate}

\noindent \partieBac{Etude du coût des sinistres}
On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie,
associe son coût en euros. On suppose que $C$ suit la loi normale de paramètre $\mu=\np{1200}$ et $\sigma=201$.

\begin{enumerate}
 \item Calculer  la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre 
$\np{1000}$ et $\np{1500}$.
\item Déterminer $\alpha$ à l'unité près tel que $P(C \leq \alpha)=0.9$. Interpréter la valeur trouvée dans le 
contexte de l'exercice.
\end{enumerate}




\end{ExoF}


$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mbox{Paramètre de la } & \mbox{Valeur du} & \mbox{Estimation ponctuelle} & \mbox{Estimation par intervalle de confiance }\\
\mbox{population totale} & \mbox{paramètre dans} & \mbox{pour la} & \mbox{au niveau de confiance }1-\alpha \\
\mbox{à estimer} & \mbox{l'échantillon de taille }n & \mbox{population totale} & \mbox{pour la population totale}\\
\hline
\mbox{Fréquence} & f & p=f & \left[f-u_{\alpha}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}};f+u_{\alpha}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}\right] \\ [10pt]
\hline
\mbox{Moyenne} & \overline{x} & \mu=\overline{x} &
\left[\overline{x}-u_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{x}+u_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\\ [10pt]
\hline
\mbox{\'Ecart-type} & s_n & \sigma=s_n\sqrt{\dfrac{n}{n-1}} & \\ [10pt]
\hline
\end{array}$$





\end{document}