\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Interro}
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es et Estimation}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{7}	
\newcommand{\tps}{45 min}
\newcommand{\coef}{1}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha


\begin{ExoF}

\noindent \partieBac{Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs}
On répète 15 fois  de manière identique et indépendante l'expérience << choisir un conducteur au hasard >>.
Cette expérience est :
\begin{itemize}
 \item soit un succès (le conducteur n'a pas eu de sinistre) de probabilité 0,6.
 \item soit un échec (le conducteur a eu un sinistre)
\end{itemize}
$X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres 
$n=15$ et $p=0.6$. \hfill Ainsi $P(X=10)\simeq 0.186$.


\noindent\partieBac{Estimation de la fréquence des sinistres}

\begin{enumerate}
 \item   $p_1=\dfrac{136}{150}\simeq 0.907$
  \item $u_{0.05}\simeq 1.96$ Donc \quad 
  $IC_1\simeq \left[ 0.907 -1.96\sqrt{\dfrac{0.907\times 0.093}{150}} ;
  0.907 +1.96\sqrt{\dfrac{0.907\times 0.093}{150}} \right]$\\
  Donc $IC_1 \simeq [0.860 ; 0.954]$
  \item 
  \begin{itemize}
   \item %Comparer la précision de $IC_1$ et de $IC_2$ (lequel est le plus précis ?)
   Si on augmente la taille de l'échantillon, on obtient un intervalle de confiance de plus faible amplitude. Donc $IC_2$
   est plus précis.
   \item %Comparer la précision de $IC_1$ et de $IC_2$ (lequel est le plus fiable ?)
   Par contre, cela n'augmente pas le coefficient de confiance : sur un grand nombre d'échantillon de type $IC_2$,
   on n'en aura toujours qu'environ $95\%$ qui contiendront la vraie valeur de $p$.\\
   Les échantillons $IC_1$ et $IC_2$ ont donc la même fiabilité.
   \item %$IC_1$ et $IC_2$ peuvent-ils n'avoir aucune valeur en commun ? 
   Bien sûr !
   \item %On considère l'affirmation suivante : << la fréquence $p$ est obligatoirement dans les 
   %intervalles de confiance obtenus >>.\\
  %Est-elle vraie ? Expliquer.\\
  Cette phrase est fausse, d'après ce que j'ai dit dans le deuxième point de cette question.
  \end{itemize}
 
\end{enumerate}




\noindent \partieBac{Estimation du coût des sinistres}
\begin{enumerate}
 \item $\mu \simeq 1200$ et $s_n=200$ donc $\sigma \simeq 200 \sqrt{\dfrac{100}{99}} \simeq 201.008$
 
  \item %Donner un intervalle de confiance de cette moyenne  $\mu$ :
  \begin{itemize}
      \item %avec un risque de  $10\%$ 
      $u_{0.1} \simeq 1.64$ donc \quad 
      $I_{10\%}=\left[ 1200 - 1.64 \dfrac{201,008}{\sqrt{100}} ; 1200 + 1.64 \dfrac{201,008}{\sqrt{100}}\right]$\\
      Donc $I_{10\%} \simeq [1167.034 ; 1232.966]$
   \item %avec un risque de $1\%$
   $u_{0.01} \simeq 2.58$ donc \quad 
      $I_{1\%}=\left[ 1200 - 2.58 \dfrac{201,008}{\sqrt{100}} ; 1200 + 2.58 \dfrac{201,008}{\sqrt{100}}\right]$\\
      Donc $I_{1\%} \simeq [1148.139 ; 1251.861]$
  \end{itemize}
  \item Lequel de ces deux intervalles est :
  \begin{itemize}
   \item %le plus précis ?
   L'intervalle le plus précis est celui qui a l'amplitude la moins grande, donc c'est le premier.
   \item %le plus fiable ?
   Cependant, il s'agit aussi de l'intervalle le moins fiable, puisque sur un grand nombre d'échantillons de ce type,
   seulement environ $90\%$ contiendront réellement $\mu$ alors que pour l'autre intervalle, il y en aura 
   environ $99\%$.
  \end{itemize}
%  \item Peut-on en déduire que la moyenne $\mu$ est obligatoirement comprise entre ... et ... ? Expliquer.
%  \item Déterminer quelle devrait être la taille minimale de l'échantillon à étudier pour que 
%  l'amplitude de l'intervalle de confiance de la moyenne soit inférieure ou égale à  ..., au seuil de $1\%$
\end{enumerate}

\noindent \partieBac{Etude du coût des sinistres}
On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie,
associe son coût en euros. On suppose que $C$ suit la loi normale de paramètre $\mu=\np{1200}$ et $\sigma=201$.

\begin{enumerate}
 \item %Calculer  la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre 
%$\np{1000}$ et $\np{1500}$.
$P(1000 \leq Z \leq 1500) \simeq 0.772$
\item %Déterminer $\alpha$ à l'unité près tel que $P(C \leq \alpha)=0.9$. 
$\alpha \simeq 1457.592$
\item %Interpréter la valeur $\alpha$ trouvée dans le contexte de l'exercice.
Environ $90\%$ des voitures sinistrées ont un sinistre de moins de $1457.592 \euro$
\end{enumerate}




\end{ExoF}



\end{document}