\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Interro}
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Loi Exponentielle et loi de Poisson}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{6}	
\newcommand{\tps}{45 min}
\newcommand{\coef}{0.5 par interro}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\InterroCha


\begin{ExoF}
Calculer, en utilisant l'expression la plus adaptée, le produit scalaire $\vec u \cdot \vec v$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\vec u (1,5~;~-1)$ et $\vec v(3~;~-4)$.
 \item $\vec u = \overrightarrow{OM} \, ; \, \vec v=\overrightarrow{ON} \, ; \, OM=3 \, ; \, OH=4$
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5,3)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4,0.42)(3.58,0.42)(3.58,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4,0)(4,2.3)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,2.3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4,0)(0,0)
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](-0.36,-0.5){\xdxdff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
\rput[bl](2.7,-0.5){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4,0)
\rput[bl](3.9,-0.5){\xdxdff{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4,2.3)
\rput[bl](4.08,2.42){\xdxdff{$N$}}
\rput[bl](0.98,-0.38){$\vec u$}
\rput[bl](2.14,1.4){$\vec v$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \item $||\vec u||=3 \, ; \, ||\vec v ||=4 \, $ et $\,(\vec u~;~\vec v)=150^{\circ}$
 \item $\vec u = \overrightarrow{OM} \, ; \, \vec v=\overrightarrow{ON} \, ; \, OM=3 \, ; \, OH=2$
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(4,3)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.58,0)(-1.58,0.42)(-2,0.42)(-2,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-2,0)(-2,2.3)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(-2,2.3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-2,0)(0,0)
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](-0.3,-0.5){\xdxdff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
\rput[bl](3.08,-0.5){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-2,0)
\rput[bl](-2.32,-0.5){\xdxdff{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-2,2.3)
\rput[bl](-1.92,2.42){\xdxdff{$N$}}
\rput[bl](0.98,-0.38){$\vec u$}
\rput[bl](-0.88,1.3){$\vec v$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk et l'on considère  les points suivants :
$$A(1;3;-1) \qquad B(2;1;4) \qquad C(5;0;3) \qquad D(4;2;-2)$$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.
 \item Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$.
 \item Que peut-on en déduire sur le triangle $ABC$ ?
       \end{enumerate}
 \item On considère la pyramide $SABCD$ de sommet $S(6,5 ~;~ 9,5~;~3,5)$.\\
 On se propose de déterminer une mesure en degrés de l'angle $\widehat{SAB}$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AB}$.
  \item Donner les valeurs exactes de $AS$ et de $AB$
  \item En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\widehat{SAB}\right)$
  \item En déduire une valeur approchée arrondie à $10^{-1}$ de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{SAB}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\Cadre[Formulaire]{On munit l'espace d'un repère.
Soient $\vec u \left(\begin{array}{c}
                                                   x \\ y \\z
                                                  \end{array}\right)
$ et $\vec v \left(\begin{array}{c}
                                                   x' \\ y' \\z'
                                                  \end{array}\right)$ 
 deux vecteurs  non nuls.
\begin{itemize}
 \item $\vec u \cdot \vec v= ||\vec u || \times ||\vec v || \times \cos\left(\vec u ; \vec v \right)$
 \item $\vec u \cdot \vec v=xx'+yy'+zz'$
 \item Si $\vec u=\overrightarrow{AB}$, $\vec v = \overrightarrow{AC}$ et $H$ est le projeté
 orthogonal de $C$ sur $(AB)$ alors 
 \quad $\vec u \cdot \vec v=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$
\end{itemize}

De plus, si le repère est orthonormé on a \quad  $||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Soient $A(x_A;yA;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points. Alors \quad 
$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                           x_B-x_A \\y_B-y_A \\ z_B-z_A
                          \end{array} \right)$
}

\end{document}