\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Interro}
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Loi Exponentielle et loi de Poisson}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{6}	
\newcommand{\tps}{45 min}
\newcommand{\coef}{0.5 par interro}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\InterroCha


\begin{ExoF}
%Calculer, en utilisant l'expression la plus adaptée, le produit scalaire $\vec u \cdot \vec v$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item %$\vec u (1,5~;~-1)$ et $\vec v(3~;~-4)$.
 $vec u \cdot \vec v = 1.5 \times 3 + (-1)\times (-4)=8.5$
 \item %$\vec u = \overrightarrow{OM} \, ; \, \vec v=\overrightarrow{ON} \, ; \, OM=3 \, ; \, OH=4$
 $\vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OH} = 3 \times 4 \times \cos(0)=12$
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5,3)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4,0.42)(3.58,0.42)(3.58,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4,0)(4,2.3)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,2.3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4,0)(0,0)
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](-0.36,-0.5){\xdxdff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
\rput[bl](2.7,-0.5){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4,0)
\rput[bl](3.9,-0.5){\xdxdff{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4,2.3)
\rput[bl](4.08,2.42){\xdxdff{$N$}}
\rput[bl](0.98,-0.38){$\vec u$}
\rput[bl](2.14,1.4){$\vec v$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \item %$||\vec u||=3 \, ; \, ||\vec v ||=4 \, $ et $\,(\vec u~;~\vec v)=150^{\circ}$
  $\vec u \cdot \vec v  = 3 \times 4 \times \cos(150)=-6\sqrt{3}$
 \item %$\vec u = \overrightarrow{OM} \, ; \, \vec v=\overrightarrow{ON} \, ; \, OM=3 \, ; \, OH=2$
  $\vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OH} = 3 \times 2 \times \cos(180)=-6$
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(4,3)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.58,0)(-1.58,0.42)(-2,0.42)(-2,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-2,0)(-2,2.3)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(-2,2.3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-2,0)(0,0)
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](-0.3,-0.5){\xdxdff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
\rput[bl](3.08,-0.5){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-2,0)
\rput[bl](-2.32,-0.5){\xdxdff{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-2,2.3)
\rput[bl](-1.92,2.42){\xdxdff{$N$}}
\rput[bl](0.98,-0.38){$\vec u$}
\rput[bl](-0.88,1.3){$\vec v$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk et l'on considère  les points suivants :
$$A(1;3;-1) \qquad B(2;1;4) \qquad C(5;0;3) \qquad D(4;2;-2)$$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.
        $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                                    2-1 \\ 1-2 \\ 4-(-1)
                                   \end{array}\right) \iff \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                                   1 \\ -1 \\ 5
                                   \end{array}\right) \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c}
                                    5-2 \\ 0-1 \\ 3-4
                                   \end{array}\right) \iff \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c}
                                    3 \\ -1 \\ -1
                                   \end{array}\right)$
 \item %Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$.
 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=1\times 3 + (-2)\times (-1) + 5 \times (-1)=0$.
 \item %Que peut-on en déduire sur le triangle $ABC$ ?
 Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux, autrement dit $\widehat{ABC}=90^{\circ}$.\\
 Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
       \end{enumerate}
 \item On considère la pyramide $SABCD$ de sommet $S(6,5 ~;~ 9,5~;~3,5)$.\\
 On se propose de déterminer une mesure en degrés de l'angle $\widehat{SAB}$.
 \begin{enumerate}
  \item %Calculer $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AB}$.
  $\overrightarrow{AS} \left(\begin{array}{c}
                                    6.5-1 \\ 9.5-3 \\ 3.5-(-1)
                                   \end{array}\right) \iff \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c}
                                    5.5 \\ 6.5 \\ 4.5
                                   \end{array}\right) $ \qquad Donc 
$\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AB}=5.5\times 1 + 6.5\times (-2) + 4.5 \times 5=15$.
  \item %Donner les valeurs exactes de $AS$ et de $AB$
  $AS=||\overrightarrow{AS}||=\sqrt{5.5^2 +6.5^2+4.5^2}=\sqrt{92,75}$ \qquad et \qquad 
  $AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{1^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{30}$
  \item %En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\widehat{SAB}\right)$
  $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}= AS \times AB \times \cos\left(\widehat{SAB}\right) \iff 
  15=\sqrt{92.75}\times \sqrt{30} \times \cos\left(\widehat{SAB}\right) \iff \cos\left(\widehat{SAB}\right) = \dfrac{15}{\sqrt{92.75}\times \sqrt{30}}$
  \item %En déduire une valeur approchée arrondie à $10^{-1}$ de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{SAB}$.
  On en déduit $\widehat{SAB}\simeq 73.5^{\circ}$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\end{document}