\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{DS}
\newcommand{\ch}{Chapitre 4-5}
\newcommand{\Ch}{Loi Normale et Matrices (1h)}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
Dans cet exercice, les résultats approchés seront arrondis à $10^{- 3}$ près.\\
\textbf{Partie A}

Une entreprise produit en grande série un composant A.
Une étude statistique permet d'admettre que la probabilité 
qu'un composant ait une durée de vie supérieure à \np{1000}~heures est $0,67$. 
Les durées de vie des composants sont indépendantes les unes des autres.\\
   
\noindent \begin{minipage}{8cm}
Pour un échantillon de $50$ composants, on note $X$ la variable aléatoire égale 
au nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à \np{1000}~heures. 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité $p(X = 42)$. 
\item Ci-contre est donné un extrait du tableau, obtenu à l'aide d'un tableur, 
donnant les valeurs des probabilités $p(X \leq  k)$, où $k$ désigne un 
nombre entier naturel appartenant à l'intervalle [0~;~50].

À l'aide de ce tableau, déterminer la probabilité que le nombre de composants 
ayant une durée de vie supérieure à \np{1000} heures parmi cet échantillon 
soit strictement supérieur à 42. 
\end{enumerate}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{10cm}
 \begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A &B &C \\ \hline 
1&$k$&$p(X \leq k)$&\\ \hline		
2&	38&	\np{0,93714961}&\\ \hline
3&	39&	\np{0,96825995}&\\ \hline
4&	40&	\np{0,98562989}&\\ \hline
5&	41&	\np{0,99423141}&\\ \hline
6&	42&	\np{0,99797363}&\\ \hline
7&	43&	\np{0,99938718}&\\ \hline
8&	44&	\np{0,99984376}&\\ \hline
9&	45&	\np{0,99996736}&\\ \hline
10& 46&	\np{0,99999464}&\\ \hline
11&	47&	\np{0,99999935}&\\ \hline
12&	48&	\np{0,99999995}&\\ \hline
13&	49&	1&\\ \hline
14& 50& 1&\\ \hline	
\end{tabularx}
\end{center}
 \end{minipage}


 
\noindent \textbf{Partie B}
 

Dans cette partie, on décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par 
la loi normale de moyenne $33,5$ et d'écart type $3,3$.
  
On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 33,5$
et d'écart type $\sigma = 3,3$. 

\textit{Dans cette partie, des schémas explicatifs de vos choix de calculs sont le bienvenus.}

\begin{enumerate}
\item Justifier le choix des paramètres $\mu$ et $\sigma$. 
\item Calculer la probabilité $P(27\leq Y \leq 40)$. 
\item Calculer la probabilité $P(Y \leq 35)$. 
\item Calculer la probabilité $P(Y > 42)$. 
\item Déterminer la  valeur, arrondie à $10^{-1}$, du nombre réel $a$ tel que 

\[p( Y \leq a) =  0,95.\]
\item Déterminer la  valeur, arrondie à $10^{-1}$, du nombre réel $b$ tel que 

\[p(Y \geq b) =  0,95.\]
\item Déterminer la  valeur, arrondie à $10^{-1}$, du nombre réel $c$ tel que 

\[p(33,5 - c \leq  Y \leq 33,5 + c) =  0,95.\]

\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(3 points)}\\
On considère les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
           1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & -2 
          \end{array}\right) \qquad ; \qquad 
B=\left(\begin{array}{ccc}
           2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 1 
          \end{array}\right) \qquad \text{ et } \qquad 
C=\left(\begin{array}{ccc}
           5 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & 1  
          \end{array}\right) $$
          
 Calculer \textbf{à la main en détaillant l'étapes} lorsque c'est possible :
 $$3A-2B \qquad A+C \qquad A \times C \qquad C \times A$$


\end{ExoF}


\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(2 points)}\\
Résoudre le système suivant à l'aide des matrices et de votre calculatrice, mais
en rédigeant bien la méthode.
$$\left\{\begin{array}{l}
          x+y-z=5 \\ -y+2z=25 \\ -2x+y+z=15
         \end{array}\right. $$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(5 points)}\\
\includegraphics[scale=1]{DSMatrices}
\end{ExoF}

\end{document}