\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{DS}
\newcommand{\ch}{Chapitre 4-5}
\newcommand{\Ch}{Loi Normale et Matrices (1h)}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item  %Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
On repète 50 fois l'expérience aléatoire \og choisir un composant \fg de manière identique et indépendante.\\
L'expérience est :
\begin{itemize}
 \item soit un succès (la durée de vie est supérieure à 1\,000h) de probabilité 0.67
 \item soit un échec (dans tous les autres cas)
\end{itemize}
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, donc 
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0.67$
\item A la calculatrice, on trouve $p(X = 42)\simeq 0.004$. 
\item Sur la ligne 6 du tableau, on lit $p(X\leq 42)\simeq \np{0.99797363}$. \\
Donc $p(X>42) \simeq 1- P(X\leq 42) \simeq 0.0020$
\end{enumerate}
 
\noindent \textbf{Partie B}
 
\begin{enumerate}
\item On peut approcher \og une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ par un loi normale de paramètres
$\mu$ et $\sigma$ \fg où $\mu=E(X)=np=50\times 0.67 = 33.5$ et 
$\sigma=\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{33.5\times (1-0.67)}\simeq 3.3$
\item Directement à la calculatrice, on trouve $P(27\leq Y \leq 40)\simeq 0.951$. 
\item Avec un dessin et la calculatrice, on trouve \quad  $P(Y \leq 35)=0.5+P(33.5\leq X \leq 35)\simeq 0.675$. 
\\
\item Avec un dessin et la calculatrice, on trouve \quad $P(Y > 42)=0.5-P(33.5\leq X \leq 42)\simeq 0.005$. 
\\
\item Directement à la calculatrice, on trouve  \quad $a \simeq 38.928$
\item A l'aide d'un dessin on peut voir que \quad $p(Y \geq b) =  0,95 \iff p(Y<b)=0.05$.\\
La calculatrice donne alors \quad $b\simeq 28.072$
\\
\item A l'aide d'un dessin, on trouve que \\
$p(33,5 - c \leq  Y \leq 33,5 + c) =  0,95.$\quad implique \quad $p(Y\leq 33.5-c)=\dfrac{0.05}2=0.025$.\\
A la calculatrice, on trouve alors que \quad $33.5-c\simeq 27.032$\quad d'où \quad$c \simeq 6.5$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(3 points)}\\
$$3A-2B = \left(\begin{array}{ccc}
           3 & -12 & 6 \\ 0 & 6 & 3 \\ -9 & 0 & -6 
          \end{array}\right)- \left(\begin{array}{ccc}
           4 & 0 & -4 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 6 & 2 
          \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}
           -1 & -12 & 10 \\ -2 & 6 & 5 \\ -11 & -6 & -8 
          \end{array}\right)$$

$A+C$ est impossible à faire, tout comme $A\times C$


$$C\times A=\left(\begin{array}{ccc}
           5 & -22 & 9 \\ -5 & 14 & -3 
          \end{array}\right) $$
où \quad  $5=5\times 1+ (-1) \times 0 + 0 \times (-3)$ \quad et
\quad  $-22=5 \times (-4)+(-1) \times 2 + 0\times 0$          
          

\end{ExoF}


\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(2 points)}\\
Le système $\left\{\begin{array}{l}
          x+y-z=5 \\ -y+2z=25 \\ -2x+y+z=15
         \end{array}\right. $ est équivalent à l'équation $AX=B$ avec \quad  $$A=\left(\begin{array}{ccc}
           1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 1 
          \end{array}\right) \quad , \quad  X=\left(\begin{array}{c}
           x \\ y \\ z
          \end{array}\right) \quad \text{et} \quad  B=\left(\begin{array}{c}
           5 \\ 25 \\ 15
          \end{array}\right)$$

Or
$$AX=B \iff A^{-1}\times A \times X = A^{-1} \times B \iff I \times X= A^{-1} \times B \iff X = A^{-1} \times B$$
A la calculatrice, on trouve \quad  $X=\left(\begin{array}{c}
           10 \\ 15 \\ 20
          \end{array}\right)$ \quad donc $x=10$, $y=15$ et $z=20$ sont solutions du système.

\end{ExoF}


\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(5 points)}\\
On appelle $s$ la quantité de sable, $g$ la quantité de gravier et $c$ la quantité de ciment commandées.\\
On sait que $\left\{\begin{array}{ccccccc}
                     2.1s & + & 2g & + & 5.4c & = & 58.1\euro\\ 
                    2s & + & 2g & + & 5.3c & = & 56.5\euro\\
                    1.9s & + & 2g & + & 5.1c & = & 54.4\euro\\
                    \end{array}\right.$
                    \\
Or ce système est équivalent à l'équation $AX=B$ avec \quad  $$A=\left(\begin{array}{ccc}
           2.1 & 2 & 5.4 \\ 2 & 2 & 5.3 \\ 1.9 & 2 & 5.1 
          \end{array}\right) \quad , \quad  X=\left(\begin{array}{c}
           s \\ g \\ c
          \end{array}\right) \quad \text{et}  \quad  B=\left(\begin{array}{c}
           58.1 \\ 56.5 \\ 54.4
          \end{array}\right)$$

Or $$AX=B \iff A^{-1}\times A \times X = A^{-1} \times B \iff I \times X= A^{-1} \times B \iff X = A^{-1} \times B$$
A la calculatrice, on trouve \quad  $X=\left(\begin{array}{c}
           11 \\ 4 \\ 5
          \end{array}\right)$ \quad donc $s=11$, $g=4$ et $c=5$ sont solutions du système.\\
          J'avais donc commandé 11 kg de sable, 4 kg de gravier et 5 kg de ciment.
\end{ExoF}

\end{document}