\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Interro}
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Loi binomiale}
\newcommand{\Cl}{BTS}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\tps}{30 min}
\newcommand{\coef}{0.5 par interro}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\InterroCha


\begin{ExoF}
\textbf{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-4}$. \hfill (4.5 points)\\}
 Un garagiste choisit 10 pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock est assez 
important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise de 10 pneus.\\
La probabilité qu'un pneu pris au hasard ait un défaut est $0,065$.\\
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10 pneus, associe le nombre de pneus de ce prélèvement
qui présentent un défaut.
\begin{enumerate}
 \item \begin{small}\textit{Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. }\end{small}\\
 On répète 10 fois de manière \textbf{identique} et \textbf{indépendante} l'expérience \og choisir un pneu \fg. Un pneu est :
 \begin{itemize}
  \item Soit conforme (\textbf{échec})
  \item Soit non conforme (\textbf{succès de probabilité} $p=0.065$)
 \end{itemize}
$X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, \textbf{donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et} $p=0.065$ 
 \item \begin{small}\textit{Calculer la probabilité qu'aucun pneu de ce prélèvement n'ait un défaut.}       \end{small} \hfill 
 $P(X=0)\simeq 0.5106$
 \item \begin{small}\textit{En déduire la probabilité qu'au moins un pneu de ce prélèvement présente un défaut.}  \end{small} \hfill
 $P(X\geq 1)=1-P(X=0)\simeq 0.4894$
 \item \begin{small}\textit{Calculer la probabilité qu'au plus deux pneus de ce prélèvement présentent un défaut.}       \end{small} \hfill 
 $P(X\leq 2)\simeq 0.9767$
 \item \begin{small}\textit{Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter.}       \end{small} \hfill 
 $E(X)=n\times p = 10 \times 0.065 = 0.65$\\
 Sur un \textbf{grand nombre de lots de 10 pneus}, on peut espérer trouver $0.65$ \textbf{pneu non conforme en moyenne par lots}.
 \item \begin{small}\textit{Calculer l'écart-type de $X$. }       \end{small}\hfill 
 $\sigma(X)=\sqrt{n\times p \times (1-p)}=\sqrt{0.65\times 0.935}\simeq 0.7796$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\textbf{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-6}$\hfill (5.5 points)\\}
 Un fournisseur d'accès à Internet étudie les défaillances de son système de transmission par ADSL.\\
Les données utilisateur sont transmises par trames de $53$ octets. 
Dans une connexion, on prélève une trame (donc 53 octets) au hasard. La connexion est suffisamment importante pour assimiler 
ce prélèvement à un tirage au hasard et avec remise de $53$ octets parmi l'ensemble des octets transmis 
lors de la connexion.\\
On suppose que la probabilité qu'un octet prélevé au hasard dans la connexion contienne une erreur est $0,03$.\\    
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $53$ octets ainsi défini, 
associe le nombre d'octets contenant une erreur.
\begin{enumerate}
\item \begin{small}\textit{Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.}      \end{small}\\ 
 On répète 53 fois de manière \textbf{identique} et \textbf{indépendante} l'expérience \og choisir un octet \fg. Un octet est :
 \begin{itemize}
  \item Soit défaillant (\textbf{succès de probabilité} $p=0.03$)
  \item Soit non défaillant (\textbf{échec})
 \end{itemize}
$X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, \textbf{donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=53$ et} $p=0.03$ 
\item \begin{small}\textit{Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, exactement 10 octets contiennent une erreur.}      \end{small} \hfill
$P(X=10)\simeq 0.000003$
\item \begin{small}\textit{La connexion internet ralentit visiblement pour l'utilisateur lorsqu'au moins 5 octets contiennent des erreurs.\\
Calculer la probabilité que la connexion ne ralentisse pas visiblement pour l'utilisateur.}      \end{small} 
\begin{flushright}
 On veut $P(X<5)=P(X\leq 4) \simeq 0.978835$
\end{flushright}
  \item \begin{small}\textit{Un utilisateur d'internet perd patience et contacte l'assitance du fournisseur 
 lorsqu'au moins 8 octets contiennent une erreur. \\
 Calculer la probabilité qu'un utilisateur contacte l'assistance du fournisseur.}       \end{small} \hfill 
 $P(X\geq 8)=1-P(X\leq 7)\simeq 0.000174$
\item \begin{small}\textit{Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter.}      \end{small} \hfill 
$E(X)=np=53\times 0.03 = 1.59$\\
 Sur un \textbf{grand nombre de trames} (lots de 53 octets), on peut espérer trouver $1.59$ \textbf{octets défaillants en moyenne par trame.}
 \item \begin{small}\textit{Calculer l'écart-type de $X$.}       \end{small} \hfill 
  $\sigma(X)=\sqrt{n\times p \times (1-p)}=\sqrt{1.59\times 097}\simeq 1.241893$
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\end{document}