\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
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\newcommand{\Ch}{Equation diff\'erentielles Lin\'eaires}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha

\section{Refroidissement de l'eau}
 TP Du refroidissement de l'eau (Géogébra + Xcas) + TP5E à adapter pr Xcas et Géogébra
 
\newpage

\section{Méthode d'Euler}


 \textit{Très peu d'équations différentielles sont résolubles analytiquement, 
 aussi est-on amené à décomposer le problème. \\
 Lorsque l'on est sûr qu'il existe une solution unique à une ED satisfaisant des conditions initiales, on peut utiliser la méthode d'Euler
 pour en déterminer une valeurs approchées. Cette méthode repose sur l'approximation d'une fonction par ses tangentes successives.
 Je m'explique sur un exemple.}\\ 
 Considérons le système différentielle \quad 
 $\left\{\begin{array}{l}
 y'+2xy=0\\ y(0)=1
 \end{array}\right.$\\
 Pour diverses raisons, j'affirme à Leonhard que cette ED admet une unique solution, que j'appelle $f$.
Donc
 \begin{center}
Pour tout $x\in\R$, $f'+2xf=0 \iff $ \fbox{$f'=-2xf$}\qquad et \qquad \fbox{$f(0)=1$                                    }
\end{center}
 Leonhard ne sait pas résoudre cette ED, mais il est curieux et se demande à quoi peut bien ressembler 
 sa courbe représentative $\mathscr C_f$. 
 \begin{enumerate}
 \item \textit{Tous ensembles, avec image Géogébra vidéo-projetée}
 \begin{enumerate}
         \item Leonhard sait déjà que la courbe $\mathscr C_f$ passe par le point 
         \quad \fbox{\vrule width 0in height 10pt $A(...,...)$}
 \item Il a ensuite l'idée ingénieuse de se dire qu'aux environs du point $A$, la courbe est proche de sa tangente 
 en ce point. 
 Il cherche donc à déterminer son équation.\\
 Leonhard se rappelle l'équation de la tangente à une courbe au point d'abscisse $a$, bien connue de tous :
 \begin{center}
  \fbox{\vrule width 0in height 15pt $T_a ~:~......~=~.........$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~}
 \end{center}
\item  Ainsi au point $A$, la tangente à la courbe a pour équation :
$$\vrule width 0in height 10pt T_{...} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
\item Leonhard utilise alors l'ED donnée pour trouver une expression plus explicite.\\
Il sait que $f(0)~=~...$\qquad\qquad Et que \quad $f'(0)~=~-2~\times~ ..... ~\times~ ..... ~=~..... $\\
Il en déduit donc plus précisément l'équation de la tangente considérée :
$$\vrule width 0in height 10pt T_{...} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
\item Puisque la courbe $\mathscr C_f$ est proche de cette tangente aux environs de $A$, Leonhard se dit que 
l'équation de la courbe $\mathscr C_f$ est presque celle de cette tangente sur l'intervalle $[0,1]$, donc que 
$$\forall x\in [0,1] \quad f(x)\simeq ...$$
Il en déduit que \qquad $f(1)\simeq ...$ \qquad et donc que la courbe passe presque par le point \quad $B(1, ...)$
\item Leonhard recommence alors le processus précédent au point d'abscisse 1.\\
Il sait que 
$$\vrule width 0in height 10pt T_{1} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
Or il a établit que $f(1)~\simeq~ ...$\qquad\qquad Et donc \quad $f'(1)~=~-2~\times~ ..... ~\times~ ..... ~\simeq ~..... $\\
Il en déduit alors plus précisément l'équation de la tangente considérée :
$$\vrule width 0in height 10pt T_{...} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
       \end{enumerate}
\item \textit{A vous de jouer !} \begin{enumerate}
  \item Leonhard pourrait continuer ce processus, mais il pense qu'il n'a pas été assez précis.\\
Il reprend donc la méthode précédente, mais décide de ne tracer la première tangente que sur $[0,0.5]$.\\
\textbf{Placer le point $A$ dans le repère donné et tracer $T_0$ sur $[0,0.5]$}
\item Leonhard recommence alors sa démarche précédente. Il se dit que 
l'équation de la courbe $\mathscr C_f$ est presque celle de cette tangente sur l'intervalle $[0,0.5]$, donc que 
$$\forall x\in [0,0.5] \quad f(x)\simeq ...$$
Il en déduit que \qquad $f(0.5)\simeq ...$ \qquad et donc que la courbe passe presque par le point \quad $C(0.5, ...)$
\\
\textbf{Placer $C$}
\item Leonhard sait donc que 
$$\vrule width 0in height 10pt T_{0.5} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
Or il a établit que $f(0.5)~\simeq~ ...$\qquad\qquad Et donc \quad $f'(0.5)~=~-2~\times~ ..... ~\times~ ..... ~\simeq ~..... $\\
Il en déduit $$\vrule width 0in height 10pt T_{...} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
\textbf{Tracer la tangente considérée sur $[0.5,1]$.}
\item Leonhard obtient donc 
$$\forall x\in [0.5,1] \quad f(x)\simeq ...$$
\begin{flushright}
\fbox{\textbf{STOP PROF}} 
\end{flushright}
\item Puis Leonhard recommence la démarche précédente sur $[1,1.5]$.
$$\vrule width 0in height 10pt T_{1} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
Or $f(1)~\simeq~ ...$\qquad\qquad Et  \quad $f'(1)~=~-2~\times~ ..... ~\times~ ..... ~\simeq ~..... $\\
Ainsi $$\vrule width 0in height 10pt T_{...} ~:~......~=~.........\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~$$
\textbf{Tracer la tangente considérée sur $[1,1.5]$.}\\
Et donc 
$$\forall x\in [0.5,1] \quad f(x)\simeq ...$$
\begin{flushright}
\fbox{\textbf{STOP PROF}} 
\end{flushright}
\item Réitérer cette démarche sur $[1.5,2]$\\
\vspace{3cm}\\
\begin{flushright}
\fbox{\textbf{STOP PROF}} 
\end{flushright}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\psset{xunit=8.5cm,yunit=8.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(2.1,1.1)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,subgridcolor=lightgray,gridcolor=lightgray](0,0)(-0,-1.1)(2.1,1.1)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.1,Dy=0.1,ticksize=-3pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0,-1.1)(2.1,1.1)
\end{pspicture*}

\newpage
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{wwwwff}{0.4 0.4 1}
\newrgbcolor{ttfftt}{0.2 1 0.2}
\newrgbcolor{qqwwcc}{0 0.4 0.8}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=8.5cm,yunit=8.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(2.1,1.1)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,subgridcolor=lightgray,gridcolor=lightgray](0,0)(-0,-1.1)(2.1,1.1)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.1,Dy=0.1,ticksize=-3pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0,-1.1)(2.1,1.1)
\rput[lt](1.3,1.05){\parbox{9 cm}{Résolution de l'équation différentielle  $$y'+2xy=0$$   
avec la condition initiale   $$y(0)=1$$  par la méthode d'Euler\\
(\textbf{Approximation})
}}
\rput[lt](0.2,-0.2){\parbox{9 cm}{ Avec les pas 
\begin{itemize}
 \item 1 \item 0.5 \item
 0.25 \item 0.125 \\
\end{itemize}
 Et la courbe représentative de la solution \textbf{exacte} 
 $$y=e^{-x^2}$$
 }}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=wwwwff](0,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=wwwwff](1,1)(2,-1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ttfftt](0,1)(0.5,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ttfftt](0.5,1)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ttfftt](1,0.5)(1.5,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ttfftt](1.5,0)(2,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwwcc](0,1)(0.25,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwwcc](0.25,1)(0.5,0.88)
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\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-0.19184308876649453}{2.1690765043555316}{EXP(-x^2)}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](0.13,1)(0,1)
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\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1.88,0.02)(2,0.01)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0,1)
\rput[bl](0.01,1.01){{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](1,1)
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\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0.5,1)
\rput[bl](0.51,1.01){{$C$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}


\end{document}




