\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
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\newcommand{\Ch}{Loi Binomiale}
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\newcommand{\Annee}{2014-2015}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
 Une entreprise fabrique une grande quantité de tubes.\\
 Dans un lot de tubes, $3\%$ des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50 tubes de ce lot. Le lot est suffisamment
 important pour assimiler le prélèvement à un tirage avec remise de 50 lots.\\
 On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  \item Calculer $P(X=0)$. Interpréter.
  \item En déduire la probabilité que dans un tel prélèvement, au moins un tube ne soit pas conforme pour la longueur.
  \item L'entreprise reçoit une amende si, lors d'un tel prélèvement pratiquer par un expert, il y a 3 tubes ou plus
  non conformes pour la longueur.
  \begin{itemize}
   \item Calculer la probabilité que l'entreprise ne reçoive par d'amende.
   \item En déduire celle que l'entreprise reçoive une amende.
  \end{itemize}
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Un grossiste en fourniture de bureau revend un ruban adhésif.\\
 La probabilité qu'un ruban adhésif jaunisse le papier est de $0,008$.\\
 Un client achète 500 rubans adhésifs. On assimilera le choix des ces 500 rubans à un tirage aléatoire avec remise.\\
 On s'intéresse à la vairable aléatoire $X$ qui compte dans ce lot le nombre de rubans qui jaunissent le papier.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $X$ suit une  loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  \item Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces rubans jaunisse le papier ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Un constructeur de composants électroniques fabrique des diodes.\\
 La probabilité pour qu'une diode soit défectueuse est $5 \times 10^{-3}$. On prélève au hasard un lot de 10 diodes
 dans la production d'une journée. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 diodes.\\
 On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de diodes défectueuses dans ce lot.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres
  \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité d'avoir dans ce lot de 10 diodes :
 \begin{enumerate}
  \item exactement une diode défectueuse ;
  \item exactement deux diodes défectueuse ;
  \item au moins 2 diodes défectueuses ;
  \item au plus 2 diodes défectueuses.
 \end{enumerate}
 \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter.
 \item Calculer l'écart-type de $X$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
 Une usine fabrique en grande quantité des rondelles d'acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres.\\
La probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans un stock important ait un diamètre défectueux est $0,02$.\\
On prélève au hasard 20 rondelles dans le stock pour vérification de leur diamètre. Le stock est assez important 
pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 rondelles.\\
On note $X$ la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de rondelles ayant un diamètre défectueux.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  \item Calculer la probabilité que dans ce prélèvement aucune rondelle n'ait un diamètre défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
   \item Calculer la probabilité que dans ce prélèvement au plus trois rondelles aient un diamètre défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
   \item Calculer la probabilité que dans ce prélèvement au moins huit rondelles aient un diamètre défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
    \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter.
 \item Calculer l'écart-type de $X$.
   \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
 Un tireur à la carabine touche le centre de la cible avec une probabilité égale à $0,7$.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la probabilité que sur 5 tirs il touche au moins une fois sa cible ? \\
  \textbf{Bien rédiger la réponse en justifiant le calcul !}
  %  \item Combien de tirs doit-il effectueur pour que la probabilité qu'il touche au moins une fois sa cible soit supérieure
  %à $0,95$ ?
  \item Le tireur repère tous les jours de l'année une séance de 5 tirs.\\
  Combien de fois peut-il espérer toucher en moyenne sa cible par jour ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Une chaîne de magasins de bricolage commercialise des ponceuses.\\
La probabilité qu'une ponceuse  soit défectueuse est $p=0,08$.
On prélève au hasard 25 ponceuses  dans le stock pour vérification. Le stock est assez important 
pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses.\\
On note $X$ la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses défectueuses
de ce prélèvement.\\
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à $10^{3}$.
\begin{enumerate}
  \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  \item Calculer la probabilité que dans ce prélèvement il y ait exactement 4 ponceuses défectueuses.
   \item Calculer la probabilité que dans ce prélèvement au moins une ponceuse défectueuse. 
   \item \begin{enumerate}
          \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Interpréter.
          \item Calculer l'écart-type de $X$. Interpréter.
          \item La réparation d'une ponceuse défectueuse coûte $30 \euro$. Quelle est, pour un lot de $25$ ponceuses,
          le montant des réparations à prévoir ? Est-ce risqué ?
         \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de $10$ questions numérotées de $1$ à $10$. Pour chacune d'elles, quatre réponses possibles
sont proposées, dont une seule est exacte.\\
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas 
le chinois (bien qu'il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon indépendante (Fabrice
déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte).\\
 \begin{minipage}{6cm}
Une bonne réponse donne 1 point à Fabrice, une mauvaise ne lui donne rien.\\
 On désigne par $X$ la variable aléatoire comptant le point obtenus par Fabrice.
\begin{enumerate}
 \item Justifier $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
 \item Dans géogébra, on donne l'histogramme et le graphique en escalier ci-contre.\\
  Lire sur ces graphiques  : 
 \begin{enumerate}
   \item la probabilité que Fabrice obtienne la note maximale ?
  \item la probabilité qu'il obtienne au moins la moyenne ?
  \item la note la plus probable de Fabrice ?
   \end{enumerate}
    \item Quelle note que Fabrice peut-il espérer obtenir en moyenne sur un grand nombre de QCMs qu'il aurait réaliser ainsi ?
 \end{enumerate}
 \end{minipage}\quad
  \begin{minipage}{13cm}
 \begin{center}
  \includegraphics[scale=0.45]{Exo1} \\ \includegraphics[scale=0.45]{Exo2}
 \end{center}
  \end{minipage}
\end{ExoF}

\newpage


\begin{ExoF}\hfill\textbf{Affaire Castaneda contre Partida}\\
Des arguments de type probabiliste peuvent être avancés et pris en compte dans les cours de justice. En novembre 1976, 
Rodrigo Partida, d'originie mexicaine, était condamné à huit ans de prison
pour vol et tentative de viol dans un comté du sud du Texas. Il attaqua le jugement sous motif que la désignation des jurés 
dans l'Etat du Texas était discriminatoire pour les Américains d'origine mexicaine. 
Son argument était que ceux-ci 
n'étaient pas suffisamment représentés dans les jurys populaires.
\Cadre[Attendu de la Cour Suprême des Etats-Unis (affaire Castaneda contre Partida)]{
 \og Si les jurés étaient tirés au hasard dans l'ensemble de la population, le nombre d'américains 
 mexicains dans l'échantillon
 pourrait alors être modélisé par une distribution binomiale ... \\
 Etant donnée que $79.1\%$ de la population est mexico-américaine, 
 le nombre attendu d'américains mexicains parmi les $870$ personnes convoquées en tant que grands jurés
 pendant la période de 11 ans est approximativement de $688$.
 Le nombre observé est $339$. \\
 Bien sûr, dans n'importe quel tirage considéré, une certaine fluctuation par rapport au nombre 
 attendu est prévisible.
 Le point essentiel, cependant, est que le modèle statistique montre que les résultats d'un tirage au 
 sort tombent vraisemblablement
 dans le voisinage de la valeur attendue ...\\
 La mesure des fluctuations prévues par rapport à la valeur attendue est l'écart-type, défini 
 pour la distribution
 binomiale comme la racine carré de la taille de l'échantillon (ici $870$) multiplié par la probabilité de sélectionner un américain mexicain 
 (ici $0.791$) et par la probabilité de sélectionner un non américain mexicain (ici $0.209$) ...
 Ainsi, dans ce cas, l'écart-type est approximativement de $12$. \\
 En règle générale, pour de si grands échantillons, si la différence entre la valeur attendue
 et le nombre observé est plus grande que deux ou trois écarts-types, alors l'hypothèse que le tirage 
 du jury 
 était au hasard serait suspecte à un spécialiste des sciences humaines. \\
 Les données sur 11 années reflètent ici une différence d'environ
 29 écarts-types. Un calcul détaillé revèle qu'un éloignement aussi important de la valeur attendue 
 se produirait avec
 moins d'une chance sur $10^{140}$.\fg\\
\quad \hfill \begin{small}Source : \og \textit{Prove it with Figures (Statistics for Social Science and Behaviour Sciences)}\fg, 
 Hans Zeisel et David Kaye ; Springer (2006)          \end{small}     
}
\begin{enumerate}
 \item Définir la variable aléatoire $X$ qui, dans cette situation, suit une loi binomiale.\\
 Quels sont les paramètres de cette loi binomiale ?
 \item A quel calcul correspond la valeur $688$ ?
 \item Effectuer le calcul de l'écart-type de $X$. A quoi correspond la \og différence de $29$ écarts-types \fg ?
 \item A quel événement correspond la probabilité de $10^{-140}$ ? Faites le calcul à l'aide du logiciel Xcas. Etes-vous d'accord ?
 \item Peut-on considérer que la consitution des jurys résultait du hasard ?
 \item La cour d'appel a donc finalement donné raison à la défense Partida. Cependant, elle exclut une démonstration
 mathématique de discrimination raciale. N'allez pas croire qu'il y ait eu un complot !\\
 Quel critique pouvez-vous faire sur la modélisation ?\\
 A votre avis, qu'est-ce qui peut justifier une telle composition de jury ?
\end{enumerate}
%\Rq{La différence observée ici s'explique en partie par le fait qu'un juré doit maîtriser parfaitement l'anglais écrit et oral ...}
\end{ExoF}



 

\end{document}
