\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\Ch}{Equation diff\'erentielles Lin\'eaires d'ordre 1}
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Cl}{2CRSA}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
%\newcommand{\num}{8}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha
~\quad~
\subsubsection*{Applications bêtes et méchantes}
 
\begin{ExoF}
 Résoudre les ED suivantes :
 \begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}
   \item $2y'+3y=0$ 	\item $4y'+5y=0$	\item $2y'-3y=0$
  \end{itemize}
 \end{multicols}
\end{ExoF}
 
\begin{ExoF}
 Pour chacune des ED suivantes, vérifier que la fonction $h$ est une solution de l'équation proposée, puis résoudre l'ED :
  \begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}
   \item $y'+2y=6$ \quad ; \quad $h(x)=3$	\item $y'-y=x$ \quad ; \quad $h(x)=-x-1$	
   \item $2y'+y=e^x$ \quad ; \quad $h(x)=\dfrac13 e^x$
  \end{itemize}
 \end{multicols}
\end{ExoF}
 
\begin{ExoF}
 On considère l'ED \quad $y'+3y=5$
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=a$ soit une solution  
  de l'ED
  \item Résoudre l'ED.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Pour chacune des ED suivantes, déterminer la fonction $f$ solution vérifiant la condition initiale donnée :
  \begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}
   \item $y'-2y=0$ \quad ; \quad $f(0)=2$	\item $y'+y=0$ \quad ; \quad $f(-1)=3$	
   \item $y'+2y=0$ \quad ; \quad $f(0)=2$	
  \end{itemize}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère l'ED \quad $(E) : y'+3y=3$
\begin{enumerate}
  \item Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=a$ soit une solution 
  particulière de l'ED $(E)$
  \item Déterminer la solution générale $g$ sur $\R$ de l'équation homogène associée à $(E)$
  \item En déduire la solution générale sur $\R$ de l'équation $(E)$
 \item Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $f(0)=-1$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère l'ED \quad $(E) : 5y'-y=x$
 \begin{enumerate}
  \item Vérifier que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=-x-5$ est une solution 
  particulière de $(E)$
  \item Déterminer la solution générale $g$ sur $\R$ de l'équation homogène associée à $(E)$
  \item En déduire la solution générale sur $\R$ de l'équation $(E)$
 \item Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère l'ED \quad $(E) : y'-2y=-4t$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière $h$ de $(E)$ de la forme $h(t)=\alpha t + \beta$,
où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles à déterminer.
\item Déterminer la solution générale $g$ de l'équation homogène associée à $(E)$.
 \item En déduire la solution générale $f$ sur $\R$ de l'équation $(E)$
 \item Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $f(0)=3$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
On considère sur $\R$ l'ED \quad $(E) : 2y'-y=-t^2+5t$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière $h$ de $(E)$ de la forme $h(t)=A t^2 + Bt+C$,
où $A$, $B$ et $C$ sont trois réels à déterminer
\item Déterminer la solution générale $g$ de l'équation homogène associée à $(E)$.
 \item En déduire la solution générale $f$ sur $\R$ de l'équation $(E)$
 \item Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $f(-1)=5$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère sur $\R$ l'ED \quad $(E) : y'+y=2\cos(x)$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\cos(x)+\sin(x)$ est
une solution particulière de $(E)$.
\item Déterminer la solution générale $g$ de l'équation homogène associée à $(E)$.
 \item En déduire la solution générale $f$ sur $\R$ de l'équation $(E)$
 \item Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $f\left(\dfrac{\pi}2\right)=2$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère sur $\R$ l'ED \quad $(E) : y'-y=\sin(x)$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=-\dfrac12 \big(\cos(x)+\sin(x)\big)$ est
une solution particulière de $(E)$.
\item Déterminer la solution générale $g$ de l'équation homogène associée à $(E)$.
 \item En déduire la solution générale $f$ sur $\R$ de l'équation $(E)$
 \item Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $f\left(\dfrac{\pi}2\right)=1$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsubsection*{Type CCF}


\begin{ExoF} %B Metro 2010
 On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~:\quad  y' - y = \text{e}^x - 2x\]
 
où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne  sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 
\[\left(\text{E}_{0} \right) : \quad y'- y = 0. \]
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[g(x) = x \text{e}^x + 2x + 2.\]
 Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 3$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF} % B NvelleCal nov 2010
 On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) :\quad  y' - 3 y = - \text e^{3x}\]
 où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée.
 \begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 
\[\left(\text{E}_{0}\right) :\quad  y'-3y  = 0.\]
 \item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = - x\text e ^{3x}$.
 
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Pour tester la résistance à la chaleur d'une plaque d'isolation phonique, on porte en laboratoire sa température à 100$^{\circ}$ C
 et on étudie l'évolution de sa température en fonction du temps $t$ en minutes.
 Soit $\theta(t)$ la température en degrés Celsius de la plaque à l'instant $t$ exprimé en minutes.\\
 La température ambiante du laboratoire est de $19^{\circ}$C et après 6 minutes, la température est redescendue à $82^{\circ}$C.
 En exploitant ces données, on peut affirmer que la fonction $\theta$ est solution de l'équation différentielle :
 $$y'(t)+0.042y(t)=0.798 \qquad (E)$$
 où $y$ est la fonction inconnue, de variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$\\
  \partieBac{Première partie}
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre sur l'intervalle $[0;+\infty[$ l'équation homogène associée à $(E)$
  \item Trouver une solution particulière de $(E)$ constante du type $h(t)=a$ où $a$ est un nombre réel à déterminer.
  \item En déduire toutes les solutions de $(E)$
  \item D'après l'énoncé, donner $\theta(0)$ puis déterminer la solution $\theta$ de l'équation $(E)$ vérifiant cette condition
  initiale.
 \end{enumerate}
\partieBac{Deuxième partie}
\begin{enumerate}
  \item On admet que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; +\infty[$ :
 $$\theta(t)=81 e{-0.042t}+19$$
 \begin{enumerate}
  \item Tracer à l'écran de votre calculatrice la courbe $\mathscr C$ représentative de la fonction $\theta$ 
  pour $0\leq t \leq 150$
  \item Calculer la température de la plaque après 35 minutes.\\
  Retrouver graphiquement ce résultat à l'aide de la courbe $\mathscr C$ obtenue sur la calculatrice.
    \item Calculer la fonction dérivée $\theta '$\\
    En déduire le sens de variation de $\theta$ sur $[0; + \infty[$
        \item Calculer le temps à partir duquel la température de la plaque est inférieur à $30^{\circ}$C .\\
        Retrouver graphiquement ce résultat à l'aide de la courbe $\mathscr C$ obtenue sur la calculatrice.
        \item Déterminer $\Lim[t]{+\infty} \theta(t)$ et interpréter ce résultat.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}




