\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Correction DS} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Loi Binomiale}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{8}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha
%\quad

%\textbf{Nom : } \hspace{6cm} \textbf{Prénom : }\hfill\textbf{Classe : 1G4}\\


%\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements.}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{8 points}
\begin{enumerate}
\item %Donner, \textbf{sans justification}, la loi suivie par la variable aléatoire $X$ en précisant 
%ses paramètres.
$X \hookrightarrow B(50,0.1)$
%\item Déterminer la probabilité qu'exactement 10 ordinateurs tombent en panne dans le week-end. %0.00529
\item %Déterminer la probabilité qu'aucun ordinateur ne tombe en panne durant le week-end. %
$P(X=0)=0.9^{50} \simeq 0.0052$
\item %Déterminer $P(X\geq 1)$. \textbf{Interpréter} (\textit{dans un français correct !!}) %
$P(X\geq 1)=1-P(X=0)\simeq 0.9948$\quad La probabilité qu'au moins un ordinateur tombe en panne durant le week-end est
d'environ $0.9948$
\item %Déterminer $P(X=1)$ puis $P(X=2)$. % 
$P(X=1)=0.1^1\times 0.9^{49} \times 50 = 0.0286$ \quad  et \quad $P(X=2)=0.1^2\times 0.9^{48}\times \binom{50}{2}\simeq 0.0779$
\item %Déterminer la probabilité qu'au plus $2$ ordinateurs soient en panne le lundi matin. %
$P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \simeq 0.1117$
\item %Déterminer $E(X)$ puis \textbf{interpréter}. %
$E(X)=np=50 \times 0.1 =5$. \quad Sur un grand nombre de we, le lycée aura en moyenne 5 ordinateurs en panne chaque we.
\item %Calculer $\sigma(X)$.
$\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{5\times 0.9}=\sqrt{4,5}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{8 points}
%En Syldavie, les filles se font rares : des études statistiques ont montré que
%la probabilité d'avoir un garçon est de $0,7$ et que les naissances sont toutes indépendantes 
%(c'est-à-dire que chaque enfant a $70\%$ de chance d'être un garçon). 
\begin{enumerate}
\item %On s'intéresse au nombre de filles d'un père de trois enfants.\\
%On note $X$ la variable aléatoire qui donne \textbf{le nombre de filles de cet homme}.
\begin{enumerate}
\item %Donner, \textbf{sans justification}, la loi suivie par la variable aléatoire $X$ en précisant ses paramètres.
$X \hookrightarrow B(3;0.3)$
\item %Montrer que la probabilité que cet homme ait au moins une fille vaut $0,657$. %
$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0.7^3 = 0.657$
\item %Calculer la probabilité que cet homme ait au moins un garçon. %
$P(X\leq 3-1)=P(X \leq 2)=1-P(X=3)=1-0.3^3=0.973$
\end{enumerate}
\item %Afin de valoriser les pères réussissant à concevoir des filles, l'état syldave a mis en place un système de bonus/malus 
%à la naissance :
%\begin{itemize}
 %\item pour chaque fille née, un père reçoit une prime de 100\euro, 
 %\item pour chaque garçon né, un père doit payer une amende de 30 \euro.
%\end{itemize}
%On note $Y$ a variable aléatoire qui donne le gain algébrique d'un père de trois enfants.
\begin{enumerate}
 \item %Montrer que $Y=130 X -90$
 $X$ est le nombre de filles et donc $3-X$ est le nombre de garçons pour un père de trois enfants. Ainsi :\qquad 
 $Y=100X-30(3-X)=100X-90+30X=130X-90$
 \item %Déterminer le gain moyen d'un père de trois enfants. %27
 $E(Y)=E(130X-90)=130E(X)-90=130 \times 3 \times 0.3-90=27$
 \item %L'état syldave ne souhaite pas perdre d'argent dans cette histoire. \\
 %Déterminer le montant minimum de l'amende qu'il doit fixer pour cela (sans changer la prime). %33,33...
 On cherche l'amende $A$ telle que $E(Y)<0$. 
 Or désormais, $Y=(100+A)X-3A$ \\
 Donc $E(Y)<0 \iff (100+A)0.9-3A<0 \iff 90-2.1A<0 \iff ... \iff A>\dfrac{90}{2.1}\simeq 42,86$.\\
 Il faut une amende d'au moins 42,86 \euro
\end{enumerate}
\item %On rencontre ensuite au hasard et de manière indépendante $10$ pères de trois enfants 
%(les hypothèses sont les mêmes qu'au début de l'exercice).\\
%On note $Z$ la variable aléatoire qui donne \textbf{le nombre de pères qui ont au moins une fille}.
\begin{enumerate}
\item %\textbf{Justifier} que $Z$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On repète 10 fois de manière identique et indépendante l'épreuve <<rencontrer un père de 3 enfants>>. Cette épreuve est :
\begin{itemize}
 \item soit un succès : <<le père au au moins une fille>> de probabilité $0.657$
 \item soit un échec, de probabilité $0.343$
\end{itemize}
$Z$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, donc $Z \hookrightarrow B(10;0.657)$
\item %Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que neuf pères exactement sur les dix 
%aient au moins une fille. %0.078
$P(Z=9)=0.657^9 \times 0.343 \times 10 \simeq 0.078$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}




%\newpage

\begin{ExoF}\hfill \textbf{4 points}
%Alice et Bob jouent une série de $12$ parties de dames. On suppose que la probabilité $p$ que Alice gagne 
%une partie est identique pour chacune des $12$ parties de la série.
\begin{enumerate}
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de victoires d'Alice. On admet que $X$
%suit la loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p$, avec $p>\dfrac12$.\\
%Nous savons de plus que l'espérance de $X$ vaut $\dfrac{48}5$.\\
%Déterminer la probabilité $p$ qu'Alice gagne une partie.
On sait que $E(X)=np \iff \dfrac{48}{5}=12\times p \iff ... \iff p=\dfrac45$
\item %Alice et Bob recommencent une série de parties de dames pour lesquelles à chaque fois Alice gagne 
%avec une probabilité égale à $\dfrac{4}{5}$. En revanche, ils décident d'arrêter de jouer
%dès que Bob remporte une partie.\\
%On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de parties disputées lors de cette série.
\begin{enumerate}
\item %La variable aléatoire $Y$ suit-elle une loi binomiale ? Si oui, préciser ses paramètres.
$Y$ ne suit pas une loi binomiale car on s'arrête de jouer ou non en fonction du résultat de la dernière partie.
\item %Calculer $P(Y=1)$ et $P(Y=2)$.
$P(Y=1)=P(\text{Bob a remporté la première partie})=\dfrac15$ \hfill Avec un arbre, on trouve aussi :\\
$P(Y=2)=P(\text{Alice a remporté la première partie et Bob la deuxième})=\dfrac45\times \dfrac15=\dfrac4{25}$ 
\item %La probabilité qu'Alice gagne plus de parties que Bob est-elle supérieure à $\dfrac{1}{2}$ ? Expliquer.
Alice gagne plus de parties que Bob s'ils jouent au moins 3 parties, donc on cherche à savoir si $P(Y\geq 3)$ est supérieur
ou non à $\dfrac12$.\\
Or $P(Y\geq 3)=1-P(Y=1)-P(Y=2) \simeq 1-\dfrac15-\dfrac4{25}=1-\dfrac9{25} >\dfrac12$.\\
donc Alice a plus d'une chance sur 2 de gagner plus de parties que Bob.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}

