\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Nombre D\'eriv\'e}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{7}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha
%\quad

%\textbf{Nom : } \hspace{6cm} \textbf{Prénom : }\hfill\textbf{Classe : 1G4}\\


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(6 points)}
 \begin{enumerate}
  \item $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$
$$ f'(-2)=-\dfrac32\qquad\qquad f'(7)=\dfrac23 \qquad\qquad  f'(1)=1 \qquad\qquad f'(0)=-\dfrac12
\qquad\qquad f'(-5)=3\qquad\qquad f'(3)=0 $$
\item %Déterminer, par la méthode de votre choix, les équations réduites des tangentes 
Par lecture graphique et un peu de réflexion, on trouve :
$$\, T_{3}:y=1  \qquad, \qquad T_{-5}:y=3x+16 \qquad \text{ et }\qquad T_{7}:y=\dfrac23x-\dfrac{14}3$$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=3x^2-5x-1$.\hfill \textbf{(4 points)}
 \begin{enumerate}
  \item %$f$ est-elle dérivable en $2$ ? Si oui, préciser $f'(2)$.
  Soit $h\in\R^*$. On a \quad $f(2+h)=3(2+h)^2-5(2+h)-1 = ... = 3h^2+7h+1$ \\ Et \quad   $f(2)=3\times 2^2-5\times 2-1=...=1$\\

  Ainsi \quad  $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{3h^2+7h+1 - 1}{h}= ... = \dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{7h}h = 3h+7$\\

  Or \quad  $\Lim[h]{0}3h+7=7 \in\R$ \hfill donc $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=7$.
  \item %Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de   $f$ au point d'abscisse $2$.
  On sait que \quad $T_2:y=f'(2)(x-2)+f(2)$ \quad Or $f(2)=1$ et $f'(2)=7$\\
  Donc $T_2:y=7(x-2)+1 \iff ... \iff T_2:y=7x-13$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF} On appelle $f$ la fonction racine carré.\hfill \textbf{(6 points)}
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item %Soit $h$ un nombre réel tel que $4+h\geq 0$. \\
        % Ecrire le taux de variation $\tau$ de $f$ entre $4$ et $4+h$.
        $\tau=\dfrac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}=\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}$
  \item %Montrer que $\tau = \dfrac{1}{\sqrt{4+h}+\sqrt{4}}$
  $\tau = \dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h} \times \dfrac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2} = ... = \dfrac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)}
  =\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}$
  \item %En déduire que $f$ est dérivable en $4$ et donner la valeur de $f'(4)$.
  Or $\Lim[h]{0} \sqrt{4+h}=\sqrt{4}=2$ \quad donc \quad  
  $\Lim[h]{0} \dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2} = \dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$
  \item %Interpréter graphiquement cette valeur.
  La tangente au point d'abscisse $4$ de la courbe représentative de la fonction racine carré a pour coefficient
  directeur $f'(4)=\dfrac14$
        \end{enumerate}
 \item %Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
 Soit $h\in\R^*$ tel que $0+h \geq 0$ (ie $h>0$).\hfill
 $\tau(0,0+h)=\dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}= \dfrac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\times \sqrt{h}}
 =\dfrac{1}{\sqrt{h}}$\\
 Or $\Lim[h]{0} \sqrt{h}=0$ \quad donc \quad $\Lim[h]{0} \dfrac1{\sqrt{h}}=+\infty $ \quad ce qui n'est pas un nombre réel :
 $f$ n'est pas dérivable en $0$.
  \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} Soit $a\in]0; + \infty[$ et $h\in\R^*$ tel que $a+h \in ]0; + \infty[$.\hfill \textbf{(4 points)}
% Montrer que la fonction inverse est dérivable pour tout $a\in\R^{+*}$ et donner la valeur de son 
% nombre dérivé $f'(a)$.\hfill \textit{Rédiger soigneusement et rigoureusement !}
\begin{eqnarray*}
\tau(a;a+h)&=&\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac1a}{h}
=\left(\dfrac{1}{a+h}-\dfrac1a\right) \times \dfrac1h \\
&=& \left(\dfrac{1\times a}{(a+h) \times a}-\dfrac{1\times (a+h)}{a\times (a+h)}\right) \times \dfrac1h \\
&=& \dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)} \times \dfrac1h \\
&=& \dfrac{-h}{a(a+h)}) \times \dfrac1h = -\dfrac1{a(a+h)}
\end{eqnarray*}
Or $\Lim[h]{0} a+h = a$ \quad Donc \quad $\Lim[h]{0} -\dfrac{1}{a(a+h)}= -\dfrac1{a \times a} = -\dfrac1{a^2}$\hfill
Comme $a\neq 0$, $-\dfrac1{a^2} \in\R$. \\
Donc la fonction inverse est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(a)=-\dfrac1{a^2}$ pour tout $a\in]0;+\infty[$
\end{ExoF}




\end{document}
