\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{5}	
\newcommand{\tps}{1h30}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha
%\quad

%\textbf{Nom : } \hspace{6cm} \textbf{Prénom : }\hfill\textbf{Classe : 1G4}\\


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(2 points)}\\
Dans un repère du plan,  on donne les vecteurs :
$$\overrightarrow{PQ}\left(\begin{array}{c}
               -3 \\ x+1
              \end{array}\right) \qquad , \qquad \overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c}
                                                               x-5 \\ 3
                                                              \end{array}\right)$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(PQ)//(MN)$ si et seulement si $x^2-4x+4=0$.
\item En déduire les coordonnées de $\overrightarrow{MN}$ et de $\overrightarrow{PQ}$ pour lesquelles
$(MN)//(PQ)$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(9 points)}\\
 On considère trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés et le point $D$ tel que 
 $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$.\\
 \textit{On ne demande aucun schéma.}
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ? \textit{Justifier} .\\
  
   A partir de maintenant, on munit le plan d'un repère et on donne les informations suivantes :
         $$A(-2;4) \qquad , \qquad B(2;2)\qquad , \qquad C(-5;0)$$ 
 \textit{On ne demande pas de figure.}
  \item Déterminer les coordonnées de $D$ par le calcul.
 \item \begin{enumerate}
        \item Soit $(d)$ la droite dont une équation cartésienne est $6x+y=14$. \\
        Vérifier que les points $B$ et $D$ appartiennent à $(d)$.
        \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
        \item Justifier que $(BD)$ et $(AC)$ sont sécantes.
        \item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $E$.
       \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$ et du milieu $L$ de $[CD]$
        \item Les points $E$, $K$ et $L$ sont-ils alignés ?
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(9 points)}\\
 On considère un triangle $ABC$ et les points $A'$, $B'$ et $C'$, milieux respectifs des 
 côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.\\
 On appelle $O$ le centre du cercle circonscrit du triangle $ABC$ (ie le point d'intersection des médiatrices
 des côtés du triangle.)\\
 \textit{Une figure est représentée ci-contre.}
 
 \begin{enumerate}
 \item On appelle $G$ le point défini par $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AA'}$.
 \item Que peut-on en déduire sur les points $A$, $G$ et $A'$ ?\\
 
  \textit{\textbf{On admet} qu'en suivant le même raisonnement, on peut dire la même chose des points $B$, $G$ et $B'$
 et des points $C$, $G$ et $C'$ (\textbf{on ne demande pas} de refaire ce raisonnement !)}
 
 \item Construire $G$ sur la figure ci-contre.
   \item Que représentent les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ pour le triangle $ABC$ ?\\
   Qu'a-t-on démontré ?\\
\end{enumerate}
  \item On appelle $H$ le point défini par $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.
  \begin{enumerate}
   \item Compléter la figure ci-contre par le point $H$.\hfill  \textit{Laisser les traits de construction !}
   \item Montrer que $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}$
   \item En déduire que $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$.
   \item Quelles autres relations peut-on écrire de même ? (on ne demande pas de justification)
   \item Que représentent les droites $(AH)$, $(BH)$ et $(CH)$ pour le triangle $ABC$ ? \\
    Qu'a-t-on démontré ?
  \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$
 \item Que peut-on en déduire sur les points $O$, $H$ et $G$ ?\\
 \textit{La droite passant par ces trois points s'appelle la \textbf{droite d'Euler} d'un triangle.}
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{center}
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\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
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\begin{pspicture*}(-1,-2)(7,6)
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\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
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\end{center}


\end{document}
