\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{5}	
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\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha
%\quad

%\textbf{Nom : } \hspace{6cm} \textbf{Prénom : }\hfill\textbf{Classe : 1G4}\\


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(2 points)}\\
Dans un repère du plan,  on donne les vecteurs :
$$\overrightarrow{PQ}\left(\begin{array}{c}
               -3 \\ x+1
              \end{array}\right) \qquad , \qquad \overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c}
                                                               x-5 \\ 3
                                                              \end{array}\right)$$
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $(PQ)//(MN)$ si et seulement si $x^2-4x-4=0$.
$(PQ)//(MN)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont colinéaires,
ce qui revient à dire 
$$-3\times 3 -(x+1)(x-5)=0 \iff -9-(x^2-4x-5)=0 \iff -9-x^2+4x+5=0 \iff 0=x^2-4x+4$$
\item %En déduire les coordonnées de $\overrightarrow{MN}$ et de $\overrightarrow{PQ}$ pour lesquelles
%$(MN)//(PQ)$
On reconnaît l'identité remarquable $x^2-4x+4=(x-2)^2$ donc $(Mn)//(PQ)$ si et seulement si $x=2$.\\
Ce qui revient à dire que 
$\overrightarrow{PQ}\left(\begin{array}{c}
               -3 \\ 3
              \end{array}\right) \qquad , \qquad \overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c}
                                                               -3 \\ 3
                                                              \end{array}\right)$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
 %On considère trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés et le point $D$ tel que 
 %$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$.\\
 %\textit{On ne demande aucun schéma.}
 \begin{enumerate}
  \item %Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ? \textit{Justifier} .\\
  On sait que $(CD)//(AB)$ mais $CD \neq AB$. En tenant compte de l'ordre des points, on peut donc dire que le
  quadrilatère $ABDC$ est un simple trapèze.
  
  % A partir de maintenant, on munit le plan d'un repère et on donne les informations suivantes :
   %      $$A(-2;4) \qquad , \qquad B(2;2)\qquad , \qquad C(-5;0)$$ 
 %\textit{On ne demande pas de figure.}
  \item On note $D(x;y)$
  On sait que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$. Or $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
               4 \\ -2 
              \end{array}\right) \qquad \text{ et } \qquad \overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c}
                                                               x+5 \\ y
                                                              \end{array}\right)$.\\
Ainsi on a $\left\{\begin{array}{l}
                    x+5=2\times 4 \\ y=2\times (-2)
                   \end{array}\right. \iff x=3 \text{ et } y=-4$ \hfill Donc $D(3;-4)$
 \item \begin{enumerate}
        \item %Soit $(d)$ la droite dont une équation cartésienne est $6x+y=14$. \\
        %Vérifier que les points $B$ et $D$ appartiennent à $(d)$.
        $B(2;2)$ et $6 \times 2+2=14$ donc $B\in (d)$. \qquad $D(3;-4)$ et $6 \times 3 +(-4) = 14$ donc $D\in (d)$
        \item %Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
        Un point $M(x;y)$ appartient à $(AC)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}(x+2;y-4)$ 
        et $\overrightarrow{AC}(-3;-4)$
        sont colinéaires, ce qui revient à dire 
        $$(x+2)\times (-4)-(-3)(y-4)=0 \iff -4x-8+3y-12=0 \iff -4x+3y=20$$
        \item %Justifier que $(BD)$ et $(AC)$ sont sécantes.
        Un vecteur directeur de $(BD)=(d)$ est $\overrightarrow{u}(-1;6)$ tandis qu'un vecteur directeur de $(AC)$
        est $\overrightarrow{v}(-3;-4)$.\\
        Grâce aux signes, on sait que ces vecteurs ne sont clairement pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles :
        elles sont sécantes.
        \item %Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $E$.
        On cherche la solution du système : 
        $$\left\{\begin{array}{l}
                  6x+y=14 \\ -4x+3y=20
                 \end{array} \right. \iff \left\{\begin{array}{l}
                  y=14-6x \\ -4x+3(14-6x)=20
                 \end{array} \right.\iff \left\{ \begin{array}{l}
                  y=14-6x \\ -4x-18x=20-42
                 \end{array} \right.
                 \iff\left\{\begin{array}{l}
                  y=8 \\ x=1
                 \end{array} \right.$$
                 Donc $E(1;8)$
       \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item %Calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$ et du milieu $L$ de $[CD]$
         $K(0;3)$ et $L(-1;-2)$
         \item %Les points $E$, $K$ et $L$ sont-ils alignés ?
         $\overrightarrow{KE}(1;5)$ et $\overrightarrow{LK}(1;5)$ donc les vecteurs sont colinéaires : les points $E$, $K$
 et $L$ sont alignés.
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}
\newpage
\begin{ExoF} \hfill \textbf{(8 points)}\\
 %On considère un triangle $ABC$ et les points $A'$, $B'$ et $C'$, milieux respectifs des 
 %côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.\\
 %On appelle $O$ le centre du cercle circonscrit du triangle $ABC$ (ie le point d'intersection des médiatrices
 %des côtés du triangle.)\\
 %\textit{Une figure est représentée ci-contre.}
 
 \begin{enumerate}
 \item %On appelle $G$ le point défini par $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
\begin{enumerate}
 \item %Montrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AA'}$.
 \begin{eqnarray*}
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} 
&\iff& \overrightarrow{GA}+ (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\\
&\iff& 3 \overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\\
&\iff& 3 \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\ 
&\iff & 3 \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{AA'}+ \overrightarrow{A'C}\\ 
&\iff & 3 \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}\\
&\iff & 3 \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AA'}
 \end{eqnarray*}
 \item %Que peut-on en déduire sur les points $A$, $G$ et $A'$ ?\\
 Les points $A$, $G$ et $A'$ sont alignés.
 
%  \textit{\textbf{On admet} qu'en suivant le même raisonnement, on peut dire la même chose des points $B$, $G$ et $B'$
% et des points $C$, $G$ et $C'$ (\textbf{on ne demande pas} de refaire ce raisonnement !)}
 
 \item %Construire $G$ sur la figure ci-contre.
 Pour la construction, il suffit de tracer $(AA')$ et $(BB')$. $G$ étant sur les deux droites, il s'agit de leur point
 d'intersection.
   \item %Que représentent les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ pour le triangle $ABC$ ?\\
%   Qu'a-t-on démontré ?\\
Ces droites sont les médianes du triangle $ABC$. On vient de démontrer qu'elles étaient concourantes 
en le point $G$, au deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.
\end{enumerate}
  \item %On appelle $H$ le point défini par $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.
  \begin{enumerate}
   \item %Compléter la figure ci-contre par le point $H$.\hfill  \textit{Laisser les traits de construction !}
   On reporte les vecteurs << bout à bout >>.
   \item %Montrer que $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}$
   \begin{eqnarray*}
    \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} 
    &\iff& \overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B}
    +\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'C}\\
    &\iff & \overrightarrow{0}=-\overrightarrow{AH}+2\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{0}\\
    &\iff & \overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}
   \end{eqnarray*}
   \item %En déduire que $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$.
   Donc $(AH)//(OA')$ qui est perpendiculaire à $(BC)$ , d'où $(AH)\perp (BC)$
   \item %Quelles autres relations peut-on écrire de même ? (on ne demande pas de justification)
   $(BH)\perp (AC)$ et $(CH)\perp (AB)$
   \item %Que représentent les droites $(AH)$, $(BH)$ et $(CH)$ pour le triangle $ABC$ ? \\
%    Qu'a-t-on démontré ?
Il s'agit des hauteurs du triangle $ABC$. On vient de démontrer qu'elles étaient concourantes (en $H$).
  \end{enumerate}
 \item %Montrer que $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$
 \begin{eqnarray*}
    \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} 
    &\iff& \overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}
    +\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}
    +\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\\
    &\iff & \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}\\
    &\iff & \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}
   \end{eqnarray*}
 \item %Que peut-on en déduire sur les points $O$, $H$ et $G$ ?\\
 Les points $O$, $H$ et $G$ sont alignés.
% \textit{La droite passant par ces trois points s'appelle la \textbf{droite d'Euler} d'un triangle.}
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\end{document}
