\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{5}	
\newcommand{\tps}{1}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha
%\quad

%\textbf{Nom : } \hspace{6cm} \textbf{Prénom : }\hfill\textbf{Classe : 1G4}\\

\begin{ExoF} \hfill \textbf{4 points}
 %Résoudre dans $I$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $|4x-2|=3 \iff 4x-2=3 \quad \text{ou} \quad 4x-2=-3 \iff ... \iff x=\dfrac54 \quad \text{ou} \quad x=-\dfrac14 $ 
\item $|x+5|=|3-2x| \iff x+5=3-2x \quad \text{ou} \quad x+5 = -(3-2x) \iff ... \iff x=-\dfrac23 \quad \text{ou} \quad x=8$
\item $|4-2x|>3 \iff 4x-2 >3 \quad \text{ou} \quad 4x-2 <-3 \iff ... \iff x>\dfrac72 \quad \text{ou} \quad x<\dfrac12 $ 
\item $\left|\sin x-\dfrac{1}{2}\right|\leq 1 \iff -1\leq \sin(x)-\dfrac12\leq 1 \iff ... \iff -\dfrac12<\sin(x)<\dfrac32 $\\
Un cercle trigonométrique donne alors $x\in \left]-\pi;-\dfrac{5\pi}6\right[\cup \left]-\dfrac{\pi}6;\pi\right]$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} On considère sur $\R$  la fonction $f$ définie par $\quad f(x) = |3x+1| - |1-x|+3$. \hfill \textbf{6 points}
\begin{enumerate}
 \item %Ecrire $|3x+1|$ et $|1-x|$ sans valeur absolue. 
 \begin{multicols}{2}
Si $3x+1\geq 0 $ alors $|3x+1|=3x+1 $\\
Sinon $|3x+1|=-(3x+1)$\\
Ainsi : \quad $ |3x+1|=\left\{\begin{array}{ll}
                 3x+1 &\text{ Si } x\geq -\dfrac13\\
                 -3x-1 &\text{ Sinon}\\
                \end{array}\right.$
  
 \end{multicols}
\begin{multicols}{2}
Si $1-x\geq 0$ alors $|1-x|=1-x$ \\
Sinon $|1-x|=-(1-x)$\\
Ainsi : \quad $|1-x|=\left\{\begin{array}{ll}
                 1-x &\text{ Si } x\leq 1\\
                 x-1 &\text{ Sinon}\\
                \end{array}\right.$
 
\end{multicols}


 \item %En déduire l'expression de $f$ sans valeur absolue.
%\textit{On peut présenter les résultats dans un tableau.}
$f(x)=|3x+1|-|1-x|+3$\\
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,Expression de $|3x+1|$/1.5,Expression de $|1-x|$/1.5,Expression de $f(x)$/1.5}
{$-\infty$,$-\dfrac13$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-3x-1,z,3x+1,t,3x+1}
\tkzTabLine{,1-x,t,1-x,z,x-1}
\tkzTabLine{,-2x+1,t,4x+3,t,2x+5}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Finalement si $x< -\dfrac13$ on a $f(x)=-3x-1-(x-1)+3=-4x+3$\\
Si $-\dfrac13\leq x< 1$ on a $f(x)=3x+1-(x-1)+3=2x+2$\\
Si $x\geq 1$ on a $f(x)=3x+1-(1-x)+3=4x+3$\\
 \item %En déduire le tableau de variations de $f$.
 On en déduit  
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations de $f$/2}
{$-\infty$,$-\dfrac13$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /  ,- /$\dfrac53$, R/,+/ }
%\tkzTabIma{3}{4}{2}{$4$}
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
\item Représenter $f$ dans un repère orthonormé $(O ; \vec i ; \vec j )$ (unité graphique = 1 cm).
 \item %Déterminer les éventuels antécédents $10$ par $f$ ?
 Si $x<-\dfrac13$ alors $f(x)=10 \iff -2x+1=10 \iff ... \iff x=-\dfrac92 <-\dfrac13$ donc  $-\dfrac92$ est un antécédent de 
 10 sur  $\left]-\infty ; -\dfrac13\right[$\\
 Si $-\dfrac13\leq x <1$ alors $f(x)=10 \iff 4x+3=10 \iff ... \iff x=\dfrac74 \notin \left]-\dfrac13 ; 1\right[$ 
 donc il n'y a pas d'antécédent  pour 10 sur $\left]-\dfrac13 ;1\right[$\\
 Si $ x \geq 1$ alors $f(x)=10 \iff 2x+5=10 \iff ... \iff x=\dfrac52>1$ donc $\dfrac52$ est un antécédent de 
 10 sur $\left]1 ; + \infty \right[$\\
 Au final, 10 possède deux antécédents par $f$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} On donne le tableau de variations d'une fonction $u$ : \hfill \textbf{2 points}
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $u$/1.5,Variations de $|u|$/1.8, Variations de $\sqrt{u}$/1.8}
{$-\infty$,$1$, $4$, $6$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- / , R / ,+ /$7$, R/,-/ }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\tkzTabVar{+ / , - /$0$ ,+ /$7$,-/$0$,+/ }
\tkzTabVar{+DH/, -/$0$ ,+ /$7$,-DH/$0$}
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
%Compléter alors les lignes des variations des fonctions $|u|$ et $\sqrt{u}$ sur le plus grand ensemble possible.
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill  \textbf{5 points}\\
 Déterminer les tableaux de variations de chacune des fonctions suivantes, sur le plus grand ensemble possible, 
 par la méthode des tableaux de variations successifs :
$$ f(x) = 4-2|x| \qquad \qquad g(x)=\dfrac1{|4-2x|} \qquad \qquad h(x)= 5-\dfrac{1}{\sqrt{4-2x^2}} $$
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $|x|$/1.5,Variations de $-2|x|$/1.5, Variations de $4-2|x|$/1.5}
{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , - /$0$, +/ }
\tkzTabVar{- / , + /$0$ ,-/ }
\tkzTabVar{- / , + /$4$ ,-/ }
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $4-2x$/1.5,Variations de $|4-2x|$/1.5, Variations de $\dfrac{1}{|4-2x|}$/1.5}
{$-\infty$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , R /, -/ }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabVar{+ / , - /$0$ ,+/ }
\tkzTabVar{- / , +D+/ ,-/ }
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
 
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $x^2$/1.5,Variations de $-2x^2$/1.5, 
Variations de $4-2x^2$/1.5,Variations de $\sqrt{4-2x^2}$/1.5,Variations de $\dfrac{1}{\sqrt{4-2x^2}}$/1.5,
Variations de $-\dfrac{1}{\sqrt{4-2x^2}}$/1.5,Variations de $5-\dfrac{1}{\sqrt{4-2x^2}}$/1.5}
{$-\infty$,$-\sqrt{2}$,$2$,$\sqrt{2}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , R /, -/ $0$,R/,+/}
\tkzTabVar{- / , R /, +/ $0$,R/,-/}
\tkzTabVar{- / , R /, +/ $4$,R/,-/}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\tkzTabVar{+DH / , - /$0$,+/$2$ ,-DH/$0$, }
\tkzTabVar{+DH/ , +/, -/ $\dfrac12$,+DH/}
\tkzTabVar{+DH/ ,  -/, +/ $\dfrac12$,-DH/}
\tkzTabVar{+DH/ ,  -/, +/ $\dfrac92$,-DH/}
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF} 
 On considère la fonction $f$ définie par : \quad $ f(x)=\sqrt{4-2x}$ \hfill \textbf{3 points}
\begin{enumerate}
\item %Déterminer son ensemble de définition $\mathscr D_f$.
On cherche $x$ tel que $4-2x\geq 0 \iff ... \iff x\leq 2$.\\
Donc $D_f=]-\infty;2]$
\item %Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $\mathscr D_f$ par la méthode des inégalités successives.
Soient $x$ et $y$ appartenant à $D_f$ tels que $x<y\leq 2$.\\
Alors $-2x>-2y \geq -4 \iff 4-2x>4-2y \geq 0 \iff \sqrt{4-2x} > \sqrt{4-2y} \geq 0 \iff f(x)>f(y) \geq 2$\\
L'ordre des images et des antécédents est inversé : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $D_f$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}






\end{document}
