\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Le second degr\'e}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(12 points)}\\
%On considère les polynômes $P$, $Q$ et $R$ définies pour $x\in \R$ par :
$$ P(x)=3x^2-11x+9\qquad \text{ ; }\qquad Q(x)=x^2-x+1\qquad \text{et}\qquad R(x)=-x^2-16+8x$$
%On appelle respectivement $\mathscr P$ , $\mathscr Q$ et $\mathscr  R$ leurs paraboles représentatives.\\
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item %Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $P(x)=0$ : $\Delta=b^2-4ac = (-11)^2-4 \times 3 \times 9 = 13>0$\\
D'où \quad $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$ \quad et \quad 
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$
 \\
  Donc l'ensemble des solutions de l'équation est \quad 
  \fbox{$\mathscr S=\left\{\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}~;~\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}\right\}$}
\item $Q(x)=0$ : $\Delta=(-1)^2-4\times 1 \times 1 = -3 <0$. Donc il n'y a pas de solutions réelles à l'équation.\\
Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation est \quad \fbox{$\mathscr S=\emptyset$}
\end{enumerate}
\item %Déterminer les éventuelles racines de $R$.
Pour trouver les racines éventuelles de $R$, on résout l'équation $R(x)=0$.\\
Or $-x^2-16+8x=-(x^2-8x+16)=-(x-4)^2$ (identité remarquable).\\
Ainsi il est clair que admet \textbf{une racine double $x_0=4$}
\item %Donner, lorsque c'est possible, l'écriture factorisée des polynômes $P$, $Q$ et $R$.
$P(x)=3\left(x-\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\right)\left(x-\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}\right) \quad Q\text{ n'admet pas de forme factorisée, } \quad R(x)=-(x-4)^2$
\item %Dresser, en fonction de $x$, les trois tableaux de signe des expressions $P(x)$, $Q(x)$ et $R(x)$.
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[ lgt=1.7, espcl=1.8]%
{$x$/1,Signe de $P$ \\($a>0$)/1.5}
{$-\infty$ ,  $\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}$ , $\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+ ,z, - ,z, +  }
\end{tikzpicture} \quad 
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[ lgt=1.7, espcl=1.3]%
{$x$/1,Signe de $Q$ \\($a>0$)/1.5}
{$-\infty$ ,   $+\infty$}
\tkzTabLine{,+ }
\end{tikzpicture} \quad 
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[ lgt=1.7, espcl=1.3]%
{$x$/1,Signe de $R$ \\($a<0$)/1.5}
{$-\infty$ ,  $4$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,- ,z, - }
\end{tikzpicture}
\item %En déduire les ensembles de solutions dans $\R$, des inéquations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(x)\leq 0$ : \fbox{$\mathscr S = \left[\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}~;~\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}\right]$}
\item $Q(x)\leq 0$ : \fbox{$\mathscr S = \emptyset$}
\item $R(x)\leq 0$ : \fbox{$\mathscr S = \R$}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{enumerate}
  \item %Déterminer les éventuels points d'intersection des paraboles $\mathscr P$ et $\mathscr Q$.
  On cherche d'abord $x$ tel que $P(x)=Q(x)$. Or ceci équivaut à :
  $$3x^2-11x+9=x^2-x+1 \iff ... \iff 2x^2-10x+8=0$$
  $\Delta=...=36>0$ \quad donc \quad $x_1=...= \dfrac{10+\sqrt{36}}{4}=4$ \quad et \quad 
  $x_2=...= \dfrac{10-6}{4}=1$ \\
  Ensuite on cherche les ordonnées correspondants à ces deux points :
  $Q(4)=...=13$ \qquad $Q(1)=1$\\
  Donc les points d'intersection des paraboles sont \fbox{$A(4~;~13)$ et $B(1~;~1)$}
  \item %Pour quelles valeurs de $x$ la parabole $\mathscr P$ est-elle située au-dessus de la parabole $\mathscr Q$ ? \textit{Justifier.}
  On établit le tableau de signe de la différence $P(x)-Q(x)=2x^2-10x+8$ :
  \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[ lgt=1.7, espcl=1.8]%
{$x$/1,Signe de $P$ \\($a>0$)/1.5}
{$-\infty$ ,  $1$ , $4$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+ ,z, - ,z, +  }
\end{tikzpicture} 
  \end{center}
On en déduit que la parabole $\mathscr P$ est au dessus de la parabole $\mathscr Q$ pour \fbox{$x\in]-\infty ~;~1[ \cup]4 ~ ; ~ + \infty[$}

\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(4 points)}\\
On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction polynôme du second degré $P$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[ lgt=2, espcl=6]%
{$x$/0.5,Variations de $P$/3}
{$-\infty$ ,  $3.5$, $+\infty$}
\tkzTabVar{-/$ $,+/$\dfrac{81}{16}$ , -/ $ $  }
\tkzTabVal{1}{2}{0.333}{$-1$}{$0$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.666}{$0$}{$2$}
\tkzTabVal{2}{3}{0.5}{$8$}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item %Déterminer la forme factorisée de $P$.
  Il est clair que $P$ peut s'écrire sous la forme $P(x)=a(x+1)(x-8)$.\\
  Or $P(0)=2$ \quad donc $a (0+1)(0-8)=2 \iff a=-\dfrac14$ \hfill D'où \quad \fbox{$P(x)=-\dfrac14(x+1)(x-8)$}
  \item %Compléter le tableau en valeurs exactes.
  La courbe représentative de $P$ admet un axe de symétrie vertical passant par son sommet. \\
  Or $P(-1)=P(8)=0$ \quad on en déduit que l'abscisse du sommet est $\dfrac{-1+8}2=3.5$\\
  Son ordonnée est donc $P(3.5)=-\dfrac14(3.5+1)(3.5-8)=...=\dfrac{81}{16}$. On peut donc compléter le tableau.
 \item %En déduire la forme canonique de $P$.
 La forme canonique de $P$ est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $(\alpha~;~\beta)$ les coordonnées du sommet de la parabole représentative
 de $P$. Ainsi \quad \fbox{$P(x)=-\dfrac14(x-3.5)^2+\dfrac{81}{16}$}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}  \textbf{Probabilité et second degré}\hfill \textbf{(4 points)}\\
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité des événements suivants :
  Dans l'urne il y a donc en tout $m+6$ boules. D'où :
  $$P(J)=\dfrac{3}{m+6}  \qquad ; \qquad P(B)=\dfrac{2}{m+6}  \qquad ; \qquad P(R)=\dfrac{1}{m+6}  \qquad ; \qquad P(V)=\dfrac{m}{m+6}$$
 \item  \begin{enumerate}
\item %Grâce à la question $(1)$, compléter sur cette feuille le tableau suivant, donnant la loi de $X$ :
\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|C{2cm}|*{4}{C{2cm}|}} \hline
 $x_i$ & $10$ & $-1-2m$ & $5m$ & \textbf{Total} \tabularnewline\hline
 \rule[-0.5cm]{0cm}{1cm} $P(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{m+6}$& $\dfrac{5}{m+6}$ & $\dfrac{m}{m+6} $& 1\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item %Calculer $m$ pour que le gain moyen espéré soit de $4,5$ \euro. 
$E(x)=10\times \dfrac{1}{m+6} + (-1-2m) \times \dfrac{5}{m+6} + 5m \times \dfrac{m}{m+6} = ... = \dfrac{5-10m+5m^2}{m+6}$\\
On cherche donc $m$ tel que :
$$\dfrac{5-10m+5m^2}{m+6}=4.5 \stackrel{m\neq -6}{\iff} 5-10m+5m^2=4.5(m+6) \iff ... \iff 5m^2-14.5m-22=0$$
$\Delta = ... = 650.25$ \quad donc \quad  $m_1=\dfrac{14.5+25.5}{10}=4$ \quad et $m_2=...=-1.1<0$.\\
$m$ désigne un nombre de boules, donc il ne peut pas être positif. On trouve donc \fbox{$m=4$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill \textbf{Question Cactus}\\
On appelle $x$ la vitesse de l'automobiliste à l'aller et $t_A$ le temps mis à l'aller, $t_R$ son temps au retour.\\
On a alors $t_A=\dfrac{150}{x}\iff  \qquad t_R=\dfrac{150}{x+25} \qquad t_A+t_R=5 $\\
On doit alors résoudre l'équation $\dfrac{150}{x}+\dfrac{150}{x+25}=5$ ...
\end{ExoF}


\end{document}
