\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha




\begin{ExoF}\hfill \textbf{(10 points)}\\
\partieBac{En Syldavie (7 points)}
En syldavie, Norbert fait participer son chat Banshee au jeu des \og lancers de souris \fg.\\
Le jeu consiste à lancer \textbf{deux} fois une souris en l'air et à tenter de la rattraper.
Banshee estime que sa probabilité de rattraper une souris est toujours égale à $0,7$\\
 \textbf{Pour chaque lancer}, Banshee gagne $5$ croquettes s'il rattrape une souris et perd $10$ croquettes 
 si la souris retombe au sol.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le gain de Banshee lors d'une épreuve 
(donc lors de \textbf{deux} lancers).
 \begin{enumerate}
  \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  \item Donner la loi de probabilité de $X$.
  \textit{Détailler les calculs un minimum}
   \item Calculer $E(X)$. Interpréter.
   \item Calculer $V(X)$.
    \item Calculer $\sigma(X)$. Ce jeu est-il risqué ?
    \item Banshee a joué 433 matchs cette année. Estimer son gain \textbf{total}.
 \end{enumerate}
\partieBac{A Groland (3 points)}
Le même jeu existe à Groland avec les mêmes règles, mais les chats sont récompensés en brins d'herbe,
  $8$ brins d'herbe équivalant à $1$ croquette. \\
  De plus, un chat doit payer $10$ brins d'herbe pour jouer et cette mise de départ ne lui est remboursée
 dans aucun cas.\\
 On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le gain d'un chat en brins d'herbe lors d'un match.
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer la variable aléatoire $Y$ en fonction de la variable aléatoire $X$ du 1).
   \item En déduire l'espérance, la variance et l'écart-type de $Y$.
   \item Norbert  aimerait que Banshee se purge, aussi il se pose la question de l'y faire participer.\\
   Cette solution semble-t-elle adéquate ? Expliquer.\\
   \textit{On précise que l'herbe est connue pour purger les chats (et donc leur éviter de garder dans l'estomac
   les poils ingérés lors de leurs toilettes)}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} \hfill \textbf{(4 points)}\\
 Nouki et Wanda participent à deux jeux différents. Les variables aléatoires $N$ et $W$ donnant leurs gains respectifs ont les lois
 de probabilités suivantes :
 \begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $k$ & $-2$ & $-1$ & $0$  & $1$ & $2$ & $3$\tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(N=k)$  & $0.1$ & $ 0.3$ & $ 0.1 $ & $0.3$ & $ 0.1$ & $ 0.1 $\tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(W=k)$  & $0.3$ & $ 0.1$ & $ 0.1 $ & $0.2$ & $ 0.1$ & $ 0.2 $\tabularnewline\hline\end{tabular}
\end{center}

\textbf{A l'aide de la calculatrice} (inutile d'écrire les formules sur votre copie) :
\begin{enumerate}
 \item Donner et comparer $E(N)$ et $E(W)$. Interpréter.
  \item Donner et comparer $\sigma(N)$ et $\sigma(W)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\newpage

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(6 points)}\\
\begin{minipage}{12cm}
 La roue d'une loterie est divisée en six secteurs de même aire : 1 Rouge (R), 2 jaunes (J) et 3 verts (V).\\
On fait tourner la roue, et lorsqu'elle s'arrête, un repère fléchée indique l'un des six secteurs de manière équiprobable. \\

Un joueur perd $2\euro$ si la flèche indique un secteur Vert, gagne $0.50\euro$ si la flèche indique un secteur Jaune et 
$x$ euros si la flèche indique un secteur Rouge.\\
On appelle $G$ la variable aléatoire qui donne le gain du joueur.
\end{minipage} \hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{4.5cm}
 \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-2.2)(6.2,4.2)
\pscircle(3,1){2.4}
\psline(0,1)(6,1)
\psline(4.52,3.59)(1.5,-1.6)
\psline(1.51,3.6)(4.49,-1.6)
\rput[lt](4.1,2.3){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 1 \\ Rouge\end{center}}}
\rput[lt](2.3,4){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 2 \\ Jaune\end{center}}}
\rput[lt](0.6,3){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 3 \\ Jaune\end{center}}}
\rput[lt](0.6,1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 4 \\ Vert\end{center}}}
\rput[lt](2.3,-0.1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 5 \\ Vert\end{center}}}
\rput[lt](4.1,1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 6 \\ Vert\end{center}}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Donner sans détailler la loi de probabilité de $G$ en fonction de $x$.
 \item Calculer $E(G)$ en fonction de $x$.
 \item Comment choisir $x$ pour que le jeu soit équitable ?
       \end{enumerate}
 \item On donne l'algorithme suivant :
 \Algo[Roulette]{12.5cm}{
\Variable{ 
 Secteur, i  sont des nombres entiers\\
 Effectif est une liste de trois nombres}
\Entree{
  Saisir  un nombre entier N }
 \Deb{ Effectif[1], Effectif[2] et Effectif[3] prennent la valeur $0$.\\
 %$x$ prend la valeur d'un entier aléatoire de 1 à 6.\\
%$j$ prend la valeur $1$.\\
  \For{i allant de 1 à N}
    {Secteur prend la valeur d'un entier aléatoire entre 1 et 6\\
  \IfThenElse{ Secteur $==1$ }
    {Effectif [1] prend la valeur Effectif[1]+1 }
    {\IfThenElse{Secteur $==2$ OU Secteur $==3$}
      {Effectif [2] prend la valeur Effectif[2]+1 }
	{Effectif [3] prend la valeur Effectif[3]+1 }
    }
    }
    
       Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[1] fois le secteur Rouge\fg\\ 
       Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[2] fois le secteur Jaune.\fg\\
       Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[3] fois le secteur Vert.\fg
}
}
\begin{enumerate}
 \item Que fait cet algorithme par rapport au jeu ? 
 \textit{Préciserer le rôle de chacune des variables.}
  \item Ici on donne $x=5$. Que doit-on rajouter si l'on veut que l'algorithme renvoit aussi le gain \textbf{moyen} d'un joueur par partie ?
  \item On saisit $N=10\,000$. Donner une estimation du gain moyen que 
  l'on s'attent à voir afficher.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}












\end{document}
