\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction DM 8 bis}
\newcommand{\num}{8}
\newcommand{\ch}{Chapitre \num}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha


\partieBac{Temps d'attente de la première bonne réponse}
\begin{enumerate}
 \item $X$ peut prendre toutes les valeurs entières de 1 à 11.
 \item $P(X=11)=\left(\dfrac34\right)^{10}$ car c'est la probabilité que Fabrice ne réponde juste à aucune question.\\
En utilisant un arbre, on trouve facilement :
$P(X=k)=\left(\dfrac14\right)^{k}\left(\dfrac34\right)^{10-k}= \dfrac{3^{10-k}}{4^{10}}$ pour $1\leq k \leq 10$
\item Il ne s'agit pas d'une loi binomiale car $X$ ne compte pas des succès dans un schéma de Bernoulli.
 \end{enumerate}
\partieBac{Attribution d'une note sur 10}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Sans pénalité} \\
\begin{enumerate}
 \item  Fabrice répète $10$ fois l'épreuve << répondre à une question >>, de manière identique et indépendante.\\
 Chaque épreuve est :
 \begin{itemize}
  \item soit un succès (<<la réponse est juste>>) de probabilité $\dfrac14$
  \item soit un échec, de probabilité $\dfrac34$
 \end{itemize}
 $Y$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, donc $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ 
 et $p=\dfrac14$.
 \item 
 \begin{center}
  \begin{tabular}{*{7}{|C{1.5cm}}|} \hline
       $k$& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5   \tabularnewline\hline
       $P(Y=k)$ & $0,056314$ & $0,187711$ & $0,281568$ & $0.250282$ & $0,145998 $ 
       &$0,058399$ \tabularnewline\hline
      \end{tabular}\\
      
      \begin{tabular}{*{6}{|C{1.5cm}}|} \hline
       $k$& 6 & 7 & 8 & 9 & 10  \tabularnewline\hline
       $P(Y=k)$ & $0,016222 $& $0,003090$& $0,000386$ & $0,000029$& $0,000001$ \tabularnewline\hline
      \end{tabular}
 \end{center}
 \item La probabilité que Fabrice obtienne 10 est d'environ $10^{-6}$.
 \item La probabilité que Fabrice obtienne au moins la moyenne est $P(X \geq 5)\simeq 0,078 $
 \item La note la plus probable pour Fabrice est 2
 \item fabrice peut espérer la note de $E(Y)=10\times 0,25= 2,5$
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec pénalité}
\begin{enumerate}
 \item On a $Z=1 \times Y - 0,2 \times (10-Y) = Y-2+0,2Y=1,2Y-2$
 \item $P(Z< 0)=P(1,2Y-2 <0)=P(1,2Y<2)=P\left(Y<\dfrac2{1.2}\right)=P(Y\leq 1)=P(Y=0)+P(Y=1)\simeq 0,244$\\
 $P(Z\geq 5 0)=P(1,2Y-2 \geq 5)=P(1,2Y\geq 7)=P\left(Y\geq \dfrac7{1.2}\right)=P(Y\geq 6)\simeq 0,0197$
 \item $E(Z)=E(1,2Y-2)=1,2E(Y)-2=1$. L'objectif est donc raisonnablement atteint.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\partieBac{Répétitions de QCMs}
\begin{enumerate}
 \item On appelle $Z$ la variable aléatoire qui compte le nombre de candidats qui obtiennent 10.\\
 On répète $n$ fois l'épreuve << répondre à un QCM >>, de manière identique et indépendante.\\
 Chaque épreuve est :
 \begin{itemize}
  \item soit un succès (<<la note est 10>>) de probabilité $10^{-6}$
  \item soit un échec, de probabilité $0,999999$
 \end{itemize}
 $Z$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, donc $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $n=$ 
 et $p=0,000001$.\\
Ainsi $P_n=P(Z\geq 1)=1-P(Z=0)=1-0.999999^n$ 
\item A la calculatrice on trouve qu'à partir de $n=4605168$ on a $P_n\geq 0.99$ 
\end{enumerate}

\end{document}
