\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 8 bis}
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Hasard et QCM}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{8 bis}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\textbf{10 DMs seront relevés au hasard parmi les 34.}\\

\textbf{\underline{Objectif : }
Etudier, pour une situation modélisable par un schéma de Bernoulli, des variables aléatoires qui 
suivent ou non une loi binomiale.}\\

Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de $10$ questions numérotées de $1$ à $10$. Pour chacune d'elles, quatre réponses possibles
sont proposées, dont une seule est exacte.\\
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas 
le chinois (bien qu'il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon indépendante (Fabrice
déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte).\\

\noindent \partieBac{Temps d'attente de la première bonne réponse} 
  On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste.
 On convient que $X$ prend la valeur $11$ si toutes les réponses sont fausses.
 \begin{enumerate}
  \item Préciser quelles valeurs peut prendre $X$.
  \item Calculer $P(X=11)$ et $P(X=k)$ pour $1\leq k \leq 10$
  \item $X$ suit-elle une loi binomiale ?
 \end{enumerate}
 
\noindent \partieBac{Attribution d'une note sur 10}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Sans pénalité}\\
 On décide de donner à Fabrice un point par réponse exacte. Soit $Y$ la variable aléatoire associant aux réponses de Fabrice sa note obtenue sur $10$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
  \item Sur un tableur : 
  \begin{enumerate}
   \item Obtenir les valeurs arrondies à $10^{-6}$ de $P(Y=k)$ pour $0\leq k \leq 10$.\\
   \item Construire l'histogramme correspondant.\\
   \textit{Envoyer votre fichier par mail ou imprimer et coller une copie d'écran dans votre DM}
   \end{enumerate}
   \item Quelle est la probabilité que Fabrice obtienne la note maximale ?
  \item Quelle est la probabilité qu'il obtienne au moins la moyenne ?
  \item Quelle est la note la plus probabilité de Fabrice ?
  \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir (ie quelle note moyenne obtiendrait-il s'il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM
  de ce type)
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Avec pénalité}\\
 Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard comme Fabrice, le gouvernement 
 Syldave décide de toujours
 accorder $1$ point par réponse exacte, mais cette fois d'enlever $0.2$ point par réponse fausse.
 \begin{enumerate}
  \item Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire $Z$ donnant la note obtenue par Fabrice s'exprime
  par $Z=1,2Y-2$
  \item En déduire la probablité que Fabrice obtienne une note négative, puis une note supérieur à $5$.
  \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir ? L'objectif vous paraît-il atteint ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \partieBac{Répétitions de QCMs}
On suppose que $n$ candidats ($n\in\N^*$) répondent à ce QCM et qu'aucun d'entre eux ne lisant le chinois, 
ils suivent tous la méthode de Fabrice et sans copier.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité $P_n$ qu'au moins un candidat obtienne la note $10$ ?
 \item Pour quelles valeurs de $n$ cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieur à $0.99$ ?
\end{enumerate}

\end{document}
