\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\num}{6}
\newcommand{\ch}{Chapitre \num}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex


\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha



\begin{ExoF}
 Dans un repère du plan $(O;\vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(3;4)$, $B(1;-1)$ et $C(6;-2)$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
Un vecteur directeur de $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées $(-2;-5)$. Ainsi :\\
\begin{tabular}{lcl}
 Un point $M(x;y)$ appartient à la droite $(AB)$ & si et seulement si &
$\overrightarrow{AM}(x-3;y-4)$ et $\overrightarrow{AB}(-2;-5)$ sont colinéaires \tabularnewline
& si et seulement & $(x-3)\times (-5)-(-2) \times (y-4)=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $-5x+15+2y-8=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $-5x+2y=-7$ \tabularnewline 
\end{tabular}
Donc une équation de la droite $(AB)$ est $-5x+2y=-7$
\item %Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le milieu $I$ de $[AC]$ et parallèle à $(AB)$.
Les coordonnées du point $I$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_C}{2} ; \dfrac{y_A+y_C}{2} \right)=\left(\dfrac{9}{2} ; 1 \right)$.\\
Un vecteur directeur de $d$ est $\overrightarrow{AB}$ car $d//(AB)$. Ainsi :\\
\begin{tabular}{lcl}
Un point $M(x;y)$ appartient à la droite $d$ & si et seulement si &
$\overrightarrow{IM}(x-4,5;y-1)$ et $\overrightarrow{AB}(-2;-5)$ sont colinéaires \tabularnewline
& si et seulement & $(x-4,5)\times (-5)-(-2) \times (y-1)=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $-5x+22,5+2y-2=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $-5x+2y=-20,5$ \tabularnewline 
\end{tabular}
Donc une équation de la droite $d$ est $-5x+2y=-20,5$
\item $\Delta$ est la droite d'équation $-16x+y=-98$
\begin{enumerate}
\item %Prouver que $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $D$ de coordonnées à déterminer.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec u (-1;-16)$. Or $-1 \times (-5)-(-2)\times (-16) \neq 0$.\\
Donc $\vec u$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas colinéaires : les droites $\Delta$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.\\
Les coordonnées $(x;y)$ de leur point d'intersection vérifient alors les équations des deux droites, donc le système :
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
 -16x+y & = & -98\\
 -5x + 2y & = & -7
\end{array}\right. \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 y & = & -98+16x\\
 -5x + 2(-98+16x) & = & -7
\end{array}\right. \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 y & = & -98+16x\\
 27x + -196 & = & -7
\end{array}\right. $$
$$\iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 y & = & -98+16x\\
 x & = & \dfrac{-7+196}{27}=7
\end{array}\right. \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 x & = & 7\\
 y & = & -98+16\times 7 = 14
\end{array}\right. $$
Donc le point d'intersection $D$ des droites $\Delta$ et $(AB)$ a pour coordonnées $(7;14)$.
\item %Montrer que le milieu $J$ de $[DC]$ est un point de $d$ de deux manières différentes.
Les coordonnées de $J$ sont $\left(\dfrac{6+7}2 ; \dfrac{-2+14}2 \right)=\left(\dfrac{13}2 ; 6\right)$.\\
\textbf{Méthode 1 :} Vérifions que les coordonnées de $J$ vérifient l'équation de $d$\\
 $-5 \dfrac{13}2+2 \times 6=-32,5+12 = -20,5$. \quad Donc $J\in d$ \\
\textbf{Méthode 2 :} Montrons que $\overrightarrow{IJ}$ est colinéaire à un vecteur directeur de $d$.\\
$\overrightarrow{IJ}(2;5)$ et un vecteur directeur de $d$ est $\overrightarrow{AB}(-2;-5)$.\\
Donc $\overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{AB}$ et $(IJ)//d$.\\
Or $I$ appartient à $d$, donc $(IJ)$ et $d$ sont confondues, autrement dit $J\in d$\\
\textbf{Méthode 3 :} Montrons qu'une équation de la droite $(IJ)$ est équivalente à une équation de $d$. Ainsi :\\
\begin{tabular}{lcl}
Un point $M(x;y)$ appartient à la droite $(IJ)$ & si et seulement si &
$\overrightarrow{IM}(x-4,5;y-1)$ et $\overrightarrow{IJ}(2;5)$ sont colinéaires \tabularnewline
& si et seulement & $(x-4,5)\times 5-2 \times (y-1)=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $5x-22,5-2y+2=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $5x-2y=20,5$ \tabularnewline
& si et seulement & $-5x+2y=-20,5$ \tabularnewline 
\end{tabular}
Donc une équation de la droite $(IJ)$ est aussi $-5x+2y=-20,5 \Longrightarrow (IJ)$ et $d$ sont confondues 
$\Longrightarrow$
Donc $J \in d$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} 
Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB)$ soit parallèle à $(CD)$, $M$ le point 
d'intersection des droites $(AD)$ et $(BC)$, 
$I$ le milieu du côté $[AB]$, $J$ celui du côté $[CD]$,
et $K$ le point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$. 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ est un repère.
$\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ est un repère car il possède une origine et
les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ dirigeant deux côtés consécutifs du trapèze $ABCD$,
ils ne sont pas colinéaires, donc ils constituent une base du plan.
\item %Donner les coordonnées de $A$, $B$, $D$ et $I$ dans ce repère.
$A$ est l'origine donc $A(0;0)$\qquad 
$\overrightarrow{AB} = 1 \overrightarrow{AB} + 0 \overrightarrow{AD}$ donc $B(1;0)$ \qquad 
$\overrightarrow{AD} = 0 \overrightarrow{AB} + 1 \overrightarrow{AD}$ donc $D(0;1)$\\
$\overrightarrow{AI} = \dfrac12 \overrightarrow{AB} + 0 \overrightarrow{AD}$ donc $I\left(\dfrac12;0\right)$
\item %On nomme $a$ l'abscisse du point $C$ dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$. 
%Déterminer, en fonction de $a$, les coordonnées de $C$ et de $J$.
On a \quad  $\overrightarrow{AC}=a \overrightarrow{AB} + 1 \overrightarrow{AD}$ \quad donc \quad $C(a;1)$ \hfill 
On a \quad $J\left(\dfrac{a +0}2 ; \dfrac22 \right)$ \quad donc \quad $J\left(\dfrac{a}2 ; 1 \right)$.
\item %Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BC)$ et en déduire les coordonnées de $M$.
Donc : \\
\begin{tabular}{lcl}
Un point $E(x;y)$ appartient à la droite $(BC)$ & si et seulement si &
$\overrightarrow{BE}(x-1;y-0)$ et $\overrightarrow{BC}(a-1;1-0)$ sont colinéaires \tabularnewline
& si et seulement & $(x-1)\times 1-(a-1) \times y=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $x-1+(-a+1)y=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $x+(1-a)y=1$ \tabularnewline 
\end{tabular}
Ainsi une équation cartésienne de $(BC)$ est $x+(1-a)y=1$.\\
De plus, il est clair qu'une équation de $(AD)$ est $x=0$ (c'est l'axe des ordonnées, mais vous pouvez retrouver
cette équation par le calcul si ce n'est pas
encore clair pour vous).\\
Comme $M(x;y) \in (BC) \cap (AD)$ , ses coordonnées vérifient le système :
$$ 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 x+(1-a)y & = & 1\\
 x & = & 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 x & = & 0\\
 (1-a)y & = & 1
\end{array}\right.
 \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 x & = & 0\\
 y & = & \dfrac1{1-a} \quad \text{ Car } a \neq 1
\end{array}\right.
\qquad \text{Ainsi } M\left(0 ; \dfrac1{1-a} \right)$$
\textit{Noter que si $a=1$ le système n'a pas de solution, et géométriquement, cela signifie que le trapèze est en fait un 
parallélogramme, donc $M$ n'existe pas, d'où le fait de ne pas trouver de solution ...}
\item %Montrer que les points $M$, $I$ et $J$ sont alignés.
On a $J\left(\dfrac{a}2 ; 1 \right)$. \quad Ainsi $\overrightarrow{IJ}\left(\dfrac{a-1}2 ; 1 \right)$\quad 
De plus $\overrightarrow{IM} \left(-\dfrac12 ; \dfrac{1}{1-a}\right)$.\quad 
Or $\dfrac{a-1}2 \times \dfrac1{1-a}-1 \times \left(-\dfrac12\right) = -\dfrac12+\dfrac12 =0$\\
Donc les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IM}$ sont colinéaires\\
Donc  les droites $(IJ)$ et $(IM)$ sont parallèles avec un point commun : elles sont confondues\\
Donc les points $I$, $J$ et $M$ sont alignés.
\item %Déterminer une équation cartésienne de $(BD)$ et de $(AC)$. En déduire les coordonnées de $K$.
Ainsi :\\
\begin{tabular}{lcl}
Un point $E(x;y)$ appartient à la droite $(BD)$ & si et seulement si &
$\overrightarrow{BE}(x-1;y-0)$ et $\overrightarrow{BD}(0-1;1-0)$ sont colinéaires \tabularnewline
& si et seulement & $(x-1)\times 1-(-1) \times y=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $x-1+y=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $x+y=1$ \tabularnewline 
\end{tabular}
Ainsi une équation cartésienne de $(BD)$ est $x+y=1$. De même :\\
\begin{tabular}{lcl}
Un point $E(x;y)$ appartient à la droite $(AC)$ & si et seulement si &
$\overrightarrow{AE}(x-0;y-0)$ et $\overrightarrow{AC}(a-0;1-0)$ sont colinéaires \tabularnewline
& si et seulement & $x\times 1-a \times y=0$ \tabularnewline
& si et seulement & $x-ay=0$ \tabularnewline
\end{tabular}
Ainsi une équation cartésienne de $(AC)$ est $x-ay=0$.\\
Les coordonnées $(x;y)$ de leur point d'intersection $K$ vérifient donc le système :
$$ 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 x+y & = & 1\\
 x -ay & = & 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 x +y& = & 1\\
 x & = & ay
\end{array}\right.
 \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 ay+y & = & 1\\
 x & = & ay
\end{array}\right.
 \iff 
\left\{
\begin{array}{lcl}
 y & = & \dfrac1{a+1}\\
 x & = & \dfrac{a}{a+1}
\end{array}\right.
\quad \text{ Donc } K\left(\dfrac{a}{a+1} ; \dfrac{1}{a+1}\right)$$
\item %Conclure.
Ainsi $\overrightarrow{IK} \left(\dfrac{a-1}{2(a+1)} ; \dfrac{1}{a+1}\right)$ \quad 
et \quad $\overrightarrow{IJ}\left(\dfrac{a-1}2 ; 1 \right)$\hfill 
Or $\dfrac{a-1}{2(a+1)}\times 1  -\dfrac{a-1}2  \times \dfrac1{a+1}=\dfrac{a-1}{2(a+1)} - \dfrac{a-1}{2(a+1)} =0$\\
Ainsi $I$ , $J$ et $K$ sont alignés. \quad Finalement, $I$, $J$, $K$ et $M$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}






\end{document}
