\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4}
\newcommand{\ch}{Correction}
\newcommand{\Ch}{La m\'ethode de H\'eron}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{4}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha


 \begin{center} 
\textbf{ Méthode de Héron :}
\end{center}
\begin{itemize}
 \item Etape 0 : Choisir un rectangle de largeur $l$ et de longueur $L$ telle que son aire soit égale à 2.
 \item Etape 1 : Changer la Longueur $L$ précédente en $\dfrac{L+l}{2}$
 \item Etape 2 : Changer la valeur de la largeur $l$ de manière à toujours avoir un rectangle d'aire égale à 2
 \item Etape 3 : Recommencer les étapes 1 et 2 autant que vous le désirez.
\end{itemize}
\noindent \partieBac{Application de la méthode}
 \begin{enumerate}
 \item %Appliquer cet algorithme à un rectangle de largeur 1 et de Longueur 2, 
 %en répétant l'étape 3 trois fois (\textbf{en valeur exacte}).
 \begin{itemize}
  \item Etape 0 : $l=1$ et $L=2$. On a bien $l\times L=2$.
  \item Etape 1 : $L:=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac32$
  \item Etape 2 : On cherche $l$ telle que $l\times L = 2$ ie telle que :
  $$l \times \dfrac32=2 
  \iff l=\dfrac{2}{\dfrac32}=2\times \dfrac23 \iff l=\dfrac 43$$
  \item Etape 3 : 
  \begin{itemize}
   \item Etape 1 : $L:=\dfrac{\dfrac32+\dfrac43}{2}=\dfrac{\dfrac{17}6}{2}=\dfrac{17}{12}$
  \item Etape 2 : On cherche $l$ telle que $l\times L = 2$ ie telle que :
  $$l \times \dfrac{17}{12}=2 
  \iff l=\dfrac{2}{\dfrac{17}{12}}=2\times \dfrac{12}{17} \iff l=\dfrac {24}{17}$$
  \end{itemize}
\item Etape 3 : 
  \begin{itemize}
   \item Etape 1 : $L:=\dfrac{\dfrac{17}{12}+\dfrac{24}{17}}{2}=\dfrac{\dfrac{577}{204}}{2}=\dfrac{577}{408}$
  \item Etape 2 : On cherche $l$ telle que $l\times L = 2$ ie telle que :
  $$l \times \dfrac{577}{408}=2 
  \iff l=\dfrac{2}{\dfrac{577}{408}}=2\times \dfrac{408}{577} \iff l=\dfrac{816}{577}$$
  \end{itemize}
  \item Etape 3 : 
  \begin{itemize}
   \item Etape 1 : $L:=\dfrac{\dfrac{577}{408}+\dfrac{816}{577}}{2}=\dfrac{\dfrac{665857}{235416}}{2}=\dfrac{665857}{470832}$
  \item Etape 2 : On cherche $l$ telle que $l\times L = 2$ ie telle que :
  $$l \times \dfrac{665857}{470832}=2 
  \iff l=\dfrac{2}{\dfrac{665857}{470832}}=2\times \dfrac{470832}{665857} \iff l=\dfrac{941664}{665857}$$
  \end{itemize}
 \end{itemize}
  \item %Quelles valeurs approchées de $L$ et $l$ cela donne-t-il ?
  On obtient $l\simeq 1,414213562375 $ \quad et \quad $L \simeq 1,414213562372 $ (avec 12 décimales).\\
  Or $\sqrt{2}\simeq 1,414213562373$.\\
  \textit{A priori, sur vos calculatrices, vous ne trouviez que des valeurs approchées égales, car vous ne pouvez pas afficher
  plus de 10 décimales. Cependant, vous constatez que les valeurs exactes ne sont pas égales pour autant !!}
  \item %Cet algorithme est-il efficace ?  
  Cet algorithme est donc très efficace !! En 3 étapes, il donne déjà 11 décimales correctes pour $\sqrt{2}$.\\
  (A l'étape précédent, on avait déjà les 5 premières décimales juste pour $l$ et $L$)
\end{enumerate}
\newpage
\partieBac{Le lien avec les suites}
La longueur et la largeur du rectangle auquel on applique la méthode change au fur et à mesure 
 des étapes. Notons $L_0$ et $l_0$ leurs valeurs initiales et $L_n$ et $l_n$ leurs $n^{\text{ième}}$ 
 valeurs.
\begin{enumerate}
 \item %Que valent $L_1$ et $l_1$ ? $L_2$ et $l_2$ ? 
 $L_1=\dfrac32$ \quad ; \quad $l_1=\dfrac43$ \quad et \quad $L_2=\dfrac{17}{12}$ \quad ; \quad $l_2=\dfrac{24}{17}$
 \item %Proposer une expression pour définir les suites $(L_n)_{\N}$ et $(l_n)_{\N}$.
 $L_n: \left\{\begin{array}{l}
               L_0=2\\ L_{n+1}=\dfrac{L_n+l_n}2 \quad \forall n\geq 0
              \end{array}\right.$ \qquad et \qquad  $l_n=\dfrac{2}{L_n} \quad \forall n\geq 0$
 \item %Montrer que pour tout $n\in\N$ on a $L_{n+1}=\dfrac{L_n+\dfrac{2}{L_n}}{2}$
 Ainsi en remplaçant $l_n$ par son expression dans $L_{n+1}$ on trouve bien :
 $$L_{n+1}=\dfrac{L_n+l_n}2 =\dfrac{L_n+\dfrac{2}{L_n}}2 $$
 \item %Conjecturer d'après ce qui précède la valeur limite de la suite $(L_n)$
 D'après ce qui précède, on a $\Lim[n]{+\infty} L_n = \sqrt{2}$
\end{enumerate}
\partieBac{Avec un algorithme}
 \begin{enumerate}
\item %Donner la définition par récurrence de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$.
 $u_n: \left\{\begin{array}{l}
               u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n+\dfrac{2}{u_n}}2 \quad \forall n\geq 0
              \end{array}\right.$
\item %Que fait cet algorithme ?
Il calcule les valeurs des termes $u_i$ pour $i$ allant de $1$ jusqu'à $n$ ($n$ choisi par l'utilisateur)
et affiche la valeur du dernier terme calculé.
\item Pour $A=2$ :
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_0$ ; $u_1$ et $u_2$.
$u_0=1$ \qquad $u_1=\dfrac12\left(1+\dfrac21\right)=\dfrac32$ \qquad \\
$u_2=\dfrac12\left(\dfrac32+\dfrac2{\dfrac32}\right)=\dfrac12\left(\dfrac32+2\times\dfrac23\right)=\dfrac{17}{12}\simeq 1.4167$.\\
\item %Que semble calculer la suite $(u_n)$ ?
La suite $(u_n)$ semble calculer les termes de la suite $(L_n)$ de la partie B à partir de $n\geq 1$, ie une valeur approchée de 
$\sqrt{2}\simeq 1.4142$
\end{enumerate}
\item %Choisir une autre valeur de $A$ et reprendre la question précédente.
Si $A=3$ :\\
$u_0=1$ \qquad $u_1=\dfrac12\left(1+\dfrac31\right)=2$ \qquad 
$u_2=\dfrac12\left(2+\dfrac3{2}\right)=\dfrac{7}{4}\simeq 1.75$ \\
$u_3=\dfrac12\left(\dfrac74+\dfrac3{\dfrac74}\right)=\dfrac12\left(\dfrac74+3\times \dfrac47\right)=\dfrac{97}{56}\simeq 1.73214$\\
Or $\sqrt{3}\simeq 1.73205$.\\
L'algorithme semble donc calculer des valeurs approchées de $\sqrt{3}$ par la méthode de Héron.
\item %Programmer cet algorithme sur votre calculatrice ou un ordinateur (recopier le programme sur votre feuille
%en précisant le langage)
Varie suivant les modèle de calculatrices.
\item %Quelle valeur de $n$ et de $A$ faut-il rentrer pour obtenir une valeur approchée à $10^{-7}$ près
%de $\sqrt{97}$ ?
$\sqrt{97} \simeq 9,8488578$.\\
Il faut rentrer $A=97$ pour calculer des valeurs approchées de $\sqrt{97}$ puis on teste avec diverses
valeurs de $n$. 
\begin{itemize}
 \item $n=3$ on trouve $u_3\simeq 14$
 \item $u=5$ on trouve $u_5\simeq 9.87$
 \item $u=6$ on trouve $u_6 \simeq 9.8489$
 \item $n=7$ on trouve $u_7 \simeq 9.848857802$ ce qui est un valeur approchée de $\sqrt{97}$ à au moins 9 décimales
 près !
\end{itemize}
\end{enumerate}


\end{document}
