\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4}
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{La m\'ethode de H\'eron}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{4}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\textbf{Désormais j'aimerai que les DM soient rédigés individuellement.\\
Je relèverai 10 d'entre eux parmi les 33, choisis au hasard par un programme informatique devant vous. \\
Ceux qui n'auraient pas été choisis peuvent tout de même me le rendre. \\
Un devoir maison recopié, ou fait par un enseignant particulier, ne procurera désormais 
aucun bonus sur la moyenne.\\}


Les grecs savent depuis longtemps construire à la règle et au compas 
un segment de longueur n'importe quelle racine carré
grâce au théorème de Pythagore, sans pour autant connaître précisément cette longueur.\\
 La méthode de Héron ou méthode babylonienne est une méthode efficace d'extraction 
 de racine carrée (qui donne une valeur approchée de la racine). 
 Elle porte le nom du mathématicien Héron d'Alexandrie (I$^{\text{er}}$ siècle après JC)
 mais certains calculs antérieurs, notamment égyptiens, semblent prouver que la méthode est 
 plus ancienne.
Nous allons la découvrir sur $\sqrt{2}$.\\

 L'idée est de partir d'un rectangle d'aire $2$, puis de modifier ses côtés successivement et 
 intelligemment afin de conserver son aire, mais de se rapprocher d'un carré, 
 qui aura donc pour côté $\sqrt{2}$.  
 \begin{center} 
\textbf{ Méthode de Héron :}
\end{center}
\begin{itemize}
 \item Etape 0 : Choisir un rectangle de largeur $l$ et de longueur $L$ telle que son aire soit égale à 2.
 \item Etape 1 : Changer la Longueur $L$ précédente en $\dfrac{L+l}{2}$
 \item Etape 2 : Changer la valeur de la largeur $l$ de manière à toujours avoir un rectangle d'aire égale à 2
 \item Etape 3 : Recommencer les étapes 1 et 2 autant que vous le désirez.
\end{itemize}
\noindent \partieBac{Application de la méthode}
 \begin{enumerate}
 \item Appliquer cet algorithme à un rectangle de largeur 1 et de Longueur 2, 
 en répétant l'étape 3 trois fois (\textbf{en valeur exacte}).
  \item Quelles valeurs approchées de $L$ et $l$ cela donne-t-il ?
  \item Cet algorithme est-il efficace ?  
\end{enumerate}
\partieBac{Le lien avec les suites}
La longueur et la largeur du rectangle auquel on applique la méthode change au fur et à mesure 
 des étapes. Notons $L_0$ et $l_0$ leurs valeurs initiales et $L_n$ et $l_n$ leurs $n^{\text{ième}}$ 
 valeurs.
\begin{enumerate}
 \item Que valent $L_1$ et $l_1$ ? $L_2$ et $l_2$ ? 
 \item Proposer une expression pour définir les suites $(L_n)_{\N}$ et $(l_n)_{\N}$.
 \item Montrer que pour tout $n\in\N$ on a $L_{n+1}=\dfrac{L_n+\dfrac{2}{L_n}}{2}$
 \item Conjecturer d'après ce qui précède la valeur limite de la suite $(L_n)$
\end{enumerate}
\partieBac{Avec un algorithme}
\begin{minipage}{8cm}
 On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par le programme suivant :
\begin{center}
\Algo{7.7cm}{
\Entree{ 
 $n$ et $A$ sont des nombres entiers.}
\Variable{
$i$ est un nombre entier.\\
$u$ est un nombre réel.
}
\Deb{
$u:=1$\\
  \For{i allant de 1 à $n$}
{$u:=\dfrac{1}{2}\left(u+\dfrac{A}{u}\right)$ 
}
Afficher $u$
}
}
\end{center}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{enumerate}
\item Donner la définition par récurrence de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$.
\item Que fait cet algorithme ?
\item Pour $A=2$ :
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$ ; $u_1$ et $u_2$.
\item Que semble calculer la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Choisir une autre valeur de $A$ et reprendre la question précédente.
\item Programmer cet algorithme sur votre calculatrice ou un ordinateur (recopier le programme sur votre feuille
en précisant le langage)
\item Quelle valeur de $n$ et de $A$ faut-il rentrer pour obtenir une valeur approchée à $10^{-7}$ près
de $\sqrt{97}$ ?
\end{enumerate}
\textbf{Cette suite s'appelle la suite de Héron}
\end{minipage}

\end{document}
