\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{R\'evisions}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{3bis}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\rule[-12pt]{0pt}{30pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha


 

\begin{ExoF} \hfill $\star\star$\\
  \partieBac{Une seule boule}
 \begin{enumerate}
  \item %Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
  $X\in \{-3~;~2\}$
  \item %Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau.
  \begin{tabular}{*{4}{|C{1.6cm}}|}\hline 
   $x_i$ & $-3$ & $2$ & Total \tabularnewline\hline
  \rule[-12pt]{0pt}{30pt} $P(X=x_i)$ &  $\dfrac{n}{n+5}$ & $\dfrac{5}{n+5}$ & $\dfrac{n+5}{n+5}=1$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \item %Exprimer $E(X)$ en fonction de $n$.
  $E(X)=-3\times \dfrac{n}{n+5} + 2 \times \dfrac{5}{n+5} = ... = \dfrac{-3n+10}{n+5}$
  \item %Déterminer les valeurs prises par $n$ pour lesquelles le jeu est défavorable.
  Le jeu est défavorable lorsque $E(X)<0 \iff \dfrac{-3n+10}{n+5}<0$.\\
  Or $n\geq 3$ donc $n+5>0$. On cherche donc $n$ tel que $-3n+10<0 \iff -3n<-10 \iff n>\dfrac{10}3$.\\
  Comme $n$ est entier, on peut conclure que le jeu est défavorable pour tout $n\geq 4$.
 \end{enumerate}
 \partieBac{Deux boules avec remise}
 \vspace{1cm}
 Un arbre peut nous aider à répondre : \hfill \psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$N$}\taput{\small $\dfrac{n}{n+5}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N \quad \Longrightarrow \quad Y=-6$}\taput{\small $\dfrac{n}{n+5}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B \quad \Longrightarrow \quad Y=-1$}\tbput{\small $\dfrac{5}{n+5}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $\dfrac{5}{n+5}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N\quad \Longrightarrow \quad Y=-1$}\taput{\small $\dfrac{n}{n+5}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B\quad \Longrightarrow \quad Y=4$}\tbput{\small $\dfrac{5}{n+5}$}
}
}

    \begin{enumerate}
   \item $Y\in \{-6~;-1~;~4\}$
  \item %Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau.
  \begin{tabular}{*{4}{|C{1.6cm}}|C{3cm}|}\hline 
   $y_i$ & $-6$ & $-1$ & $4$ & Total \tabularnewline\hline
 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}   $P(Y=y_i)$ & $\dfrac{n^2}{(n+5)^2}$ & $\dfrac{10n}{(n+5)^2}$ & $\dfrac{25}{(n+5)^2}$ 
   & $\dfrac{n^2+10n+25}{(n+5)^2}=1$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \item  $E(Y)=-6\times \dfrac{n^2}{(n+5)^2} - 1 \times \dfrac{10n}{(n+5)^2} + 4 \times \dfrac{25}{(n+5)^2}
  = ... = \dfrac{-6n^2-10n+100}{(n+5)^2}$
  \item   Le jeu est défavorable lorsque $E(Y)<0 \iff \dfrac{-6n^2-10n+100}{(n+5)^2} \iff -6n^2-10n+100$.\\
 Or $\Delta=(-10)^2-4\times (-6) \times 100 = ... = 2500 = 50^2$. \hfill 
 D'où $n_1=\dfrac{10-50}{-12}=\dfrac{10}3$
 \, et \, $n_2=\dfrac{10+50}{-12}<0$
  \\
  $-6<0$ donc le trinôme $-6n^2-10n+100$ est négatif à l'extérieur des racines $n_1$ et $n_2$\\
  Comme $n\geq 3$ et $n$ entier, on peut conclure que le jeu est défavorable pour tout $n\geq 4$
 \end{enumerate}
  \partieBac{Deux boules sans remise}
   \vspace{1cm}
 Un arbre peut nous aider à répondre : \hfill \psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$N$}\taput{\small $\dfrac{n}{n+5}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N \quad \Longrightarrow \quad Z=-6$}\taput{\small $\dfrac{n-1}{n+4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B \quad \Longrightarrow \quad Z=-1$}\tbput{\small $\dfrac{5}{n+4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $\dfrac{5}{n+5}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N\quad \Longrightarrow \quad Z=-1$}\taput{\small $\dfrac{n}{n+4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B\quad \Longrightarrow \quad Z=4$}\tbput{\small $\dfrac{4}{n+4}$}
}
}

    \begin{enumerate}
   \item $Z\in \{-6~;-1~;~4\}$
  \item %Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau.
  \begin{tabular}{*{4}{|C{2cm}}|C{3.7cm}|}\hline 
   $z_i$ & $-6$ & $-1$ & $4$ & Total \tabularnewline\hline
 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}   $P(Z=z_i)$ & $\dfrac{n(n-1)}{(n+5)(n+4)}$ & $\dfrac{10n}{(n+5)(n+4)}$ 
 & $\dfrac{20}{(n+5)(n+4)}$ 
   & $\dfrac{n(n-1)+10n+20}{(n+5)(n+4)}=1$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \item  $E(Z)=-6\times \dfrac{n(n-1)}{(n+5)(n+4)} - 1 \times \dfrac{10n}{(n+5)(n+4)} 
  + 4 \times \dfrac{20}{(n+5)(n+4)}
  = ... = \dfrac{-6n^2-4n+80}{(n+5)(n+4)}$
  \item   Le jeu est défavorable lorsque $E(Z)<0 \iff \dfrac{-6n^2-4n+80}{(n+5)(n+4)}$\\
  Or $n\geq 3$ donc cela revient à chercher $n$ tel que $-6n^2-4n+80<0$.\\
 Or $\Delta=(-4)^2-4\times (-6) \times 80 = ... = 1936 = 44^2$. \hfill 
 D'où $n_1=\dfrac{4-44}{-12}=\dfrac{10}3$
 \, et \, $n_2=\dfrac{4+44}{-12}<0$
  \\
  $-6<0$ donc le trinôme $-6n^2-4n+80$ est négatif à l'extérieur des racines $n_1$ et $n_2$\\
  Comme $n\geq 3$ et $n$ entier, on peut conclure que le jeu est défavorable pour tout $n\geq 4$
 \end{enumerate}
 \partieBac{Avec une mise de départ}
      Dans cette question, pour pouvoir jouer, on doit donner 4 $\euro$.
     \begin{enumerate}
      \item %Dans les trois cas précédents, quelle est la nouvelle espérance ?\\
      %\textit{Ne refaites surtout pas l'exercice en entier ! Pensez à utiliser la formule adéquate
      %qui donne le résultat en une ligne ...}
      Avec une mise de départ de $4\euro$ on obtient les nouvelles espérances suivantes :
      $E(X')=E(X-4)=E(X)-4=\dfrac{-3n+10}{n+5}-4 = ... =\dfrac{-7n-10}{n+5}<0$ car $n>0$
      $E(Y')=E(Y-4)=E(Y)-4=\dfrac{-6n^2-10n+100}{(n+5)^2}-4 = ... =\dfrac{-10n^2-50n}{(n+5)^2}<0$ car $n>0$
      $E(Z')=E(Z-4)=E(Z)-4=\dfrac{-6n^2-4n+80}{(n+5)(n+4)}-4 = ... =\dfrac{-10n^2-40n}{(n+5)(n+4)}<0$ car $n>0$
      \item %Accepteriez-vous de jouer à  l'un de ces jeu ? Le(s)quel(s) et pourquoi ?
      Les trois espérances sont clairement négatives pour tout $n\geq 3$, 
      donc aucun jeu n'est intéressant, pour n'importe quelle valeur de $n$.
     \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill $\star$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
\item  \begin{minipage}{10cm}
  %Etablir les tableaux de signes des trinômes $P$ et $T$.
        $\Delta_P=...=-1<0$ donc $P$ n'a pas de racine réelle. \\
        On en déduit le tableau de signe ci-contre ($a>0$) :
       \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
     \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]
{$x$ / 0.5 ,Signe de $P(x)$ /1 }%
{$-\infty$, $+\infty$ }%
\tkzTabLine{ ,+, }
\end{tikzpicture}
   \end{minipage}\\
   \begin{minipage}{8.5cm}
 $\Delta_T=...=29>0$ \\
 Donc $x_1=...=\dfrac{9+\sqrt{29}}{2}$\, et \, $x_2=...=\dfrac{9-\sqrt{29}}{2}$. \\
 On en déduit le tableau de signe ci-contre ($a<0$) :
  \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
     \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]
{$x$ / 0.5 ,Signe de $T(x)$ /1 }%
{$-\infty$ , $x_2$, $x_1$ , $+\infty$ }%
\tkzTabLine{ ,- ,z ,+, z , -, }
\end{tikzpicture}
   \end{minipage}
 \item $P(0)=...=5$ \, et \,  $T(0)=-13$.
        \end{enumerate}
 \item %Déduire de la question 1 les réponses aux questions suivantes :
 \begin{enumerate}
  \item %Déterminer les éventuels points d'intersections de la courbe $\mathscr C_P$ 
 % avec les axes du repère.
 $P(0)=5$ donc $\mathscr C_P$ coupe l'axe des ordonnées en $(0~;~5)$.\\
 $P$ n'a pas de racine réelle, donc $\mathscr C_P$ ne coupe pas l'axe des abscisses. 
  \item $T(0)=-13$ donc $\mathscr C_T$ coupe l'axe des ordonnées en $(0~;~-13)$.\\
 $T$ possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$, donc $\mathscr C_T$ coupe 
 l'axe des abscisses en $(x_1~;~0)$ et $(x_2~;~0)$.
  \item D'après le tableau de signes de $P(x)$, on peut dire que $\mathscr C_P$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.
  \item D'après le tableau de signes de $T(x)$, on peut dire que $\mathscr C_T$ est au-dessus de l'axe des abscisses si et seulement
  si $x\in ]x_2~;~x_1[$
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item %Déterminer les \textbf{coordonnées} des points d'intersection de
       %$\mathscr C_P$ et $\mathscr C_T$.\\
       %\Rq{Des coordonnées sont des couples de points, j'attends donc une abscisse et une ordonnée pour chaque point trouvé !}
       $P(x)=T(x) \iff P(x)-T(x)=0 \iff ... \iff \dfrac32x^2-12x+18=0$\\
       $\Delta_{P-T}=...=36=6^2$ \hfill Donc $x_1=...=2$ \, et \, $x_2=...=6$.\\
       Nous avons trouvé les abscisses des points d'intersection. \\
       Cherchons les ordonnées
       correspondantes, ie les images de $2$ et $6$ par $P$ ou $T$, comme l'on veut puisque ce sont les mêmes.\hfill
       $T(2)=...=1$ et $T(6)=...=5$.\\
       Les courbes se coupent en $(2~;~1)$ et $(6~;~5)$
\item %Pour quelles valeurs de $x$ la courbe $\mathscr C_P$ est-elle située au-dessus de la courbe $\mathscr C_T$.
%\textit{Justifier.}
$\mathscr C_P$ est au-dessus de $\mathscr C_T$ si et seulement si $P(x)-T(x)>0 \iff  \dfrac32x^2-12x+18>0$
\\On a donc le tableau suivant : \\
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4.1,lgt=3]
{$x$ / 0.5 ,Signe de $P(x)-T(x)$ /1, Ordre de $P(x)$ et $T(x)$/2, Position relative des courbes/2 }%
{$-\infty$ , $2$, $6$ , $+\infty$ }%
\tkzTabLine{ ,+ ,z ,-, z , +, }
\tkzTabLine{ ,P(x)>T(x) ,t ,P(x)<T(x), t , P(x)>T(x), }
\tkzTabLine{ ,\mathscr C_P \text{ au-dessus de } \mathscr C_T ,t ,\mathscr C_P \text{ en-dessous de } \mathscr C_T, t , \mathscr C_P \text{ au-dessus de } \mathscr C_T, }
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
%\item Déterminer le signe du quotient $\dfrac{}{}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\setcounter{partieBac}{0}
\begin{ExoF} \hfill $\star \star\star $\\
\partieBac{Echauffement}
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, les équations trigonométriques suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\sin x=-1$ 

Un unique point du cercle est associé à des réels dont le sinus vaut $-1$ ; ces réels sont de la forme $-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ avec $k\in \Z$ ; ce qui nous permet de conclure que :
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{avec}\quad k\in \Z \right\}$$
\item $\sin x =2$

Nous savons que pour tout réel $x$ $-1\leq \sin x\leq 1$, par conséquent il n'existe aucun nombre réel tel que $\sin x=2$.

$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Deux points du cercle trigonométrique sont associés à des réels dont le sinus vaut $-\dfrac{1}{2}$, les premiers sont tous de la forme $-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in \Z$ et les autres sont de la forme $\dfrac{-5\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in\Z$ ce qui donne :
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{avec}\quad  k\in \Z; \dfrac{-5\pi}{6}+2k\pi \quad \text{avec} \quad k\in \Z\right\}$$
\end{enumerate}
 \item On sait que pour tout réel $x$ on a 
 $\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow \cos^2 x=1-\sin^2 x$ \hfill D'où :
$$ 2\sin^3 x+\cos^2 x-5\sin x-3=0\Longleftrightarrow 2\sin^3 x+1-\sin^2 x-5\sin x-3=0 \Longleftrightarrow 2\sin^3 x-\sin^2 x-5\sin x-2=0 $$
\end{enumerate}
\noindent\partieBac{Polynômes}
\begin{enumerate}
\item $$ P(-1)=2\times (-1)^3-(-1)^2-5\times (-1)-2=-2-1+5-2=0$$
\item Supposons qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ qui vérifient $P(X)=(X+1)(aX^2+bX+c)$. 
Dans ce cas :
\begin{eqnarray*}
 P(X)&=& aX^3+bX^2+cX+aX^2+bX+c \\
 \iff 2X^3-X^2-5X-2 &=&aX^3+(b+a)X^2+(c+b)X+c
\end{eqnarray*}
Donc en choisissant $a$, $b$, $c$ tels que \, $\left\{\begin{array}{l}
                                                   a=2 \\ b+a=-1 \\ c+b=-5 \\ c=-2
                                                  \end{array}\right. 
                                                  \iff 
                                                  \left\{\begin{array}{l}
                                                   a=2 \\ b=-3 \\ b=-3 \\ c=-2
                                                  \end{array}\right. $ \,
on a l'égalité voulue.\\
On vient de démontrer que :
$$ P(X)=2X^3-X^2-5X-2=(X+1)(2X^2-3X-2)$$
\item $$ P(X)=0 \Longleftrightarrow (X+1)(2X^2-3X-2)=0$$
Or, un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul d'où :
\begin{eqnarray*}
P(X)=0 & \Longleftrightarrow & X+1=0\qquad \text{ou}\qquad 2X^2-3X-2=0 \\
& \Longleftrightarrow & X=-1 \qquad \text{ou}\qquad 2X^2-X-2=0 
\end{eqnarray*}
Pour résoudre $2X^2-3X-2=0$ calculons le discriminant $\Delta= b^2-4ac=9-4\times 2\times (-2)=25$
donc l'équation $2X^2-3X-2=0$ admet deux solutions :
$$ X_1=\dfrac{3+ \sqrt{25}}{4}=2\qquad \text{et}\qquad X_2=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}$$

Au final le polynôme $P$ admet $3$ racines qui sont $-1$ ; $-\dfrac{1}{2}$ et $2$.
\end{enumerate}
 \noindent\partieBac{Trigonométrie}
 \begin{enumerate}
  \item On cherche à résoudre $(E)$, ce qui revient à résoudre
  $ 2\sin^3 x-\sin^2 x-5\sin x-2=0$ puisque cette équation
  a les mêmes solutions que l'équation $(E)$ d'après la question A2.\\
  En posant $X=\sin x$ cette dernière équation devient :
$$ 2X^3-X^2-5X-2=0 \Longleftrightarrow P(X)=0 \Longleftrightarrow X=-1 \quad  \text{ ou } \quad X=-\dfrac{1}{2} \quad  \text{ ou } \quad X=2$$

Ainsi l'ensemble des solutions $x$ de $(E)$ vérifient 
$$\sin x=-1 \quad  \text{ ou } \quad \sin x=-\dfrac{1}{2} \quad  \text{ ou } \quad \sin x=2$$
On utilise alors les résultats de la première question pour déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ que voici :
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{avec} \quad k\in \Z ~;~
-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{avec}\quad  k\in \Z~;~ \dfrac{-5\pi}{6}+2k\pi \quad\text{avec} \quad k\in \Z\right\}$$
\item Figure évidente.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}





\end{document}
