\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Correction}
\newcommand{\ch}{Correction}
\newcommand{\Ch}{DM 3}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\num}{2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha
\begin{ExoF} \hfill (5 points)\\
\begin{minipage}{9.5cm}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{ttccqq}{0.2 0.8 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,0.07)(2.4,5.46)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.44,4.81)(-2.12,4.77)(-2.09,5.1)(-2.41,5.13)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.66,3.66)(1.47,3.4)(1.73,3.21)(1.92,3.47)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.39,0.68)(-1.52,0.97)(-1.81,0.84)(-1.68,0.55)
\pspolygon[linecolor=ttccqq,fillcolor=ttccqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.66,2.74)(-0.02,4.88)(0.51,1.52)
\psline(-2.66,2.74)(0.51,1.52)
\psline(-1.07,2.21)(-1.12,2.08)
\psline(-1.02,2.19)(-1.07,2.06)
\psline(0.51,1.52)(-0.02,4.88)
\psline(0.18,3.16)(0.32,3.19)
\psline(0.17,3.22)(0.31,3.24)
\psline(-2.66,2.74)(-0.02,4.88)
\psline(-1.4,3.85)(-1.32,3.74)
\psline(-1.36,3.88)(-1.28,3.77)
\psline(-2.66,2.74)(-2.41,5.13)
\psline(-2.6,3.94)(-2.47,3.93)
\psline(-2.41,5.13)(-0.02,4.88)
\psline(-1.21,5.07)(-1.22,4.94)
\psline(-2.66,2.74)(-1.68,0.55)
\psline(-2.11,1.67)(-2.23,1.61)
\psline(-1.68,0.55)(0.51,1.52)
\psline(-0.61,1.1)(-0.56,0.97)
\psline(0.51,1.52)(1.92,3.47)
\psline(1.16,2.54)(1.27,2.46)
\psline(1.92,3.47)(-0.02,4.88)
\psline(0.91,4.12)(0.99,4.23)
\psline[linecolor=ttccqq](-2.66,2.74)(-0.02,4.88)
\psline[linecolor=ttccqq](-0.02,4.88)(0.51,1.52)
\psline[linecolor=ttccqq](0.51,1.52)(-2.66,2.74)
\psline[linecolor=blue]{->}(-2.66,2.74)(-5.83,3.96)
\rput[bl](-4.4,2.8){$\overrightarrow{BA}$}
\rput[bl](-6.1,4.1){$G$}
\psline[linecolor=blue]{->}(-2.41,5.13)(-5.05,2.99)
\rput[bl](-4.,4.5){$\overrightarrow{CA}$}
\rput[bl](-5.1,2.6){$H$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-2.66,2.74)
\rput[bl](-2.84,2.58){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-0.02,4.88)
\rput[bl](0.02,4.94){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0.51,1.52)
\rput[bl](0.62,1.36){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-2.41,5.13)
\rput[bl](-2.35,5.17){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](1.92,3.47)
\rput[bl](1.99,3.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-1.68,0.55)
\rput[bl](-1.77,0.3){$F$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

 Le triangle $ACE$ est direct rectangle isocèle en $A$.\\
 Par conséquent :
$$ \left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AE}\right)=\dfrac12 \times \dfrac{\pi}2 = \dfrac{\pi}{4}$$
On utilise la relation de Chasles :
$$  \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BF}\right)= \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)+ \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BF}\right)
=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{7\pi}{12}$$
 \end{minipage}\quad
 \begin{minipage}{8cm}
En déplaçant le vecteur $\overrightarrow{BA}$, on constate que : 
$  \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}\right)= 
\left(\overrightarrow{AG};\overrightarrow{AC}\right)$, par conséquent :
$$  \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}\right)=
\left(\overrightarrow{AG};\overrightarrow{AB}\right)-\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)
=-\pi-\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}$$
On utilise la relation de Chasles :
$$  \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CA}\right)= 
\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CB}\right)+ \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)
=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{7\pi}{12}$$
Et enfin, en déplaçant le vecteur $\overrightarrow{CA}$, on constate que 
$ \left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{CA}\right)= \left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{EH}\right)
= \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AC}\right)$ comme angles alternes-internes
formés par les parallèles $(EH)$ et $(CA)$ et la sécante $(EA)$. Donc :
$$  \left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{CA}\right)
= \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{\pi}{4}$$
 \end{minipage}
\end{ExoF}
 


\begin{ExoF}
\hfill (4 points)
  \begin{enumerate}
         \item \scalebox{0.8}{
         \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.3,-5.5)(16.42,4)
\psline{->}(4.96,-0.78)(13.64,-0.78)
\psline{->}(9.3,-5.12)(9.3,3.56)
\psline(9.5,2.11)(9.1,2.11)
\pscircle(9.3,-0.78){4.34}
\rput[tl](8.84,1.5){$\dfrac{1}{3}$}
\psplot{-4.3}{24.42}{(-104.73-0*x)/-157.09}
\rput[tl](4.94,1.16){$x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.3,-0.78)
\rput[bl](9.38,-0.66){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](13.64,-0.78)
\rput[bl](13.72,-0.66){\blue{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.3,3.56)
\rput[bl](9.38,3.68){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.3,0.67)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.21,0.67)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}}
         \item Puisque $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ on a $\cos x<0$.
         \item On sait que pour tout $x\in\R$ on a $$\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow \cos^2 x+\dfrac{1}{9}=1\Longleftrightarrow \cos^2 x=\dfrac{8}{9}\Longleftrightarrow \cos x=\dfrac{\sqrt{8}}{3}\qquad \text{ou}\qquad \cos x=-\dfrac{\sqrt{8}}{3}$$
         D'après la question précédente $\cos x<0$, par conséquent \:
         $ \cos x=-\dfrac{\sqrt{8}}{3}$
         \item A la calculatrice on trouve $ x=\cos^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{8}}{3}\right)\simeq 2,8$
        \end{enumerate}
\end{ExoF}



%\Exoi{\hfill (points)\\
%On donne $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\,$ et 
%on admet que $\sin^2\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right)= \dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$. 
%\begin{enumerate}
%\item  Déterminer la valeur exacte de 
%$\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \, $ et de $\,\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right) $.
% \item Déterminer la valeur exacte de $\sin\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right) \, $ et de $\, \sin\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)$.
%\end{enumerate}}


\begin{ExoF} \hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item A l'aide d'un cercle trigonométrique que l'on a dessiné on trouve :
%\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] Dans $]-\pi ; \pi] $, $\mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right\}$
 \item[\textbullet] Dans $[0 ; 2\pi [$, $\mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right\}$
 \item[\textbullet] Dans $ \R$, $\mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi;\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\right\}$ où $k$ désigne un entier.
\end{itemize}
%\end{multicols}
\item $10<\dfrac{65}{6}<11 \iff 10\pi < \dfrac{65}{6} \pi < 11\pi 
\stackrel{-10\pi=-5\text{tours}}{\iff} 0 < \dfrac56\pi < \pi$\\
La mesure principale de $\dfrac{65}6 \pi$ est $\dfrac56\pi$. En fait on peut même dire 
que $\dfrac{65}6\pi = \dfrac56\pi + 5 \times 2\pi$ \\
Par conséquent le nombre $\dfrac{65\pi}{6}$ est solution de l'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ 
dans $\R$ (avec $k=5$).
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
 \item De même on trouve :
 $$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right\}$$
 \item 
 $-8<-\dfrac{22}{3}<-7 \iff -8\pi < -\dfrac{22}{3} \pi < -7\pi 
\stackrel{+8\pi=4\text{tours}}{\iff} 0 < \dfrac23\pi < \pi$\\
La mesure principale de $-\dfrac{22}3 \pi$ est $\dfrac23\pi$. En fait on peut même dire 
que $-\dfrac{22}3\pi = \dfrac23\pi + 4 \times 2\pi $ \\
 Ainsi le nombre $-\dfrac{22\pi}{3}$ n'est pas solution de l'équation $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$, 
 puisque $\cos \dfrac{-22\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
 \item De même on trouve
 $$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right\}$$
 \item Grâce au cercle, on lit dans $]-\pi ; \pi]$ que
 $\cos(x)>-\dfrac{\sqrt{2}}2\Longleftrightarrow -\dfrac{3\pi}{4}<x<\dfrac{3\pi}{4}$, par conséquent : 
 $$ \mathscr S=\left]-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[$$
% \item Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans $[-2\pi ; 3\pi[$.
\end{enumerate}
%\item On a interrogé le logiciel de calcul formel XCAS en entrant la ligne suivante :
%\begin{center}
%\fbox{\texttt{solve(2*sin(x)\^{}2-sin(x)-1=0,x)}} 
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%       \item Que demande-t-on au logiciel ?
% \item Trouver les trois nombres réels que le logiciel renvoie.
%      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\textit{de la trigonométrie avec $\dfrac{\pi}{8}$}\hfill (10 points)
\begin{enumerate}
\item Voir la figure à la fin
\item \begin{enumerate}
Par définition du sinus et du cosinus, $B$ a pour coordonnées :
$$ \left(\cos \dfrac{\pi}{4};\sin \dfrac{\pi}{4}\right)\qquad \text{c'est-à-dire}\qquad \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
\item Voir la figure.
\item Le triangle $HIB$ est rectangle en $H$. \\
Des coordonnées de $B$ on tire $HB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $OH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 
De plus $OI=1$, et par conséquent $HI=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\\
Donc d'après le théorème de Pythagore on a :
\begin{eqnarray*}
& & IB^2=HI^2+HB^2\\
&\Longleftrightarrow & IB^2=\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\
& \Longleftrightarrow & IB^2=1-\sqrt{2}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}\\
& \Longleftrightarrow & IB^2=2-\sqrt{2}\\
& \Longleftrightarrow & IB=\sqrt{2-\sqrt{2}}\simeq 0,77
\end{eqnarray*}
On vient de trouver la longueur $IB$ en unité graphique, par conséquent $IB=8\sqrt{2-\sqrt{2}}\simeq 6,1$ cm.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item On observe que $ OB=OI=1$, ainsi le triangle $OIB$ est isocèle en $O$. 
       De plus la droite $(OA)$ est la bissectrice de l'angle 
       $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)$. 
       $(OA)$ est donc aussi une hauteur dans le triangle $OIB$, et par conséquent :
$$ (OA)\perp (IB)\Longrightarrow \text{le triangle OIK est rectangle en K.}$$
       \item Dans le triangle $OIK$ on a :
$$ \sin \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=
\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}
\Longleftrightarrow \sin \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{KI}{OI}=KI$$
 \item Or, $KI=\dfrac{1}{2}IB$ et  $IB=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ ainsi :
$$ \sin \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$
      \end{enumerate}


\item On sait que pour tout $x\in\R$ on a $\cos^2 x+ \sin x=1$. Ainsi
\begin{eqnarray*}
 & & \cos^2 \dfrac{\pi}{8}+\sin^2 \dfrac{\pi}{8}=1\\
 & \Longleftrightarrow & \cos^2\dfrac{\pi}{8}+\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^2=1\\
 & \Longleftrightarrow & \cos^2\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}=1\\
 & \Longleftrightarrow & \cos^2 \dfrac{\pi}{8}=1-\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}\\
 &\Longleftrightarrow & \cos^2 \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{4-2+\sqrt{2}}{4}\\
 &\Longleftrightarrow & \cos^2 \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\\
 & \Longleftrightarrow & \cos \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\qquad \text{ou} \qquad \cos \dfrac{\pi}{8}=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{eqnarray*}\\
Or, $0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}$ Donc $ \cos \dfrac{\pi}{8}>0$. On en conclut que :
$$ \cos \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$ 
\pagebreak
\item D'après les questions précédentes on sait que :
$$ A\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)$$
Les coordonnées de $A$ et de la symétrie de la figure on déduit celles de $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ :
$$ C\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right) \qquad \qquad 
 D\left(\dfrac{-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)  \qquad \qquad 
 E\left(-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)$$
$$ F\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2};\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)  \qquad \qquad 
 G\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2};\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)$$
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\scalebox{0.9}{
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.21,-8.74)(9.87,10.04)
\pscircle(0,0){8}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq]{->}(-8,0)(8,0)
\psline{->}(0,-8)(0,8)
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-21.21}{21.87}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=4pt 4pt,linecolor=ccqqqq]{-21.21}{21.87}{(-0--0.38*x)/0.92}
\psline(8,0)(7.39,3.06)
\psline(7.39,3.06)(5.66,5.66)
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-21.21}{21.87}{(-0--0.92*x)/0.38}
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-21.21}{21.87}{(-59.13-0*x)/-8}
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-21.21}{21.87}{(-45.25-0*x)/-8}
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-21.21}{21.87}{(-24.49-0*x)/-8}
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-3.06}{21.87}{(-0-7.39*x)/3.06}
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-5.66}{21.87}{(-0-5.66*x)/5.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-7.39}{21.87}{(-0-3.06*x)/7.39}
\psline(5.66,5.66)(3.06,7.39)
\psline(3.06,7.39)(0,8)
\psline(0,8)(-3.06,7.39)
\psline(-3.06,7.39)(-5.66,5.66)
\psline(-5.66,5.66)(-7.39,3.06)
\psplot[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{-21.21}{8}{(-0-0*x)/-8}
\psline(-7.39,3.06)(-8,0)
\psline(-8,0)(-7.39,-3.06)
\psline(-7.39,-3.06)(-5.66,-5.66)
\psline(-5.66,-5.66)(-3.06,-7.39)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](0,8)(0,-8.74)
\psline(-3.06,-7.39)(0,-8)
\psline(0,-8)(3.06,-7.39)
\psline(3.06,-7.39)(5.66,-5.66)
\psline(5.66,-5.66)(7.39,-3.06)
\psline(7.39,-3.06)(8,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](5.66,5.66)(8,0)
\psline[linecolor=ccqqqq](5.66,-8.74)(5.66,10.04)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.12,0.11){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](8,0)
\rput[bl](8.13,0.11){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,8)
\rput[bl](0.12,8.4){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](5.66,5.66)
\rput[bl](5.79,6.2){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](7.39,3.06)
\rput[bl](7.5,3.3){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3.06,7.39)
\rput[bl](2.8,7.8){$F$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.06,7.39)
\rput[bl](-3.2,7.7){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-5.66,5.66)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-7.39,3.06)
\rput[bl](-7.8,3.17){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-7.39,-3.06)
\rput[bl](-7.8,-2.95){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-5.66,-5.66)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-3.06,-7.39)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3.06,-7.39)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](5.66,-5.66)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](7.39,-3.06)
\rput[bl](7.8,-2.95){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-8,0)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,-8)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6.83,2.83)
\rput[bl](6.5,2.2){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](5.66,0)
\rput[bl](5.79,0.11){$H$}
\end{pspicture*}
}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}