\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Ch}{La suite des suites !}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{9}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{separation.eps}{Ashgar Farhadi}{Une séparation}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{Asghar Farhadi a fait ses études de théâtre, avec un diplôme du 1er cycle en arts dramatiques et une maîtrise de mise en scène théâtrale à l’Université de Téhéran et l’Université Tarbiat Modarres. Farhadi a tourné des courts métrages de 8 mm et 16 mm au Département de la société du cinéma de jeunesse d’Ispahan avant d’entamer l’écriture des pièces de théâtre et des scénarios pour la télévision iranienne, IRIB. Danse dans la poussière est son premier film réalisé, suivi par le film acclamé par les critiques, Les enfants de Belle Ville. Son troisième film, La Fête du feu obtient le Hugo d'or au Festival international du film de Chicago en 2006.
À propos d'Elly, pour lequel il reçoit l’Ours d'argent du meilleur réalisateur à Berlin en 2009, prend pour sujet le voyage d’un groupe d’Iraniens au bord de la mer Caspienne tournant à la catastrophe. En 2011, Farhadi revient à la Berlinale pour y présenter Une séparation. Le film gagne l'Ours d'or et les Prix d'interprétation féminine et masculine pour l'ensemble de la distribution. Puis il reçoit, en 2012, le Golden Globe, le César et l'Oscar du meilleur film étranger.
} 						% Présentation auteur
{1}		% Ratio portrait
{0.7}		% Ratio Image
{
\item Calculer les termes d'une suite générée par récurrence.
\item Construire et exploiter la représentation graphique d'une suite définie par récurrence
\item Algorithme
}

\TITRE{elli.eps}{0.6} 						% Image 1ere page + ratio
 
 %\newpage
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Les suites numériques sont présentes dans bien des 
sciences. Par exemple, on les utilise en biologie
des populations pour décrire le cycle de reproduction des lapins, 
en astronomie dans les lois de répartition des planètes, 
en physique dans la théorie des particules élémentaires, 
en informatique dans les algorithmes et simulations (et via les ordinateurs, dans toutes nos activités numériques). 
Mais cette omniprésence n'est pas un hasard, car tous ces domaines se servent d'équations 
mathématiques. Or les suites occupent une place de choix en mathématiques depuis plus de 2000 ans.\\
Pourquoi un tel intêret, alors qu'il s'agit simplement de ranger une succession infifnie 
de nombres, liés par une loi, comme quand on énumère les jours ? 
Parce que cette simplicité n'est qu'apparente : l'étrange n'est jamais loin.\\

Prenons par exemple la suite des \og puissances de un demi \fg
$\left(u_n\right)_{n\geq 0} : \left(1 ~;~ \dfrac12 ~;~ \dfrac14 ~;~ \dfrac18 ~;~ \dfrac1{16} ~;~ 
\dots ~;~ \left(\dfrac1{2}\right)^n ~;~ \dots \right)$ et la série associée 
$S=1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac1{16} + \dots + \left(\dfrac1{2}\right)^n + \dots$ \\
Si ces nombres
représentaient des tiges en bois mesurant chacune la moitié de la précédente (en commençant par 1 mètre), n'est-ce
pas étonnant que la longueur maximale qu'on puisse atteindre en les mettant bout à bout ne dépasse pas 2 mètres,
même avec une infinité de tiges ? Cela a stupéfait les savants qui l'ont découvert au $XVIII^e$ siècle.
Comment admettre que l'infini (le nombre de tiges) puisse être contenu dans le fini (2 mètres) ?
Il s'en est suivi de violentes disputes entre les pro-infini et les contre, qui n'ont fait que s'amplifier
jusqu'au $XX^e$ siècle. Bref, ce sont les suites qui ont introduit l'infini dans l'arithmétique et l'analyse ...\\

Mais si le $XVIII^e$ siècle est un tournant dans l'histoire des suites et de l'infini, leur origine remonte à Archimède
de Syracuse, le mathématicien grec du $III^e$ siècle avant JC. Archimède voulait résoudre une question qui n'avait rien
à voir avec l'infini, le problème de la quadrature du cercle, grande énigme des maths anciennes  : étant donné un cercle,
comment construire une figure de même surface mais composée de carrés ou de triangles (figures que les Grecs savaient 
bien mesurer). Tel était le but d'Archimède ... Au lieu de répondre à son problème, il a découvert les suites et, sans le savoir,
il a mis les mathématiciens sur la voie de l'infini.\\
Comment cela s'est-il produit ? Archimède pensait que la bonne méthode pour \og quarrer \fg le cercle était 
de l'encadrer entre deux figures faites de triangles, puis de faire converger la taille de ces triangles jusqu'à
les faire coïncider (comme si l'on cherchait à emprisonner un objet entre des murs qui se rapprochent). Archimède
choisit comme figures connues et quarrables pour coïncer le cercle, les polygones réguliers, faits de triangles
disposés en pétales de fleur, en commençant par l'hexagone (six côtés, six triangles équilatéraux) : il encadre le cercle
entre l'hexagone inscrit et l'hexagone circonscrit. Ensuite, il passe au dodécagone (12 côtés), puis  il enchaîne
sur le polygone à 24 côtés, puis 48 et enfin 96. A chaque pas, les mesures se rapprochent, mais jamais elles
ne s'égalent ... Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres 
connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\\
Las, Archimède ne résoudra jamais le problème de la quadrature du cercle, et pour cause. Les mathématiciens
du $XIX^e$ siècle démontreront qu'il n'a pas de solution, d'où l'expression \og C'est la quadrature du cercle ! \fg.
Mais Archimède a bel et bien inauguré l'histoire des suites, car dans sa méthode, il montre comment calculer
la surface du polygone $n$ en fonction de celui qui précède (le $n-1^{eme}$). 
Le terme $u_n$ défini par le terme $u_{n-1}$, c'est bien là une suite, la première du genre, et qui peut être
prolongée autant que l'on veut ... jusque dans l'infini.\\

Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée 
par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite 
par une même lettre affectée d'un indice. \newline
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.
}
\end{Intro}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune




\section{Suite Arithmétique}

\subsection{Découverte des suites arithmétiques au travers d'un exemple}

\begin{act}
Dans le pays des merveilles d'Alice, le lapin blanc, depuis le temps, a fait des enfants (enfin des adolescents plutôt...). Du plus vieux au plus jeune : le lapin bleu, le lapin rouge, le lapin vert et le lapin noir. A l'adolescence chacun des 4 lapins a réclamé de l'argent de poche. Noter que les lapins du pays des merveilles sont adolescents de $0$ à $4$ ans, ils deviennent enfants par la suite et n'ont jamais été adultes.\\
Le lapin blanc a décidé de donner au lapin bleu dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de plus que la semaine précédente.
\end{itemize} 
\textit{On admet qu'au pays des merveilles chaque année est constituée d'exactement $52$ semaines et chaque 
mois de $4$ semaines. %Remarquons que les lapins du pays des merveilles ont un treizième mois...
}
\\
On note $u_0=3$ et $u_n$ le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ ; calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$. Combien de carottes le lapin bleu a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin bleu au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=u_0+u_1+\dots+u_{207}=\sum_{i=0}^{i=207}u_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin bleu (fort économe) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin bleu.
\item Grand amateur de montre, le lapin bleu décide de troquer ses carottes contre des montres au cours suivant, $1$ montre contre $540$ carottes.
Déterminer le nombre de montres que le lapin bleu a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}  
\end{act}


\subsection{Définition}

\begin{defi}
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant la même constante appelée raison.\\
Si on note $u$ une suite arithmétique de raison $r$ définie pour tout entier $n$ on a donc, pour tout entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=u_n+r$$
\end{defi}

\Expl{La suite des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2}

\Rq{Si $u$ est suite arithmétique de raison $r$ alors pour tout $n$ on a :
$$ u_{n+1}=u_n+r\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n=r$$
Si la raison $r>0$ alors la suite arithmétique est strictement croissante, au contraire si $r<0$ la suite arithmétique est strictement décroissante. Dans le cas où $r=0$ il s'agit d'une suite constante.
}

\begin{ExoC}
Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Dans le cas d'une réponse positive préciser leur raison et leur sens de variation.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3n-2$
\item $u_n=n^2-3$
\item $u_n=-4n+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoC}

\begin{ExoF}
 Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in N$, $u_n=7-4n$ ;
\item Pour tout $n\in N$, $v_n=n^2-1$ ;
\item Pour tout $n\in N$, $w_n=(n+1)^2-n^2$ ;
\item Pour tout $n\in N$, $t_n=5n+1 $ ;
\item Pour tout $n\in N$, $s_n=\dfrac{n}{n+1}$ ;
%\item Pour tout $n\in N$, $k_n=\dfrac{4n^2-1}{2n+1}$ ;
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\subsection{Expression explicite en fonction de $n$}
On considère une suite arithmétique $u$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$, on a alors :
\begin{eqnarray*}
& & u_1=u_0+r\\
& \Longrightarrow & u_2=u_1+r=u_0+2r\\
& \Longrightarrow & u_3=u_2+r=u_0+3r\\
& \Longrightarrow & u_4=u_3+r =u_0+3r+r=u_0+4r\\
& \Longrightarrow & \dots\dots\dots\\
&\Longrightarrow & u_n=u_{n-1}+r=u_0+(n-1)r+r=u_0+nr
\end{eqnarray*}

\begin{prop}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors $$u_n=u_0+nr$$
\end{prop}

\Expl{$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$. \newline
Calculer $u_{2015}$
}

\begin{theo}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors pour tous $p$ et $n$ de $\N$  :
$$ u_n=u_p+(n-p)r$$
\end{theo}

\Dem{D'après la propriété précédente on a pour tous $p$ et $n$ de $\N$ :
$$ u_p=u_0+pr \qquad \text{ et }\qquad u_n=u_0+nr$$
Par conséquent $$ u_n-u_p=u_0+nr-u_0-pr=(n-p)r\Longleftrightarrow u_n=u_p+(n-p)r$$
}

\Expl{Considérons une suite arithmétique $(v_n)$ telle que $v_{27}=6$ et $v_{39}=10$\newline
Calculer $v_7$ et $v_{74}$
}

\begin{theo}
On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=an+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels. \newline
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $a$ 
\end{theo}

\Dem{Soit $n\in\N$, on a alors :
$$ u_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-an-b=a$$
}

\subsection{Somme de termes successifs}

\Rq{Soit $(u_n)$ une suite. La somme $u_1+u_2$ comporte deux termes, de même la somme $u_1+u_2+u_3$ en comporte $3$. De manière générale la somme $u_1+u_2+\dots u_p$ comporte $p$ termes. \newline
Combien en comporte la somme :$u_{14}+u_{15}+\dots +u_{25}$ ? On peut remarquer que cette somme s'écrit encore :
$$ u_{1+13}+u_{2+13}+\dots +u_{13+12} $$
Par conséquent elle comporte $12$ termes, i.e $25-14+1$ termes.
}  

\begin{prop}
La somme $u_p+u_{p+1}+\dots+u_q$ comporte donc $q-p+1$ termes ($p$ et $q$ sont des nombres entiers 
tels que : $p<q$)
\end{prop}

\begin{prop}[Somme des $n$ premiers entiers]
$$ 1+2+\dots+n-1+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$
\end{prop}

\Dem{Notons $S=1+2+\dots+n-1+n$, on a $2S=1+2+\dots+n+1+2+\dots+n=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\dots 
+(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)=n(n+1)$ donc $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$
}

\Expl{La somme des $100$ premiers entiers est donc :
$$ \dfrac{100\times 101}{2}=\dfrac{10100}{2}=5050$$
}


\begin{theo}
On considère une suite arithmétique $u$ et $S$ la somme des termes successifs (à partir de celui de 
rang $p$ jusqu'à celui de rang $n$) que l'on note :
$$ S=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=\sum_{i=p}^{i=n}u_i$$
On a alors :
$$S=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_d)}{2} $$
\end{theo}

\Dem{On a : $$ S=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}\dots+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n$$
En notant $r$ la raison on obtient :
$$ S=u_p+(u_p+r)+(u_p+2r)+\dots + (u_n-2r)+(u_n-r)+u_n$$
En inversant l'ordre des termes de cette somme, $S$ s'écrit aussi :
$$ S=u_n+(u_n-r)+(u_n-2r)+\dots+(u_p+2r)+(u_p+r)+u_p$$
Effectuons alors la somme, membre à membre terme à terme, des deux égalités précédentes :
$$ 2S=(u_p+u_n)+(u_p+r+u_n-r)+(u_p+2r+u_n-2r)+\dots+(u_n-2r+u_p+2r)+(u_n-r+u_p+r)+(u_n+u_p)$$
Cette somme comporte $n-p+1$ termes tous égaux à $u_p+u_n$, par conséquent :
$$ 2S=(n-p+1)(u_p+u_n)\Longleftrightarrow S=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2} $$
}

\Expls{
\begin{enumerate}
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers impairs.
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers pairs en partant de $12$
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\begin{ExoF}
 Calculer la somme $ A=100+103+106+\dots+\dots +400$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une entreprise parisienne doit envoyer un certain nombre de colis en province. Un transporteur propose les conditions suivantes :
%\begin{itemize}
\\$98$ \euro pour le premier colis et une réduction de 3 \euro pour chaque colis supplémentaire.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Combien coûte l'envoi de $10$ colis ?
\item Le budget transport de l'entreprise est de $50000$ \euro. Combien de colis l'entreprise peut-elle envoyer ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
En reprenant le contexte de l'activité introductive. Le lapin blanc décide pour son second, le lapin rouge de donner dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $417$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de moins que la semaine précédente.
\end{itemize} 
On note $v$ la suite telle que $v_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $v_1=417$ et que $v_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $v_n$ est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son sens de variation.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\begin{enumerate}
\item Jusqu'à quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin rouge au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=v_1+v_2+\dots+v_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}v_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin rouge (fort économe comme son frère) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin rouge.
\item Grand amateur de montre, le lapin rouge décide de troquer ses carottes contre des montres mais l'inflation existe au pays des merveilles. Il faut $10\%$ de carottes supplémentaires pour obtenir une montre qu'au temps du lapin bleu. 
Le lapin rouge est-il perdant par rapport à son frère ?
\end{enumerate}
\item Le lapin blanc constatant l'injustice subit par le lapin rouge décide d'utiliser une autre méthode pour les \og carottes de poches \fg{} du lapin suivant, le lapin vert. Il le rémunère de sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $1$ carotte la première semaine ;
\item Chaque semaine trois carottes de plus que la semaine précédente ;
\item $100$ carottes les $6$ derniers mois.
\end{itemize} 
On note $w$ la suite telle que $w_0=1$ et $w_n$ désigne le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item La suite $w$ est-elle arithmétique ?
\item Plus précisément déterminer le rang jusqu'au quel $w$ se comporte comme une suite arithmétique.
\item Identique à ses frères le lapin rouge économise dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes par semaine. Mais durant les $6$ derniers mois il mange un peu de ses économies de manière à manger $300$ carottes exactement par semaine. Sachant que le cours de la carotte a encore augmenté de $50\%$ déterminer le nombre de montre que le lapin rouge possèdera au moment de devenir enfant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Déterminer la limite de la suite $u$, lorsque :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0=-2$ et $r=-3$ ;
\item $u_0=2$ et $r=-3$ ;
\item $u_0=-3$ et $r=2$ ;
\item $u_0=3$ et $r=2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\pagebreak
\section{Suite Géométrique}

\subsection{Découverte des suites géométriques au travers d'un exemple}

\begin{act}
Vient le tour du derrnier né du lapin blanc, le lapin noir. Détestant les habitudes le lapin blanc modifie une nouvelle fois le système des \og carottes de poches \fg{} et le lapin noir se voit proposer le système suivant :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine $3,5\%$ de carottes en plus de la semaine précédente (le lapin blanc donnera s'il le faut des morceaux de carottes...)
\end{itemize} 
On note $t$ la suite telle que $t_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $t_1=3$ et que $t_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Calculer $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$ puis exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$. Combien de carottes le lapin noir a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $t_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin noir le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin noir peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin noir au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=t_1+t_2+\dots+t_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}t_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin noir (comme les autres) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin noir.
\item Par rapport au lapin précédent, le cours de la carotte a encore augmenté de $10\%$.
Déterminer le nombre de montres que le lapin noir a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}  
\end{act}



\subsection{Définition}
\begin{defi}
Une suite  \underline{g\'eom\'etrique} est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un coefficient constant appelé raison. Ainsi, une suite géométrique $u$ de raison $q$ et de premier terme $a$ a la forme suivant :
$$ a\quad aq\qquad aq^2\qquad aq^3\qquad aq^4$$
La définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, c'est-à-dire que pour chaque entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=q\times u_n$$
\end{defi}

\Expl{La suite des puissances de $2$ est une suite géométrique de raison $2$ : $u_{n+1}=2\times u_n$\\
Donner les premiers termes de la suite géométrique de premier terme $2$ et de raison $0,5$.}


\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2}{3^n}$ est géométrique
\item La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=6$ et $v_{n+1}=3v_n+4$ pour tout $n\in\N$.\newline
On note $$w_n=v_n+2$$
Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique.
\end{enumerate} 
\end{ExoC}



\begin{ExoC}
Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in\N$ par $u_n=2\times (-1)^n$ est géométrique. 
On précisera sa raison.
\end{ExoC}


\begin{ExoF}
 Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in N$, $u_n=-\dfrac{2}{5^n}$ ;
\item Pour tout $n\in N$, $v_n=\dfrac{2^{2n}}{3^{3n}}$ ;
%\item Pour tout $n\in N$, $w_{n+1}=-w_n+3$  et $w_0=-4$;
\item Pour tout $n\in N$, $t_n=5^{2n+3}$ ;
\item Pour tout $n\in N$, $s_n=\dfrac{3n+2}{n+1}$ ;
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\subsection{Expression explicite en fonction de $n$}

\begin{theo}
On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=aq^n$ où $a$ et $q$ sont deux réels non nuls. \newline
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$
\end{theo}

\Dem{Pour tout $n\in\N$ on a $u_{n+1}=aq^{n+1}=aq^n\times q=q u_n $. Par conséquent la suite est 

géométrique de raison $q$}

\begin{theo}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et de premier terme $u_0$ alors 
$$u_n=u_0 \times q^n$$
\end{theo}

\Dem{On peut raisonner de proche en proche. On a :
\begin{eqnarray*}
&& u_1=u_0q\\
&& u_2=u_1q=u_0q^2\\
&& u_3=u_2q=u_0q^3\\
&& \dots \\
&& u_{n-1}=u_{n-2}q=u_0q^{n-2}\\
&& u_n=u_{n-1}q=u_0q^{n-1}\\
\end{eqnarray*}
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$. On a alors :
$$ u_n=2 \times 3^n$$
On peut, par exemple calculer directement $u_5=2\times 3^5=2\times 243=486$
}




\begin{theo}
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 0$ alors quels que soient les entiers naturels 
$n$ et $p$ on a :
$$u_n=q^{n-p}\times u_p$$ 
\end{theo}

\Dem{D'après le théorème précédent, on a :
$$ u_n=u_0q^n \qquad \text{ et }\qquad u_p=u_0q^p$$
donc, puisque $q\neq 0$, $u_0= \dfrac{u_p}{q^p}$ ; d'où $u_n=\dfrac{u_p}{q^p}q^n=u_p\times q^{n-p}$ 
}

\begin{ExoC}
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites géométriques. Déterminer $u_5$, $u_8$, $v_7$ et $v_{15}$ sachant que :
\begin{enumerate}
\item $u_0=6$ et $q=-\dfrac{1}{3}$
\item $v_5=1$ et $v_{10}=32$
\end{enumerate}
\end{ExoC}



\subsection{Somme de termes successifs}

On s'interesse à la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q$, avec $q\neq 1$
\begin{prop}[Cas particulier $u_n=q^n$, avec $q\neq 1$]
$$ 1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$
\end{prop}

\Dem{Notons $S=1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}$, on a $qS=q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}+q^n$\newline
Par conséquent  $$(1-q)S=S-qS=1-q^n\Longleftrightarrow S=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$
}


\Expl{La somme des $10$ premiers termes de cette suite géométrique lorsque $q=2$ est donc :
$$ \dfrac{1-2^{10}}{1-2}=1023$$
}

\begin{theo}
La somme des termes consécutifs, du terme de rang $p$ au terme de rang $n$, d'une suite géométrique 
de raison $q$ ($q\neq 1$) est égale à : 
$$ u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p \dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$$ 
\end{theo}

\Dem{On calcule donc $S$, la somme des $n-p+1$ termes consécutifs, de premier terme $u_p$, d'une suite géométrique de raison $q$ où $q\neq 1$
$$ S=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p+u_p\times q+u_p\times q^2+\dots +u_p\times q^{n-p+1-1}
=u_p(1+q+q^2+\dots+q^{n-p+1-1})=u_p \dfrac{1-q^{n-p}}{1-q}$$
}

\Rq{Le cas $q=1$ est trivial, en notant le premier terme de la somme $a$ :
$$a+aq+aq^2+\dots +aq^{n-1}=a+a+\dots+a=na$$
}

\Expl{
 Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=\dfrac{3}{2}$. 
 Calculer $S=u_4+u_5+\dots+u_{14}$
 }

\begin{ExoF}
 Calculer la somme $ B=21+63+189+\dots+137781$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bails. \\
\underline{1$^\text{er}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de 
$5\euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.
\\
\underline{2$^\text{ème}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu'à la fin du bail\footnote{Un bail est un contrat de location}.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, i.e le loyer du $36^\text{ème}$ mois.
\item Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? (\textit{Justifier par des calculs})
\end{enumerate} 
\end{ExoF}
    
     

\begin{ExoF}
     On considère la suite géométrique définie de la façon suivante :
$$ u_1=1\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2u_n\qquad \forall n\geq 1$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ ; $u_3$ ; $u_4$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ ; en déduire $u_{64}$.
\item \textbf{La légende du jeu d'échec} :\textit{ Le roi demanda à l'inventeur du jeu d'échec de choisir lui-même sa récompense. Celui-ci répondit : \og place 1 grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la deuxième case, quatre sur la troisième case, et ainsi de suite jusqu'à la $64^\text{ième}$ case. Le roi sourit de la modestie de la demande.}
\\
Calculer une valeur approchée du nombre total de grains de blé que le roi devra placer sur l'échiquier.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosphère du carbone $14$, qui est un élément radioactif. Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone $14$ que l'atmosphère. Cette proportion de carbone $14$ décroît après la mort du tissu de $1,24\%$ en $100$ ans.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $1000$ ans, de $2000$ ans et de $10000$ ans.
\item Exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $k\times 10^3$ années.
\item Un fossile ne contient plus que $10\%$ de ce qu'il devrait contenir en carbone $14$. Estimer  son âge.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsection{Convergence}
\begin{theo}Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in ]-1;1[$ la suite $(u_n)$ est convergente vers $0$
\item Si $q=1$ alors la suite $(u_n)$ est constante et donc convergente vers $1$, si $q=-1$ la suite diverge (elle vaut tantôt $1$ tantôt $-1$).
\item Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est divergente (vers $+\infty$), enfin si $q<-1$ la suite diverge (un terme sur deux est négatif, l'autre est positif).
\end{itemize}
\end{theo}

Pour cette démonstration, nous n'étudierons que le cas où $q>0$, nous allons utiliser le résultat suivant \footnote{un résultat servant une démonstration est usuellement appelé Lemme}

\begin{lem}[Inégalité de Bernoulli]Pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :
$$(1+x)^n\geq 1+nx$$\end{lem}

\Dem[du lemme]{Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline
$\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline
Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline
On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline
On a alors, pour tout $x\geq0$ :
\begin{eqnarray*}
&& (1+x)^n\geq 1+nx \\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\
\end{eqnarray*}
Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$}

\Rq{Le type de raisonnement que l'on vient d'effectuer s'appelle le \underline{raisonnement par récurrence}, il sera étudié amplement en terminale.}

\Dem[du théorème]{
\begin{itemize}
\item $q>1$\newline
Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli :
$$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$
Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$
La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$
\item $q\in [0;1[$\newline
Si $q=0$ le résultat est évident, sinon posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline
D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$
Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$
La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$
\item $q=1$, le résultat est alors évident.
\end{itemize}
}

\begin{ExoC}
$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. On note $s_n$ la somme $u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $s_n$ en fonction de $n$
\item Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}s_n$
\end{enumerate} 
\end{ExoC}

\begin{ExoF}
 Soit $v$ une suite arithmétique de premier terme $v_0$ et de raison $q$. Dans chaque cas, préciser 
si la suite $v$ admet une limite. Si oui, la déterminer.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $v_0=2$ et $q=3$ ;
\item $v_0=2$ et $q=-3$ ;
\item $v_0=-2$ et $q=0.5$ ;
\item $v_0=3$ et $q=-\dfrac{5}{7}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

%\Exoi{Premières étapes de la construction du triangle de Sierpinski :
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{Sierpinski.eps}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item On note $u$ la suite qui donne le nombre de triangle noir à l'étape $n$. Quelle est la nature de $u$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\item On note $v$ la suite qui donne la longueur d'un côté du triangle noir à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $v$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\item On note $w$ la suite qui donne l'aire d'un triangle noir à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $w$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\item On note $t$ la suite qui donne l'aire du domaine couvert par les triangles noirs à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $t$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\end{enumerate}
%}


\begin{ExoF}
 Soit $u$ la suite arithmétique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=-10$. Soit $v$ la suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=-2$ et enfin $w$ la suite géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $w_0=5$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation des suites $u$, $v$ et $w$.
\item Déterminer les limites des suites, $u$, $v$ et $w$.
\item Déterminer le rang à partir duquel :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n\geq 10^6$ ;
\item $v_n\leq -10^6 $ ;
\item $|w_n|\leq 10^{-6}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On considère la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :
\quad $ u_{n+1}=\dfrac{5u_n}{2u_n+5}$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les $7$ premiers termes de la suite $u$ .
\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le signe de $u_n$, le sens de variation et la convergence de $u$ ?
\item Calculer les $7$ premiers termes de la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite $v$ ?
\end{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $v$ est une suite arithmétique. On donnera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Etudier le comportement à l'infini de la suite $v$, puis celui de la suite $u$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On partage un carré de côté $1$ en quatre carrés de même taille et on noircit le carré inférieur gauche. 
 On applique le même procédé au carré en haut à droite. Et ainsi de suite. 
 Quelle sera l'aire de la partie noire lorsqu'on poursuit indéfiniment la construction ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Soit la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_0=1000$ et $v_{n+1}=1,005\times v_n+30$\\
\begin{minipage}{10cm}
 On considère l'algorithme  ci-contre.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Faire fonctionner l'algorithme pour $n=4$. Obtient-on $v_4$ ?
\item Transformer l'algorithme de façon à obtenir $v_n$ en fonction de $n$
\item Programmer cet algorithme et déterminer $v_{60}$
\end{enumerate}
\item On considère la suite $u$ définie par $u_n=v_n+6000$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $u$ est géométrique. 
\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier le résultat 
de la question précédente.
\end{enumerate} 
\item On place $1000$ \euro sur un livret qui rapporte $0,5\%$ par mois, à la fin de chaque mois, 
on y verse, en plus, la somme de $30$\euro.
\end{enumerate} 
\end{minipage} \quad
 \begin{minipage}{9cm}
\Algo{9cm}{
\Var{ 
 $S \in \R$ ;  $n$ et $k$ sont des nombres entiers naturels.
}
\Deb{Saisir $n$\\
$S:=1000$ et $k:=0$\\
  \While{$k<n$}
{$k:=k+1$ et $S:=1,005\times S$}
Afficher $S$.
}
}
 \end{minipage}
   Ce livret est bloqué pour $5$ ans, ce qui signifie que, sur cette 
période, il est impossible de retirer de l'argent.
Donner la somme présente sur ce livret au terme du contrat.
\end{ExoF}

\newpage
\section*{Des exercices donnés en devoir}

\Exop[2 points]{
Calculer les sommes suivantes : \quad 
$S_1=1+2+3+\dots + 2014+2015 \qquad \qquad \qquad \qquad 
S_2=6+18+54+\dots +354\,294$\\
\textit{On prendra soin de rédiger la réponse clairement. 
Notamment, pour $S_2$, on justifiera la formule utilisée en précisant la suite considérée ainsi que sa nature.}
}


\Exop[6 points]{
On souhaite construire un château de cartes à $n$ niveaux ($n\geq 1$). 
On a représenté ci-dessous un château à quatre niveaux. 
On appelle $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite dont chaque terme $u_n$ est égal au 
nombre de cartes du niveau $n$ en partant d'en haut. Ainsi $u_1=2$ et $u_2=5$.
}
\begin{minipage}{13.8cm}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $u_3$ et $u_4$ grâce au dessin.
 \item Donner la nature de la suite $(u_n)$ ainsi que ses éléments caractéristiques \textit{(inutile de justifier)}.\\
\textbf{A partir de maintenant, toutes les réponses doivent être justifiées par  des formules du cours et des calculs.}
% \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
 \item \begin{enumerate}
        \item Combien de niveaux aura un château dont la dernière rangée est composée de $23$ cartes ? 
 \item En déduire le nombre de cartes d'un tel château. 
        \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
       \item Exprimer le nombre $S$ de cartes d'un château à $n$ niveaux en fonction de $n$.\\
\textit{On prendra soin à n'avoir plus que la lettre $n$ dans l'expression de $S$.}
 \item Quelle est le nombre de niveaux du plus grand château que l'on peut fa\-briquer si l'on dispose de $500$ cartes ?
 \item Quelle sera alors le nombre de cartes de la rangée du bas ?
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{4cm}
 \includegraphics[scale=0.65]{chateau_carte.eps}
\end{minipage}




\Exop[2 points]{
La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{20}=10$ et $u_{34}=-18$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la raison $r$ et $u_0$.
 \item Calculer la somme $S=u_{50}+u_{51}+ \dots + u_{100}$
\end{enumerate}
}



\Exop[5 points]{
Un capital $C_0=10\,000 \euro$ est placé sur un compte coûtant $20 \euro$ par an pour frais de gestion, puis
rapportant $4\%$ à la fin de chaque année. On nomme $C_n$ le montant disponible sur le compte à la fin de la $n^{eme}$ année, 
après le versement des intérêts.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer $C_1$ puis $C_2$.
 \item Justifier que pour tout $n\geq 0$ on a $C_{n+1}=1.04C_n - 20.8$
       \end{enumerate}
 \item On pose $u_n=C_n-520$ pour tout $n\geq 0$.
 \begin{enumerate}
        \item Pour tout $n\geq 0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
 \item En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et donner ses éléments caractéristiques.
 \item Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$, puis $C_n$ en fonction de $n$.
       \end{enumerate}
\item Afficher sur votre calculatrice les premiers termes de la suite $(C_n)$ et en déduire au bout de combien
d'années le capital aura au moins doublé.
\end{enumerate}
}


\epigraphe{La vie est faite de hasard contraire au destinée.}{Johan Sfar}{Issu du film \og Gainsbourg, vie héroïque \fg} 


\end{document}