\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{De la suite dans les id\'ees}
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\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{separation.eps}{Ashgar Farhadi}{Une séparation}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{Asghar Farhadi a fait ses études de théâtre, avec un diplôme du 1er cycle en arts dramatiques et une maîtrise de mise en scène théâtrale à l’Université de Téhéran et l’Université Tarbiat Modarres. Farhadi a tourné des courts métrages de 8 mm et 16 mm au Département de la société du cinéma de jeunesse d’Ispahan avant d’entamer l’écriture des pièces de théâtre et des scénarios pour la télévision iranienne, IRIB. Danse dans la poussière est son premier film réalisé, suivi par le film acclamé par les critiques, Les enfants de Belle Ville. Son troisième film, La Fête du feu obtient le Hugo d'or au Festival international du film de Chicago en 2006.
À propos d'Elly, pour lequel il reçoit l’Ours d'argent du meilleur réalisateur à Berlin en 2009, prend pour sujet le voyage d’un groupe d’Iraniens au bord de la mer Caspienne tournant à la catastrophe. En 2011, Farhadi revient à la Berlinale pour y présenter Une séparation. Le film gagne l'Ours d'or et les Prix d'interprétation féminine et masculine pour l'ensemble de la distribution. Puis il reçoit, en 2012, le Golden Globe, le César et l'Oscar du meilleur film étranger.
} 						% Présentation auteur
{1}		% Ratio portrait
{0.7}		% Ratio Image
{
\item Calculer les termes d'une suite générée par récurrence.
\item Construire et exploiter la représentation graphique d'une suite définie par récurrence
\item Algorithme
}

\TITRE{elli.eps}{0.6} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Vous allez dans ce chapitre, découvrir les suites, qui sont présentes dans bien des sciences, par exemple en biologie
des populations pour décrire le cycle de reproduction des lapins, en astronomie dans les loirs de répartition
des planètes, en physique dans la théorie des particules élémentaires, en informatique dans les algorithmes
et simulations (et via les ordinateurs, dans toutes nos activités numériques). Mais cette omniprésence n'est pas
un hasard, car tous ces domaines se servent d'équations mathématiques. Or les suites occupent une place de choix
en mathématiques depuis plus de 2000 ans.\\

Pourquoi un tel intêret, alors qu'il s'agit simplement de ranger une succession de nombres liés par un loi, comme
quand on énumère les jours du mois ? Parce que cette simplicité n'est qu'apparente : l'étrange n'est jamais loin.\\
Prenons par exemple la suite des \og puissances de un demi \fg : $1 ; \dfrac12 ; \dfrac14 ; \dfrac18 ; \dfrac1{16} ; \dots ; \dfrac1{2n} ; \dots$
et la série associée $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac1{16} + \dots + \dfrac1{2n} + \dots$ Si ces nombres
représentaient des tiges en bois mesurant chacune la moitié de la précédente (en commençant par 1 mètre), n'est-ce
pas étonnant que la longueur maximale qu'on puisse atteindre en les mettant bout à bout ne dépasse pas 2 mètres,
même avec une infinité de tiges ? Cela a stupéfait les savants qui l'ont découvert au $XVIII^e$ siècle.
Comment admettre que l'infini (le nombre de tiges) puisse être contenu dans le fini (2 mètres) ?
Il s'en est suivi de violentes disputes entre les pro-infini et les contre, qui n'ont fait que s'amplifier
jusqu'au $XX^e$ siècle. Bref, ce sont les suites qui ont introduit l'infini dans l'arithmétique et l'analyse ...\\

Mais si le $XVIII^e$ siècle est un tournant dans l'histoire des suites et de l'infini, leur origine remonte à Archimède
de Syracuse, le mathématicien grec du $III^e$ siècle avant JC. Archimède voulait résoudre une question qui n'avait rien
à voir avec l'infini, le problème de la quadrature du cercle, grande énigme des maths anciennes  : étant donné un cercle,
comment construire une figure de même surface mais composée de carrés ou de triangles (figures que les Grecs savaient 
bien mesurer). Tel était le but d'Archimède ... Mais à la place, il a découvert les suites et, sans le savoir,
il a mis les mathématiciens sur la voie de l'infini.\\
Comment cela s'est-il produit ? Archimède pensait que la bonne méthode pour \og quarrer \fg le cercle était 
de l'encadrer entre deux figures faites de triangles, puis de faire converger la taille de ces triangles jusqu'à
les faire coïncider (comme si l'on cherchait à emprisonner un objet entre des murs qui se rapprochent). Archimède
choisit comme figures connues et quarrables pour coïncer le cercle, les polygones réguliers, faits de triangles
disposés en pétales de fleur, en commençant par l'hexagone (six côtés, six triangles équilatéraux) : il encadre le cercle
entre l'hexagone inscrit et l'hexagone circonscrit. Ensuite, il passe au dodécagone (12 côtés), puis  il enchaîne
sur le polygone à 24 côtés, puis 48 et enfin 96. A chaque pas, les mesures se rapprochent, mais jamais elles
ne s'égalent ... Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres 
connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\\
Las, Archimède ne résoudra jamais le problème de la quadrature du cercle, et pour cause. Les mathématiciens
du $XIX^e$ siècle démontreront qu'il n'a pas de solution, d'où l'expression \og C'est la quadrature du cercle ! \fg.
Mais Archimède a bel et bien inauguré l'histoire des suites, car dans sa méthode, il montre comment calculer
la surface du polygone $n$ en fonction de celui qui précède (le $n-1^{eme}$). 
Le terme $u_n$ défini par le terme $u_{n-1}$, c'est bien là une suite, la première du genre, et qui peut être
prolongée autant que l'on veut ... jusque dans l'infini.\\

Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée 
par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite 
par une même lettre affectée d'un indice. \newline
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.
}
\end{Intro}

\pagebreak

\section{Introduction}
\subsection{Définition et exemples}
Il arrive que l'on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compl\'eter "logiquement" une suite de nombres, comme par exemple:
$$-1  ,  -4  ,  -7 ,  -10  ,  -13  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
A chaque fois pour passer d'un terme au suivant on ajoute $-3$, ce type de suite est appelé suite arithmétique.

$$1  ,  2  ,  4 ,  8  ,  16  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
A chaque fois pour passer d'un terme au suivant on multiplie par $2$, ce type de suite est appelé suite géométrique.

$$0  ,  1  ,  3  ,  7  ,  15  , 31,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$

A chaque fois pour passer d'un terme au suivant on le multiplie par $2$ puis on ajoute $1$.
$$ \text{suite de Fibonacci}  \qquad 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
On additionne deux termes successifs pour obtenir le suivant.

$$ \text{suite de Stern} \qquad 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4,  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$

\noindent\begin{defi}
En math\'ematiques, une \textbf{suite} $u$ est une \textbf{liste infinie et ordonn\'ee de nombres
r\'eels}: les \'el\'ements de cette liste :
\begin{itemize}
 \item Sont appel\'es \textbf{termes}
 \item Sont rep\'er\'es par leur numéro/position/indice/rang dans la liste
\end{itemize}
\end{defi}



\begin{center}
Le $1^{er}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_0$ (ou $u_1$),\\
Le $2^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_1$ (ou $u_2$)\\ 
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
Le $n^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_{n-1}$ (ou $u_{n}$)\\ 
\end{center}

Le terme pr\'ec\`edent $u_n$ est $u_{n-1}$, le suivant $u_{n+1}$.

On note $u=(u_n)_{n \in \N}$  pour signifier que le rang d'un terme de la suite $u$ est un entier naturel (sans "fin" de liste). On a donc:

\begin{center}
$\overbrace{u}^{\text{nom de la suite}}=\quad(\overbrace{u_0}^{\text{1\up{er} terme}};\overbrace{u_1}^{\text{2\up{nd} terme}};\hspace{.5cm}u_2\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_{n-1}\hspace{.5cm};\overbrace{u_n}^{\text{terme de rang $n$}};\hspace{.5cm}u_{n+1}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm})$
\end{center}

\Expl{En reprenant les exemples précédents :
\begin{itemize}
\item Pour passer du terme de rang $n$ au terme de rang $n+1$ on ajoute $-3$,  on définit alors 
cette suite $u$ par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=-1 \\ u_{n+1}=u_n-3 \end{array} \right. \qquad \text{(formule par récurrence)}$$
Une autre manière de définir cette suite est de remarquer que le terme de rang $n$ s'obtient à partir du premier en ajoutant $n\times (-3)$ c'est-à-dire :
$$ u_n=-1-3n \qquad \text{(formule explicite)}$$
\item La deuxième suite est la suite des puissances de $2$, on définit alors cette suite $u$ par :
$$ u_n=2^n \qquad \text{(formule explicite)}$$
Une autre manière de définir cette suite est de remarquer que chaque terme est le double du précédent ; on peut alors définir cette suite par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=2\times u_n \end{array} \right. \qquad \text{(formule par récurrence)}$$
\item La troisième suite est la suite des puissances de $2$ auquel on a soustraie $1$ d'où :
$$u_n=2^n-1 \qquad \text{(formule explicite)}$$
Une autre manière de définir cette suite est de remarquer que chaque terme est le double du précédent auquel on a ajouté $1$ :
$$  \left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}= 2u_n +1\end{array} \right.\qquad \text{(formule par récurrence)}$$
\item La suite de Fibonacci se définit par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\u_1=1\\ u_{n+2}= u_n +u_{n+1} \end{array} \right. \qquad \text{(formule par récurrence)}$$
Par des calculs que je ne détaillerai pas ici, on peut montrer que pour tout $n\in\N$ on a 
$$u_n=\dfrac1{\sqrt{5}}\left(\Phi^n-\Phi^{-n}\right) \quad \text{ où } \Phi \text{ désigne le nombre d'or} \qquad \text{(formule explicite)}$$
\item Construction de la suite de Stern :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{stern.eps}
\end{center}
\end{itemize}
}
\newpage
 La suite s'obtient en lisant chaque ligne successivement de gauche à droite. Les 1 de la colonne de droite sont à identifier avec les 1 de la colonne de gauche et ne sont pas pris en compte dans la liste des éléments de la suite.
$$\left\{ \begin{array}{ll} u_0=0\\u_1=1\\ u_{2n}= u_n & \longleftarrow \text{termes de rang pair}
\\ u_{2n+1}=u_n+u_{n+1} & \longleftarrow \text{termes de rang impair}\end{array} \right. 
\qquad \text{(formule par récurrence)}$$




\Att{
Il ne faut pas confondre $u_{n+1}$ et $u_n+1$
}


\section{Définir une suite}


\begin{act}
Déterminer le rang à partir duquel la suite $u$ suivante peut être définie :
$$ u_n=\sqrt{n-4}$$
Vérifier que $u_{n+1}\neq u_n+1$ 
\end{act}

Lorsqu'on définit une suite de nombres on précise à partir de quel rang on commence à repérer 
les termes de la suite. Ainsi si on appelle $u$ la suite, 
le premier terme peut-être $u_0$ ou bien $u_1$ ou encore $u_8$, etc...Cela dépend du contexte.



\subsection{De façon explicite}


\begin{defi}[Formule explicite]
Soit $p\in\N$. Une suite $(u_n)_{n\geq p}$ est définie de manière \textbf{explicite} lorsqu'il existe 
une fonction $f$ définie sur $[p ; +\infty[$ telle que :
\begin{center}
$\forall n \geq p$, on a  $u_n=f(n)$
\end{center}
\end{defi}

\Expl{
On se donne $u_n=-2n+1$ pour $n \geqslant0$  \qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_0=-2 \times 0 +1 = 1$, $u_1=-2 \times 1 + 1 = -1$, $u_2 = -2\times 2 +1 = -3$, 
$u_3 = -6+1 = -5$, $u_4=-8 +1 = -7$, \dots $u_{100}=-199\dots$, etc
}

\Rqs{
\item On peut alors calculer chaque terme de la suite par rapport à son indice.
\item Pour le faire simplement à la calculatrice, il suffit alors de créer un tableau de valeurs de la fonction $f$
démarrant à $p$ et avec un pas de $1$.
}

\subsection{Par récurrence}


\begin{defi}[Par récurrence]
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $I$ telle que si $x\in I$ alors $f(x)\in I$.\\
Soit $a$ un nombre réel de $I$ et $p \in \N$.\\
On peut alors définir une suite $u$ \textbf{par récurrence} en posant :
$\left\{ \begin{array}{l} u_p=a \\ u_{n+1}=f(u_n)\quad  \forall n \geq p \end{array} \right.$
\end{defi}

\Expl{
On se donne $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=-2u_n+1 \end{array} \right.$
\qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_1=-2u_0+1=-2\times 1+1=-1$, $ u_2=-2u_1+1=-2\times(-1)+1=3$ , $u_3=-2u_2+1=-2\times 3+1=-5$,
etc
}

\Rqs{
\item En fait on se donne la valeur du premier terme et un procédé appelé 
\textbf{relation de récurrence} qui permet de calculer un terme à partir du précédent.
\item On visualise ainsi facilement le lien logique entre les termes.
\item Bien que nous avons choisit la même fonction $f$ et le même terme initial, on obtient deux suite totalement
différentes. Il ne faudra donc pas confondre $n$ et $u_n$ dans les expressions données !
\item Dans l'exemple pr\'ec\'edent, pour calculer $u_{100}$ avec cette écriture, 
il faut conna\^itre $u_{99}$, et pour calculer $u_{99}$, il faut conna\^itre $u_{98}$, ainsi de suite \dots 
Il est alors pr\'ef\'erable d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour calculer $u_{100}$ directement.
\item La calulatrice peut le faire plus vite que nous, mais il faut se mettre en mode \og Suite \fg
au lieu du mode \og Fonction \fg.\\
Voir les fiches jointes.}

\Cadre[Avec une Casio]{
On choisit le mode \textit{suite} en sélectionnant le menu \fbox{\textbf{\texttt{Recur}}}.\\
On choisit ensuite le type de suite (explicite ou récurrente) grâce à la touche \fbox{\textbf{F3 : \texttt{Type}}} 
puis la touche \fbox{\textbf{F1}} (explicite) ou \fbox{\textbf{F2}} (récurrente).\\
On entre ensuite l'expression de la suite et on appuie sur \fbox{\textbf{F5 : \texttt{SET}}} 
pour paramétrer le tableau, notamment donner le premier indice et/ou premier terme si nécessaire.\\
\textit{Le $n$ s'obtient avec la touche \fbox{\textbf{F1 : $n$}} et le $a_n$ s'obtient
avec la touche \fbox{\textbf{F2 : $a_n$}}}\\
On peut alors afficher les valeurs de la table grâce à \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}}
}

\newpage


\Expl{Soit la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=2 \\ v_{n+1}=2v_n+3n\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $v_1$, $v_{2}$ et $v_{3}$.
 \item Exprimer $v_{n}$, $v_{n-1}$, $v_{2n}$ et $v_{3n-1}$ en fonction du terme approprié de la 
 suite $(v_n)$.
  \item Calculer $v_{n+1}-v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
}

\Expl{Soit la suite $(u_n)_{\N}$ définie par $u_n= (-2)^n+3$ et la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=4 \\ v_{n+1}=-2v_n+9\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Pour chacune des suites $u$ et $v$ :
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les valeurs des trois premiers termes.
 \item Vérifier à la calculatrice les réponses de la question précédente.
\end{enumerate}
\item Quelle conjecture peut-on émettre sur les suites $u$ et $v$ ? Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}
}

\section{Représentation graphique}
\subsection{Suites explicites}
\begin{defi}
On se place dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$. 
On représente une suite définie explicitement $(u_n)$ est l'ensemble des points de 
coordonnées $(n;u_n)$.
\end{defi}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite définie, pour $n\geq 1$, par $$u_n=\dfrac{1}{n} $$
Sa représentation graphique est donc l'ensemble des points \textbf{isolés} de coordonnées $\left(1;1\right)$,
$\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$, $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$, $\left(4,\dfrac{1}{4}\right)$, 
$\left(5,\dfrac{1}{5}\right)$, etc$\dots$}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5.25} \def\ymin{-0.25} \def\ymax{1.2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,1) 
\psdot(2,0.5)
\psdot(3,0.33)
\psdot(4,0.25)
\psdot(5,0.2)    
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{Suites récurrentes}

\begin{act}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.\\
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=3$ et pour tout $n\geq 0$ on a $u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{u_n}$.\\
\partieBac{Tracer les premiers termes sur l'axe des abscisses}
\begin{enumerate}
 \item Tracer soigneusement la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ sur $[0;3]$ 
dans un repère orthonormé avec pour unité 5 cm.
\item \begin{enumerate}
 \item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses. Placer $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées.
\item Sachant que $u_2=f(u_1)$, proposer une méthode sans calculatrice pour construire $u_2$ sur l'axe des ordonnées. 
Le construire.
\end{enumerate}
\item Construire ainsi, pas à pas, sur l'axe des abscisses, les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$.
 \item Comment se poursuivrait le tracé si on pouvait agrandir le graphique ?\\
 Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(u_n)$.
%Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation de $(u_n)$ et sur sa limite éventuelle ?
\end{enumerate}
\partieBac{ Influence du premier terme}
\begin{enumerate}
 \item Changer de couleur et représenter les premiers termes de la suite $(v_n)$ définie par $v_0=0.1$ et 
pour tout $n$, $v_{n+1}=f(v_n)$ en suivant la même démarche.
\item Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(v_n)$.\\
\end{enumerate}
\end{act}


Dans le cas d'une suite récurrente, on ne cherche pas en général à représenter graphiquement la suite 
comme pour les suites explicites (mais on pourrait très bien le faire). \\
On préfère représenter ses premiers termes sur l'axe des abscisses en s'appuyant sur la représentation 
graphique de la fonction définissant la relation de récurrence. \\
On obtient alors un diagramme \og en escalier \fg ou en \og en escargot \fg. \\
%On peut alors faire des conjectures sur le sens de variation, etc.

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=2 \sqrt{u_n}+2$ et $u_0=1$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto 2 \sqrt{x}+2$. 
}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item On trace la courbe $\mathscr C_f$ représentative de $f$ 
 \item On place $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$, image de $u_0$ par $f$, sur l'axe des ordonnées
 \item Comme $u_2$ est l'image de $u_1$ par $f$, on veut avoir $u_1$ sur l'axe des abscisses.\\
Pour cela, on utilise la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, que l'on prendra soin de tracer.
\item On reporte alors $u_1$ sur l'axe des abscisses, à l'aide de $\Delta$
\item On place $u_2$ image de $u_1$ par $f$, puis on reporte $u_2$ sur l'axe des abscisses, etc.
\end{enumerate} 
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,4)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,0)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,7.25318)(7.25318,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,4){\small $u_1$}
\uput[-90](4,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,6){\small $u_2$}
\uput[-90](6,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,6.89897){\small $u_3$}
\uput[-90](6.89897,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,7.25318){\small $u_4$}
\uput[-90](7.25318,0){\small $u_4$}
\uput[ur](7.5,8){\small $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Rq{Dans l'exemple précédent, on constate que les termes de la suite semblent augmenter et se rapprocher
 d'une valeur \og limite \fg : celle de l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et de $\Delta$. \\
On dira que la suite est croissante et qu'elle \textit{converge} vers cette valeur $l$, appelée limite de la suite $(u_n)$.\\
Pour la trouver, on résout l'équation $f(l)=l$ :
$$f(l)=l \iff 2\sqrt{l}+2=l \iff 2\sqrt{l}=l-2 \iff 4l=l^2-4l+4 \quad\text{ et }\quad \left\{\begin{array}{l}
                                                                                              l>0 \\ l-2>0
                                                                                             \end{array}\right.
\iff l^2 -8l+4=0\quad \text{ et } \quad l>2$$
$\Delta = 64-4\times 1 \times 4 = 48$. \quad  Donc $l_1=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}=4+2\sqrt{3}$ et $l_2=4-2\sqrt{3}<2$.
Donc $l=4+2\sqrt{3}$. \\
On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 4+2\sqrt{3}$
}

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=-\dfrac{2}{3} u_n-1$ et 
$u_0=7$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto -\dfrac{2}{3}x-1$. \\
On a représenté ci-dessous la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, 
puis on a suivi les mêmes étapes que pour l'exemple précédent.}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-6} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(7,0)(7,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
(-5.66667,2.77777)(2.77777,2.77777)(2.77777,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0.90123)(0.90123,0.90123)
(0.90123,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0.06721)(0.06721,0.06721)(0.06721,-1.04482)
(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[u](7,0){\small $u_0$}
\uput[ul](0,-5.66667){\small $u_1$}
\uput[dl](-5.66667,0){\small $u_1$}
\uput[ul](0,2.77777){\small $u_2$}
\uput[dr](2.77777,0){\small $u_2$}
\uput[dr](0,-2.85186){\small $u_3$}
\uput[dl](-2.85186,0){\small $u_3$}
\uput[ul](0,0.90123){\small $u_4$}
\uput[dr](0.90123,0){\small $u_4$}
\uput[dl](0,-1.60083){\small $u_5$}
\uput[u](-1.60083,0){\small $u_5$}
\uput[dl](4.5,4){\small $\Delta$}
%\uput[130](0,0.06721){\small $u_6$}
%\uput[-30](0.06721,0){\small $u_6$}
%\uput[130](0,-1.04482){\small $u_7$}
%\uput[-30](-1.04482,0){\small $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{Contrairement à l'exemple précédent, les éléments de la suite ne semblent pas faire qu'augmenter ou diminuer. Cette
suite n'est ni croissante, ni décroissante. Mais cette suite semblent également convergente vers l'abscisse $l$ du point d'intersection 
de $\mathscr C_f$ et $\Delta$.\\
Pour trouver $l$, on résout $f(l)=l \iff -\dfrac23l-1=l \iff \dfrac53l=-1 \iff l=-\dfrac35$.
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
On a tracé ci-contre la courbe représentative d'une fonction $g$ et la droite $\Delta : y=x$.\\
On a représenté les quatre premiers termes de la suite $t$ définie par son terme initial $t_0$ et la relation 
$$t_{n+1}=g(t_n) \qquad \text{ 
pour tout entier } n\geq 0$$
Donner le terme initial $t_0$ et lire des valeurs approchées de $t_1$, $t_2$ et $t_3$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6,-1)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-1)(4,4)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-6}{4}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttttff,plotpoints=200]{-6.0}{4.0}{sqrt(x+6)}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](-5,0)(-5,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](-5,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,1)(1,2.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,2.65)(2.65,2.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,2.94)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.94)(2.94,2.94)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.94,2.94)(2.94,0)
\rput[bl](2,3.5){\red{$\Delta:y=x$}}
\rput[bl](-5.64,1.13){\ttttff{$\mathscr C_g$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\Cadre[Calculer des termes avec une Casio]{
On choisit le mode \textit{suite} en sélectionnant le menu \fbox{\textbf{\texttt{Recur}}}.\\
On choisit ensuite le type de suite (explicite ou récurrente) grâce à la touche \fbox{\textbf{F3 : \texttt{Type}}} 
puis la touche \fbox{\textbf{F1}} (explicite) ou \fbox{\textbf{F2}} (récurrente).\\
On entre ensuite l'expression de la suite et on appuie sur \fbox{\textbf{F5 : \texttt{SET}}} 
pour paramétrer le tableau, notamment donner le premier indice et/ou premier terme si nécessaire.\\
\textit{Le $n$ s'obtient avec la touche \fbox{\textbf{F1 : $n$}} et le $a_n$ s'obtient
avec la touche \fbox{\textbf{F2 : $a_n$}}}\\
On peut alors afficher les valeurs de la table grâce à \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}}
}

\Cadre[Représenter une suite récurrente avec une Casio]{
Se mettre en \textit{Mode} \textit{suite}.\\
Enregistrer la suite dans le bon \textit{Type}. \\
Appuyer ensuite sur la touche  \fbox{\textbf{F4 : \texttt{WEB}}} 
ou encore \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}} + \fbox{\textbf{F6 : \texttt{G-PLT}}}.\\

Afin d'ajuster la fenêtre automatiquement, appuyer sur \fbox{\textbf{F2 : \texttt{Zoom}}} et choisir \fbox{\texttt{AUTO}}.
%\end{minipage}
%\\
%\end{tabular}
}

\Expl{\begin{enumerate}
       \item Soit la suite $u$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
                                                u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n+6}
                                               \end{array}\right.$\\
Afficher sur votre calculatrice une représentation graphique de la suite $u$.
 \item Même question pour la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_{n}=\sqrt{2n+6}$.
      \end{enumerate}
}






\section{Sens de variation d'une suite numérique}


\begin{defi}
On dit qu'une suite est croissante si et seulement si ses termes sont rangés dans l'ordre croissant. \\
Autrement dit, si et seulement si $$ u_{n+1}\geq u_n \qquad \forall n\in \N$$
On dit qu’une suite est  décroissante si et seulement si ses termes sont rangés dans l'ordre décroissant. \\
Autrement dit, si et seulement si :
$$u_{n+1}\leq u_n\qquad \forall n\in \N$$
On définit la stricte croissance ou décroissance à l'aide d'inégalités strictes.\\
Si une suite est soit croissante sur $\N$, soit décroissante sur $\N$, la suite est dite monotone.
\end{defi}

\Expl{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$  et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=2n+3 \qquad \qquad v_n=5 \times 0.8^n \qquad \qquad w_n=5 \times (-0.8)^n \qquad \text{ et } \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
t_0=4 \\ t_{n+1}= t_n-3
 \end{array}\right.
$$
Comparer pour tout $n\in\N$ les termes suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
  \item $u_{n+1}$ et $u_n$.
 \item $v_{n+1}$ et $v_n$.
 \item $w_{n+1}$ et $w_n$.  
\item $t_{n+1}$ et $t_n$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

%\begin{defi}Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels. On dit que la suite $(u_n)$ est 
%\begin{itemize}
%\item \textbf{croissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\leq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
%\item \textbf{décroissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\geq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
%\item \textbf{monotone} (à partir du rang $p$) si et seulement elle est croissante ou décroissante 
%(à partir du rang $p$)
%\item \textbf{stationnaire} (à partir du rang $p$) si et seulement si $u_n=u_{n+1}$ pour tout entier 
%$n\geq p$ (si la suite est définie à partir du rang $p$ alors on dit que la suite est \textbf{constante})
%\end{itemize} 
%\end{defi}



\Cadre[Méthodes pour étudier les variations d'une suite]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] Dans la pratique pour déterminer les variations d’une suite, on étudie le signe de la différence entre deux termes successifs c'est-à-dire le signe de $u_{n+1}-u_n$. Si cette différence est positive pour tout $n$ alors la suite est croissante. Si la différence est négative pour tout $n$ alors la suite est décroissante. 
\item[$\blacktriangleright$] Si tous les termes de la suite $u$ sont \textbf{strictement positifs}, 
on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1.\\
\textit{Ceci se révèle souvent pratique dans le cas où il y a des exposants $n$ dans l'expression de la suite.}
\end{itemize}
}



\Expls{
\begin{enumerate}
\item Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a
$$u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$$
Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1 > 0$ pour tout $n>0$.\\
Donc $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur $\N$.
\item Soit $(v_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $v_n=2\times5^n$. \\
On a $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $$v_{n+1}=2\times 5^{n+1}$$
Ainsi pour tout $n$ on a \quad $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5 >1$\\
Donc $v_{n+1}>v_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$   
\item Etudier de deux manières différentes le sens de variation de la suite $(w_n)_{n\geq 3}$ 
définie par \quad $ w_n=\dfrac{3n-1}{n+2}$
 %\item On considère la suite $u$ définie par $u_n=2n+\sin n$\newline
%Étudions, pour tout entier $n$, le signe de la différence de deux termes consécutifs : 
%$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+\sin (n+1)-2n-\sin n=2+\sin (n+1) - \sin n$$
%Or, $\forall x\in \R$ on a : $-1\leq \sin x \leq 1$, par conséquent :
%$$ 2+\sin (n+1)-\sin n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
%La suite $u$ est donc strictement croissante.
\end{enumerate}
}

\newpage

\Rq{
Si une suite $(u_n)_{n\geq p}$ est définie \textbf{de manière explicite et seulement dans ce cas} 
par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur l'intervalle $[p;+\infty[$
croissante sur $[p;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.\\
Ceci est logique, car $f$  conserve l'ordre donc 
 $$n<n+1 \iff f(n) \leq f(n+1) \iff u_n \leq u_{n+1}$$
 Le même résultat est valable pour $f$ décroissante ou $f$ strictement monotone.
 }

 \Att{
Ce théorème ne s'applique pas pour les suites définies par récurrence.\\
En effet si $f$ est décroissante alors :
 $$u_n<u_{n+1} \iff f(u_n) \geq f(u_{n+1}) \iff u_{n+1} \geq u_{n+2}$$
 L'ordre de deux termes consécutifs n'est donc pas toujours le même !
La réciproque de ce théorème est fausse i.e que l'on peut trouver une suite croissante, 
par exemple, définie par une fonction non croissante, comme sur le dessin ci-dessous :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7,4.50)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0,1)
\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
\curveto(0.6,1.7)(1,2)
\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
}
\end{pspicture} 
\end{center}
}


\Expls{Etudier avec cette troisième méthode le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\N}$ 
définie dans l'exemple précédent.\\

Soit $f : x \longmapsto x^2+2$ ; définie sur $[0 ; + \infty[$.\\
$f$ est une fonction trinôme et sait qu'elle est strictement croissante sur $[0 ; + \infty[$.\\
Donc $(u_n)$ est aussi strictement croissante sur $\N$.
$(w_n)_{n\geq 3}$ est aussi strictement croissante pour $n\geq 3$.
}






\section{Notion de limite d'une suite numérique}




\subsection{Suite convergente, suite divergente}


\begin{act}
\begin{enumerate}
 \item Alice lance une balle de Ping Pong magique à une extrémité d'une salle de cours longue de 8m, 
qui rebondit indéfiniment à chaque fois de la moitié de la distance restante entre elle et le mur du fond.\\
On définit la suite $(a_n)_{\N}$ dont chaque terme vaut la distance séparant la position du lancé 
et du $n^{\text{ième}}$
rebond. Ainsi, $a_0=0$ 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $a_1, a_2 $ et $a_3$.
 \item Proposer une expression pour $a_{n}$
 \item Conjecturer la limite de $(a_n)$.
\end{enumerate}
 \item Bob lance dans les mêmes conditions sa propre balle de Ping Pong magique : celle-ci rebondit toujours de
 3 m et traverse les murs, ne s'arrêtant jamais d'avancer.\\
 On définit la suite $(b_n)_{\N}$ dont chaque terme vaut la distance séparant la position du lancé 
et du $n^{\text{ième}}$
rebond. Ainsi, $b_0=0$ 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $b_1, b_2 $ et $b_3$.
 \item Proposer une expression pour $b_{n}$
 \item Conjecturer la limite de $(b_n)$.
\end{enumerate}
 \item Caroline possède la même balle de Bob, mais elle la lance en arrière !\\
 On définit la suite $(c_n)_{\N}$ dont chaque terme vaut la distance (orientée)séparant la position du lancé 
et du $n^{\text{ième}}$
rebond. Ainsi, $c_0=0$ 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $c_1, c_2 $ et $c_3$.
 \item Proposer une expression pour $c_{n}$
 \item Conjecturer la limite de $(c_n)$.
\end{enumerate}
 \item David lance dans les mêmes conditions que les autres sa propre balle de Ping Pong, qui n'est pas 
 très magique : celle-ci rebondit toujours de
 3 m et s'arrête jamais d'avancer, mais elle rebondit sur les murs.\\
 On définit la suite $(d_n)_{\N}$ dont chaque terme vaut la distance séparant la position du lancé 
et du $n^{\text{ième}}$
rebond. Ainsi, $d_0=0$ 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $d_1, d_2 $ et $d_3$.
 \item Proposer une expression pour $d_{n}$
 \item Conjecturer la limite de $(d_n)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}



\begin{defi}
On dit qu'une suite \textbf{admet une limite réelle $\ell$} (ou \textbf{converge vers le réel $\ell$}) lorsque tous les termes de
la suite $(u_n)$ sont aussi proches de $\ell$ que l'on veut à partir d'un certain rang.
\\
Autrement dit une suite converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle du type $]\ell -\varepsilon; \ell +\varepsilon[$ (avec $\varepsilon>0$) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = \ell$.
\end{defi}

\Rq{Autrement dit, quelque soit le nombre $\varepsilon$ choisi (aussi petit que l'on veut), 
il existe un rang $N$  (dépendant de $\varepsilon$) à partir duquel 
tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans l'intervalle $]\ell-\varepsilon ; \ell+ \varepsilon[ $).
}
\Expl{
Graphiquement, cela se traduit ainsi : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(0,0.95)(25.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{25} \def\ymin{1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{25}{\G}
\psplot{25}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\psdot(26,1.519)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.45)(1,1.5)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.5)(1,1.55)
\uput[ul](1,1.5){$\varepsilon$}
\uput[ul](1,1.45){$\varepsilon$}
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.2){de la suite sont dans la bande hachurée dépaisseur choisie}
 \uput[ur](5,1.7){Illustration avec la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$ }
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.2,Ox=0,Oy=1]{->}(0,1)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\begin{itemize}
\item Le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell= \dfrac{3}{2}$
\item Ici on a choisi $\varepsilon = 0.05$ et on a trouvé que pour $N=10$, tous les termes de la suite $(u_n)$ 
étaient dans l'intervalle $]1.45; 1.55[$ pour $n\geq 10$.
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.1$, on aurait trouvé que pour $N=5$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]1.4; 1.6[$ pour $n\geq 5$.
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.04$, on aurait trouvé que pour $N=13$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]1.46; 1.54[$ pour $n\geq 13$.\\
\end{itemize}


\begin{defi}
On dit qu'une suite est \textbf{divergente} si elle n'est pas convergente.\\
C'est le cas des suites qui n'admettent pas de limite, et des suites qui sont 
aussi grandes que l'on veut, dans les positifs ou négatifs, à partir d'un certain rang.\\
Dans ce dernier cas, on dit que la suite diverge vers $+ \infty$ ou $-\infty$ et on note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ou 
$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
\end{defi}

\Expls{
Conjecturer graphiquement les limites éventuelles des suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=4n^2+5n-1 \qquad \qquad v_n=-\dfrac{1}{n+2}+1  \qquad \qquad w_n=-2n^2+2 \qquad \text{ et } \qquad 
t_n=\cos(n)+1$$
%Déterminer par le calcul le rang à partir duquel : $u_n \geq 10^{6}$.
}

\newpage
\subsection{Application : limites et  algorithmes}

\subsubsection{Exemple pour une suite qui diverge vers $-\infty$}

On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par \quad 
 $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=2u_n-2\end{array} \right.$
 \begin{enumerate}
\item A l'aide des droites $\mathscr D :y=x$ et $\mathscr D' :y=2x-2$ donnée ci-dessous, placer sur l'axe des abscisses les termes de $u_0$ à $u_3$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-11.1,-11.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-11} \def\xmax{3} \def\ymin{-11} \def\ymax{3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x mul 2 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-11}{3}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-11}{3}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{minipage}{9cm}
\item Conjecturer la limite de la suite $u$.
\item Calculer les $4$ premiers termes de la suite $u$. 
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=30$ ? 
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=100$ ? s'il entre $A=10000$ ? 
\item Que fait cet algorithme ?
\item Pourquoi est-on sûr qu'il s'arrête ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
  \begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$A$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=1$ et $p:=0$ \\
    \While{ $u>-A$ }
{$u:=2u-2$ et $ p:=p+1$}
Afficher $p$.
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}



\subsubsection{Exemple pour une suite qui converge vers un réel $\ell$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb

On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par \quad 
 $u_n=2-\dfrac{1}{n+1}$
 \begin{enumerate}
 \item Calculer les premiers termes de la suite, conjecturer son sens de variation et sa limite $\ell$.
 \item Montrer que $$ u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}$$
 \item En déduire que la suite est strictement croissante.
\item On considère l'algorithme suivant :
 \begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ $\varepsilon$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=1$ et $p:=0$ \\
    \While{ $u\notin \left]2-\varepsilon;2+\varepsilon\right[$ }
{$p:=p+1$ et $ u:=2-\dfrac{1}{p+1}$}
Afficher $p$.
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $\varepsilon=0,3$ ? 
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $\varepsilon=0,1$ ? s'il entre $\varepsilon=0,01$ ? 
\item Soit $\varepsilon >0$. Déterminer le rang $p$ à partir duquel $$u_p\in \left]2-\varepsilon;2+\varepsilon\right[$$
\item Conclure que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
