\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Le second degr\'e}
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\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{alpha2.eps}{Alphaville}{Jean Luc Godard}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Alphaville, une étrange aventure de Lemmy Caution (ou Alphaville) est un film franco-italien de science-fiction de Jean-Luc Godard sorti en 1965. Il a reçu l'Ours d'or 1965 au Festival international du film de Berlin.\\
Dans une époque postérieure aux années 1960, les autorités des \og pays extérieurs \fg
envoient le célèbre agent secret Lemmy Caution (Eddie Constantine) en mission à Alphaville, une cité déshumanisée, 
éloignée de quelques années-lumière de la Terre. Caution est chargé de neutraliser le professeur von Braun, 
tout-puissant maître d'Alphaville, qui y a aboli les sentiments humains. Un ordinateur, Alpha 60, régit toute la 
ville. Un message de Dickson, un ex-agent secret, ordonne à Lemmy de « détruire Alpha 60 et de sauver ceux qui 
pleurent ». Mais ce dernier est enlevé, interrogé par Alpha 60 et condamné à mort ...
}{0.8}{0.8}{
\item Résoudre des équations du second degré.
\item Etudier le signe d'un trinôme.
\item Maitriser l'allure de la courbe d'une fonction polynôme du second degré.
}

\TITRE{alpha1.eps}{0.8}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Nous allons étudier les polynômes du second degré, ie de la forme $ax^2+bx+c$, 
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes connues (et $a\neq 0$).\\
La représentation graphique de ce genre de fonction est une parabole, courbe que l'on retrouve dans la nature, comme par exemple 
la trajectoire des jets d'eau d'une fontaine, des astres, les rebonds d'une balle de tennis, les dunes de sables dans le désert ... 
Les antennes pour le câble sont également en forme de parabole, d'où leur nom.\\
On a découvert les paraboles dès l'antiquité, grâce à \textit{Appolonius de Perga}, qui étudiait les sections planes du cône.
Au V$^{\text{\`e}me}$ si\`ecle, la pens\'ee math\'ematique s'\'epanouit dans le moyen orient, sous l'impulsion 
g\'eniale d'\textit{Al Khwarizmi}. Son nom est \`a la base du mot algorithme. En effet, c'est lui qui le premier
s'intéressa à mettre en place une méthode générale de résolution d'équations en fonction de leur type.\\
La nouveaut\'e apport\'ee par Al-Khwarizmi correspond \`a une v\'eritable \'evolution des mentalit\'es : 
il ne s'agit plus de r\'esoudre des probl\`emes arithm\'etiques
ou g\'eom\'etriques que l'on peut traduire en \'equations, mais de partir des \'equations, dont chacune recouvre 
une classe infinie de probl\`emes vari\'es.\\
Il est également le premier \`a r\'esoudre couramment des \'equations du second degr\'e dans $\R$. 
Autrement dit, \textit{Al Khwarizmi} à trouver un algorithme permettant de résoudre toutes les \'equations de la forme 
$ax^2+bx+c=0$, et lorsque l'on a sur un probl\`eme qui aboutit \`a une telle \'equation, 
il n'y a plus qu'\`a le suivre ! C'est cet algorithme que nous allons découvrir.\\
Au XVII$^e$ siècle, \textit{Newton} démontre que la trajectoire d'un corps seulement soumis à son poids est une parabole.
A cette époque, on sait déjà résoudre depuis environ un siècle les équations du second degré dans un ensemble de 
nombres que vous découvrirez, contenant $\R$ et de nouveaux nombres, appelés imaginaires (par opposition à réels) ou encore complexes.\\

\end{Intro}



\section{Trin\^ome du second degr\'e}

\begin{act}
Un rectangle a pour p\'erim\`etre $P=21$ m et pour aire $S=27$ $m^2$. Quels sont les dimensions
de ce rectangle ? 
\end{act}

\textbf{Objectifs et commentaires :} 
\begin{itemize}
 \item Faire mod\'elisation la situation aux élèves : \\
 Poser $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, et obtenir : $x+y=21 \text{ et }xy=27$
 \item Manipuler les écritures littérales et le système pour aboutir à l'équation $x^2-10.5x+27=0$
 \item Les faire s'interroger sur les diverses manières de résoudre une telle équation.\\
 Graphiquement ? Tableau de valeurs ? Calculs ? 
\end{itemize}

\Sol{La recherche à tâtons ici n'est pas si simple, les élèves ne pensant qu'aux nombres entiers ...\\
La nécessité de modéliser se fera donc sentir.\\
\underline{Mod\'elisation :} Soient $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, on obtient :
$$x+y=\dfrac{P}{2}=10,5 \quad \text{ et } \quad xy=S=27$$
En rempla\c cant $y$ par $10,5-x$ on obtient l'\'equation $x(10,5-x)=27$ qui peut s'\'ecrire encore $x^2-10,5x+27=0$.\\
\textit{Comment r\'esoudre une telle \'equation ?}
\newline
Notons $f$ la fonction \textit{trinôme} définit par $f(x)=x^2-10,5x+27$ et étudions cette fonction.\\
\underline{Graphiquement : } On trace la représentation graphique de la fonction $f$ et on regarde les abscisses des
points où cette courbe coupe l'axe des abscisses.\\
\textit{Critique} : peu rigoureux.\\
Faire remarquer aux élèves qu'on peut vérifier l'exactitude des solutions par le calcul.\\
De plus, leurs connaissances sur les trinômes peuvent cependant leur permettre d'affirmer qu'on trouve ainsi toutes les 
solutions du problème. \\
\underline{Tableau de valeurs :} On fait un tableau de valeurs de la fonction $f$ et on cherche les solutions.\\
Mêmes remarques que précédemment sur le nombre de solutions.\\
\underline{Par le calcul, en utilisant la forme canonique  :} (si la classe a de bons souvenirs)
\begin{eqnarray*}
 x^2-10,5x+27=27 &\Longleftrightarrow  & x^2-10,5x=0\\
& \Longleftrightarrow  & x(x-10,5)=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0\quad \text{ou} \quad x=10,5
\end{eqnarray*}
On en déduit que $\alpha =\dfrac{0+10.5}2=\dfrac{21}{4}$  \qquad Et $\beta =f\left(\dfrac{21}{4}\right)=-\dfrac{9}{16}$. Donc 
$$ f(x)=\left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}$$
A partir de la forme canonique du trinôme $f$ on résout l'équation $x^2-10,5x+27=0$ :
\begin{eqnarray*}
x^2-10,5x+27=0&\iff &\left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}=0\\
&\Longleftrightarrow & \left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\\
&\Longleftrightarrow  & x-\dfrac{21}{4}=\dfrac{3}{4}\qquad \text{ou}\qquad x-\dfrac{21}{4}=-\dfrac{3}{4}\\
&\Longleftrightarrow  & x=\dfrac{24}{4}=6\qquad \text{ou}\qquad x=\dfrac{18}{4}=4.5
\end{eqnarray*}
De plus si $x=6$ alors $y=10,5-6=4,5$. Le rectangle a donc pour dimensions $4$ et $6.5$.\\
Et si $x=\dfrac{18}{4}=4,5$ alors $y=10,5-4,5=6$. On retrouve les mêmes dimensions (les rôles de $x$ et $y$ étant symétriques).
\\

\underline{Conclusion :} Le rectangle d'aire $S=27$ et de périmètre $21$ a pour longueur $6$ et pour largeur $4,5$.
}

\underline{But du chapitre :} On cherche un algorithme qui automatiserait ce genre de démarche. 

\begin{defi}
On appelle \textbf{polyn\^ome du second degr\'e} ou encore \textbf{trinôme} toute expression pouvant s'\'ecrire 
$ax^2+bx+c$ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des r\'eels avec $a\neq0$
\end{defi}
\Expls{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+1$ \hspace{8mm}$(a=1;b=-4;c=1)$
\item $-7x^2+4x$ \hspace{8mm}$(a=-7;b=4;c=0)$
\item $\sqrt{2}x^2$ \hspace{8mm}$(a=\sqrt{2};b=0;c=0)$
\item $(x+1)^2$ \hspace{8mm}$(a=1;b=2;c=1)$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Cexpl{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x+1$ est un bin\^ome du premier degr\'e
\item $x^3+2x+3$ est un polyn\^ome du $3^{\text{\`e}me}$ degr\'e
\item $(x+1)^2-x^2$ est un bin\^ome du premier degr\'e.
\item $2x^2+\dfrac{1}{x}$ n'est pas un trin\^ome du $2^{nd}$ degr\'e.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Rq{
On admettra que deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients devant \og les mêmes puissances de $x$\fg 
}


\begin{defi}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un trin\^ome. On appelle \textbf{racine} de $P$ 
toute valeur de la variable $x$ solution de l'\'equation du second degr\'e :
$$ ax^2+bx+c=0$$
\end{defi}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ sont des racines du trinôme de l'exemple précédent.
 \item Vérifier que $3$ est racine du trin\^ome $2x^2-5x-3$. En a-t-il d'autre(s) ? En déduire sa forme factorisée.
 \item Trouver les racines du polyn\^ome $x^2-7=0$
     \end{enumerate}
}

\Question{D'une mani\`ere g\'en\'erale, comment trouver les racines du polyn\^ome $ax^2+bx+c$ ? 
Existe-t-il un algorithme permettant de 
trouver toutes les racines de n'importe quel trin\^ome ?}

\begin{ExoL}
 Repère : n$^{\circ}$ 58 p 32 et 66 p 34 (détermination des coefficients à partir de trois images)
\end{ExoL}


\newpage
\section{R\'esolution des \'equations du second degr\'e}
\subsection{Résolution de l'équation $X^2=a$}

\begin{prop}
L'équation $X^2=a$ admet :
\begin{itemize}
\item 2 solutions si $a>0$ : $X_1=\sqrt{a}$ ou $X_2=-\sqrt{a}$.
\item 1 solution si $a=0$, il s'agit de $X=0$.
\item 0 solution si $a<0$.
\end{itemize}
\end{prop}


\Expls{Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-3=0$ ;
\item $(4x+1)^2-1=0$ ;
\item $3(x-1)^2=7$ ;
\item $ (x+1)^2+1=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}



\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{landscape}
 \subsection{R\'esolution de $ax^2+bx+c=0$}
\begin{tabular}{C{8cm}|C{8cm}|C{8.cm}}
\textbf{Exemple :}
 Trouver les éventuelles racines du trinôme $3x^2+4x-6$ 
 &  \textbf{Méthode :}\\ & \textbf{Cas général :} \\
 \tabularnewline
 \begin{eqnarray*}
 && 3x^2+4x-6=0 \\
 & \iff & 3\big(x^2+\dfrac43 x -2\big)=0 \\
 & \iff & x^2+\dfrac43 x -2 = 0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac23\right)^2-\left(\dfrac23\right)^2-2=0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac23\right)^2-\dfrac49-2=0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac23\right)^2-\dfrac{22}{9}=0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac23\right)^2 = \dfrac{22}{9}\\
 & \iff & x+\dfrac23 = \sqrt{\dfrac{22}{9}} \quad \text{ ou } \quad x+\dfrac23 = - \sqrt{\dfrac{22}{9}}\\
 & \iff & x+\dfrac23 = \dfrac{\sqrt{22}}{3} \quad \text{ ou } \quad x+\dfrac23 = - \dfrac{\sqrt{22}}{3}\\
& \iff & x = \dfrac{\sqrt{22}}{3}-\dfrac23 \quad \text{ ou } \quad x+\dfrac23 = - \dfrac{\sqrt{22}}{3}-\dfrac23\\
& \iff & x = \dfrac{-2+\sqrt{22}}{3} \quad \text{ ou } \quad x+\dfrac23 = \dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}
 \end{eqnarray*}
&
 \begin{eqnarray*}
  &-&\text{Traduction de l'énoncé}\\
  &-& \text{on factorise par } 3 \\\\
  &-& \text{on divise à droite et à gauche par }3 (3 \neq 0)\\\\
  &-& \text{on constate que } x^2+\dfrac43x \text{ est le début de }\\\\
  &&  x^2+2x\times \dfrac23 + \left(\dfrac23\right)^2=\left(x+\dfrac23\right)^2\\
  && \text{Ainsi } x^2+\dfrac43x= \left(x+\dfrac23\right)^2-\left(\dfrac23\right)^2\\
  & - & \text{on compte ce que l'on peut}\\\\
  &-& \text{on utilise le résultat précédent pour }\\
  && \text{trouver les éventuelles valeurs de } x \text{ possibles}\\
  && \text{on oublie pas les \textbf{deux} possibilités}\\
  && \text{on finit le calcul tranquillement}\\\\
 \end{eqnarray*}
  &
 \begin{eqnarray*}
 && ax^2+bx+c=0 \\
 & \iff & a\big(x^2+\dfrac{b}{a} x +\dfrac{c}{a}\big)=0 \\
 & \iff & x^2+\dfrac{b}{a} x +\dfrac{c}{a} = 0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c\times 4a}{4a^2}=0 \\
 & \iff & \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\
  & \iff & \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}\\
 &  & \text{La suite dépend du signe de }\\
 & & \Delta =b^2-4ac\\\\\\\\
 \end{eqnarray*}
\end{tabular}
\begin{itemize}
 \item Si $\Delta<0$, alors $\dfrac{\Delta}{4a^2}<0$ et l'équation $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$
 n'a pas de solution réelle.
 \item Si $\Delta=0$, alors $\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$ et l'équation $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}
 $  \quad équivaut à \quad 
 $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0 \iff x+\dfrac{b}{2a} = 0 \iff x=-\dfrac{b}{2a}$
 \item Si $\Delta>0$, alors $\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ et l'équation $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}
 $ \quad équivaut à \quad 
 $x+\dfrac{b}{2a} = \sqrt{\dfrac{\Delta}{4a^2}} \quad\text{ ou } \quad x+\dfrac{b}{2a} =- \sqrt{\dfrac{\Delta}{4a^2}}
 \quad \iff \quad
 x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{ ou } \quad x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
\end{itemize}
\end{landscape}






\begin{defi}[Discriminant]
On appelle \textbf{discriminant} de l'équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$) le nombre réel, noté $\Delta$, qui vaut  :
$$ \Delta=b^2-4ac$$
\end{defi}

\begin{theo}
On cherche à résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$.
\begin{enumerate}
\item \underline{Si $\Delta<0$} : l'\'equation n'a pas de solution r\'eelle
\item \underline{Si $\Delta=0$} : l'\'equation a une solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
\item \underline{Si $\Delta>0$} : l'\'equation a deux solutions r\'eelles : 
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ et } \qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
\end{enumerate}
\end{theo}

\Dem{Voir la méthode précédente (attention $\sqrt{4a^2}$ quand  $a<0$ n'est pas détaillé à la fin)
}


\Expls{
R\'esoudre dans $\R$ les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $6x^2+x-1=0$
\item $9+x^2+6x=0$
\item $\dfrac17x^2-\dfrac17x-\dfrac17=0$
\item $x^2-5=0$
\item $\dfrac2{5}x-\dfrac13x^2=1$
\item $x^2-2x=0$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
}


\Rqs{
\item Les formules obtenues pour $\Delta>0$ s'\'etendent \`a $\Delta\geq0$.\\
En effet dans le cas $\Delta=0$, on trouve $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$. \quad
On parle de \og racine double \fg.
\item Une fois que l'on a les racines d'un trinôme, le signe de $a$ nous donnant l'orientation de la parabole le représentant, 
il est évident de déterminer son signe.
\item Notons également qu'un trinôme se factorise dans $\R$ si et seulement si $\Delta \geq 0$. Dans ce cas on a :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a\left(x-x_0\right)^2$ où $x_0$ est la racine double du trinôme
\item Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ o\`u $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trin\^ome
\end{itemize}
Lorsque $\Delta<0$, comme le trin\^ome n'a pas de racine r\'eelle, il faut abandonner l'espoir de pouvoir 
le factoriser (du moins dans $\R$) sinon, on pourrait trouver des solutions à l'équation produit nulle obtenue.
}

\Dem{
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : le trin\^ome s'\'ecrit, \`a l'aide de la forme canonique : $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ on a $a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=ax^2+bx+c$ après développement.
\end{itemize}
}



\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{landscape}

\large{\textbf{R\'esum\'e} sur $ P(x)=ax^2+bx+c $ \quad avec $a \neq 0$ :\qquad On note $\Delta=b^2-4ac$ \qquad  
On a  $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ \quad avec \quad $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ \quad et \quad $\beta=P(\alpha)=-\dfrac{\Delta}{4a}$}

%\vspace{2mm}
%\newline
\noindent    \begin{large}
\noindent  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}%{|>{\centering}p{1.5cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{5cm}|
%>{\centering}p{4cm}|}
  \hline
  $\Delta$ &  \textbf{Racines} & \textbf{Factorisation} & \textbf{Signe} de $P(x)$ & \textbf{Parabole}  \\ 
  \hline
$\Delta >0$ 
& 
\begin{tabular}{c} Deux racines : \\\\$x_{1}=\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}  $ \\\\$x_{2}=\dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}  $
\end{tabular} &  $a(x-x_1)(x-x_2)$ 
& 
\begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$ ou $x_2$,$x_2$ ou $x_1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de } a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 &
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.)(3,3)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.3} \def\ymax{3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 add mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,2){$a>0$}
\uput[ur](-2.2,0){$x_1$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_2$}
 \uput[l](1,-2){$S\left(\alpha ; \beta\right)$}
\psdot(1,0) \psdot(-1,0) \psdot(0,-1)
\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3.7,-2)(3,1.3)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{1}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 add mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,-2){$a<0$}
\psdot(1,0) \psdot(-1,0) \psdot(0,1)
\uput[ur](-2.2,0){$x_2$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_1$}
\endpsclip

\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}

\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta = 0$ &   
\begin{tabular}{c} \\ Une racine : \\\\$x_0=\dfrac{-b}{2a}  $\\
\end{tabular} 
& $a(x-x_0)^2$ & \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\def\F{x 1 sub x 1 sub mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}

\psdot(1,0) 
\uput[ur](0.5,0.5){$x_0$}
\uput[r](0,-1.4){$S\left(\alpha ; \beta\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,0.3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,-2){$a<0$}

\psdot(1,0) 
\uput[ur](0.5,-1.5){$x_0$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta <0$   
&
\begin{tabular}{c} Aucune  \\ racine \\  r\'eelle
\end{tabular} &  \begin{tabular}{c} pas  \\de \\  factorisation
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
\begin{small}
 \begin{tabular}{c}  \\    
 \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}
\psdot(1,1)
\uput[ur](0,-2){$S\left(\alpha ; \beta\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,0.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-5.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,-2.5){$a<0$}

\psdot(1,-1)

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
 \end{small}

 \\
\hline
  \end{tabular}  
  \end{large}
%\end{tiny}
\end{landscape}

\Cadre[Astuces]{
  \begin{itemize}
   \item Si $b$ ou $c$ est nul, on sait déjà résoudre ce genre d'équation, plus rapidement. Il est donc inutile de sortir 
tout l'attirail appris ici, même s'il donne évidemment les mêmes réponses.
\item Lorsque l'on doit résoudre une équation avec des coefficients rationnels, 
pensez à vous ramener à une équation équivalente à coefficients entiers avant de faire tous les calculs !
  \end{itemize}
}


\Expl{Etablir la forme factorisée, si elle existe, des trinômes suivants
$$P(x)=3x^2+5x+1 \qquad \text{;} \qquad Q(x) = 25x^2+80x-64 \qquad \text{et} \qquad x^2-3x+5$$
}


\Expl{
R\'esoudre les in\'equations suivantes 
$$x^2-4x+1\leqslant0 \qquad \text{;} \qquad 3x^2\leq 4x \qquad \text{et} \qquad 7x^2-3x+2>0$$
}


\begin{ExoF}
Déterminer les éventuelles racines réelles  des trinômes suivants, puis lorsque c'est possible, 
en donner une factorisation :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2-2x-4$
\item $3x^2+7+10x$
\item $2x^2-3x+5$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Déterminer trois entiers relatifs consécutifs dont la somme des carrés vaut $2030$. Donner toutes les solutions possibles.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des \textbf{entiers consécutifs} et dont la somme des aires est $15\,125$ ? 
Si oui, préciser quelles sont les valeurs que doivent avoir les côtés. \\
Même question avec $15\,127$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Trouver deux nombres entiers dont la somme est égale à 57 et le produit à 540.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $[-5;10]$ par $f(x)=(4-x)(x+3)$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est une fonction trinôme ; décrire l'allure de sa représentation graphique $\mathscr P$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$. En déduire les coordonnées du sommet $S$ de $\mathscr P$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$. En déduire les solutions de l'inéquation $f(x)<0$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ la parabole est-elle située au dessus de l'axe des abscisses ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ une fonction d\'efinie par $f(x)=-3x^2+2x+1$ pour tout r\'eel $x$.\newline
On note $C_f$ sa repr\'esentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la courbe $C_f$ coupe l'axe $(Ox)$ en deux points $A$ et $B$ dont on précisera les coordonn\'ees.
\item Déterminer la position relative de $\mathscr P$ et $(Ox)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{9cm}
 \begin{ExoF}
 Dans un repère du plan, on a tracé la parabole $\mathscr P$ représentant la fonction $$f:x\longmapsto x^2+3x$$
 et la droite $$\mathscr D : y=-0,5x-3$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathscr D$ et $\mathscr P$ ont deux point communs et déterminer les coordonnées de ces 
deux points.
\item Déterminer la position relative de $\mathscr P$ et $\mathscr D$
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\quad \begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.1,-2.76)(2.94,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.1,-2.76)(2.94,3)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-6.100000000000004}{2.9399999999999986}{x^2+3*x}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-6.1}{2.94}{(-3-0.5*x)/1}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-4.4,2.5){\qqqqzz{$\mathscr C_f$}}
\rput[bl](-5.14,-1.19){\ccqqqq{$\mathscr D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
      \end{minipage}



\begin{ExoF}R\'esoudre les (in)\'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $-3x^2-5x< 0$
\item $-4x^2+36x-81\geq 0$
\item $\dfrac{2z-5}{z-1}=\dfrac{z-1}{z+1}$
\item $\sqrt{a+1}=2a-3$
\item $(t^2+2t+1)^2=16$
 \item $(2s+1)(5-s)=(5-s)(s+4)$
 \item $\dfrac{3b^2+1}{b^2-3b-10}>0$
\item $ \dfrac{-6x-21}{-x^2-4x-4}>3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\noindent\begin{minipage}{9cm}
\begin{ExoF}
 Dans un rectangle $ABCD$ tel que $AB=8$ et $BC=10$, on construit le carré $AMNP$ avec $M$ sur $[AB]$ et $P$ 
 sur $[AD]$. On construit ensuite les rectangles $MBRN$ et $PNQD$ avec $R$ sur $[BC]$ et $Q$ sur $[DC]$ que 
 l'on colorie en vert. On pose $x=AM$ ; $x$ appartient donc à $[0;8]$.
 \begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire totale $v(x)$ des deux rectangles coloriés en vert.
\item Pour quelle valeur de $x$, $v(x)$ est-elle maximale et quelle est la valeur de ce maximum ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}
         \end{minipage}
         \quad\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{ffcctt}{1 0.8 0.2}
\psset{xunit=0.89cm,yunit=0.55cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.7,-8.84)(11.12,0.6)
\pspolygon[linecolor=green,fillcolor=green,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,-1.74)(1.74,-1.74)(1.74,-8)(0,-8)
\pspolygon[linecolor=green,fillcolor=green,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.74,0)(1.74,-1.74)(10,-1.74)(10,0)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,-8)
\psline(0,-8)(10,-8)
\psline(0,-1.74)(1.74,-1.74)
\psline(1.74,-1.74)(1.74,0)
\psline(1.74,-1.74)(10,-1.74)
\psline(1.74,-1.74)(1.74,-8)
\psline[linecolor=green](0,-1.74)(1.74,-1.74)
\psline[linecolor=green](1.74,-1.74)(1.74,-8)
\psline[linecolor=green](1.74,-8)(0,-8)
\psline[linecolor=green](0,-8)(0,-1.74)
\psline[linecolor=green](1.74,0)(1.74,-1.74)
\psline[linecolor=green](1.74,-1.74)(10,-1.74)
\psline[linecolor=green](10,-1.74)(10,0)
\psline[linecolor=green](10,0)(1.74,0)
\psline(0,0)(0,-1.74)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,0.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,-8)
\rput[bl](0.08,-7.92){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](10,-8)
\rput[bl](10.08,-7.92){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](10,0)
\rput[bl](10.08,0.08){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,-1.74)
\rput[bl](0.08,-1.66){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.74,0)
\rput[bl](1.82,0.08){$P$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.74,-1.74)
\rput[bl](1.82,-1.66){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.74,-8)
\rput[bl](1.82,-7.92){$R$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](10,-1.74)
\rput[bl](10.08,-1.66){$Q$}
\rput[bl](-0.38,-0.86){$x$}
\end{pspicture*}
\end{center}
      \end{minipage}
      
\noindent\begin{minipage}{9cm}
 \begin{ExoF}
 On considère un drapeau de $3$ m sur $5$ m, orné d'une croix. Quelle largeur doit-on donner à la croix 
 pour que les parties bleu et rose aient la même aire ?
 \end{ExoF}
\end{minipage} \quad
\begin{minipage}{9cm}
 \begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqcc}{0.8 0 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.32,-0.76)(7.67,4.15)
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.85](0,2.68)(7,2.68)(7,1.5)(0,1.5)
\pspolygon[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.85](1.32,4)(1.32,2.68)(2.5,2.68)(2.5,4)
\pspolygon[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.85](1.32,1.5)(1.32,0)(2.5,0)(2.5,1.5)
\pspolygon[linecolor=ccqqcc,fillcolor=ccqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.5](0,4)(1.32,4)(1.32,2.68)(0,2.68)
\pspolygon[linecolor=ccqqcc,fillcolor=ccqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.5](2.5,4)(7,4)(7,2.68)(2.5,2.68)
\pspolygon[linecolor=ccqqcc,fillcolor=ccqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.5](2.5,1.5)(7,1.5)(7,0)(2.5,0)
\pspolygon[linecolor=ccqqcc,fillcolor=ccqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.5](0,1.5)(1.32,1.5)(1.32,0)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,4)(7,4)
\psline(7,4)(7,0)
\psline{<->}(-0.3,2.68)(-0.3,1.5)
\psline[linecolor=qqqqcc](1.32,4)(1.32,2.68)
\psline[linecolor=qqqqcc](1.32,2.68)(2.5,2.68)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.5,2.68)(2.5,4)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.5,4)(1.32,4)
\psline[linecolor=qqqqcc](1.32,1.5)(1.32,0)
\psline[linecolor=qqqqcc](1.32,0)(2.5,0)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.5,0)(2.5,1.5)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.5,1.5)(1.32,1.5)
\psline[linecolor=ccqqcc](0,4)(1.32,4)
\psline[linecolor=ccqqcc](1.32,4)(1.32,2.68)
\psline[linecolor=ccqqcc](1.32,2.68)(0,2.68)
\psline[linecolor=ccqqcc](0,2.68)(0,4)
\psline[linecolor=ccqqcc](2.5,4)(7,4)
\psline[linecolor=ccqqcc](7,4)(7,2.68)
\psline[linecolor=ccqqcc](7,2.68)(2.5,2.68)
\psline[linecolor=ccqqcc](2.5,2.68)(2.5,4)
\psline[linecolor=ccqqcc](2.5,1.5)(7,1.5)
\psline[linecolor=ccqqcc](7,1.5)(7,0)
\psline[linecolor=ccqqcc](7,0)(2.5,0)
\psline[linecolor=ccqqcc](2.5,0)(2.5,1.5)
\psline[linecolor=ccqqcc](0,1.5)(1.32,1.5)
\psline[linecolor=ccqqcc](1.32,1.5)(1.32,0)
\psline[linecolor=ccqqcc](1.32,0)(0,0)
\psline[linecolor=ccqqcc](0,0)(0,1.5)
\psline{<->}(1.33,-0.3)(2.5,-0.3)
\rput[bl](-0.7,1.87){$x$}
\rput[bl](1.8,-0.7){$x$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

%\noindent\begin{minipage}{9cm}
%\begin{ExoF}
% On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=7$ et $BC=4$.
%\\
%Etant donné un réel $x$ compris entre $0$ et $4$, on place $E$ sur le segment $[AD]$ et $F$ sur le segment $[AB]$ tels que $AE=x$ et $AF=x+1$. On place $G$ tel que $EAFG$ soit un rectangle.
%\\
%Pour quelles valeurs de $x$ l'aire du rectangle $EAFG$ est-elle au moins égale à la moitié de l'aire du rectangle $ABCD$ ?
% \end{ExoF}
% \end{minipage}
%         \quad\begin{minipage}{8cm}
%\begin{center}
%\newrgbcolor{ffcctt}{1 0.8 0.2}
%\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1.59,-1.02)(8.3,4.55)
%\pspolygon[linecolor=ffcctt,fillcolor=ffcctt,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,2.68)(3.68,2.68)(3.68,0)(0,0)
%\pspolygon[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,4)(7,4)(7,0)(3.68,0)(3.68,2.68)(0,2.68)
%\psline(0,0)(7,0)
%\psline(0,4)(0,0)
%\psline(0,4)(7,4)
%\psline(7,4)(7,0)
%\psline[linecolor=ffcctt](0,2.68)(3.68,2.68)
%\psline[linecolor=ffcctt](3.68,2.68)(3.68,0)
%\psline[linecolor=ffcctt](3.68,0)(0,0)
%\psline[linecolor=ffcctt](0,0)(0,2.68)
%\psline[linecolor=qqqqcc](0,4)(7,4)
%\psline[linecolor=qqqqcc](7,4)(7,0)
%\psline[linecolor=qqqqcc](7,0)(3.68,0)
%\psline[linecolor=qqqqcc](3.68,0)(3.68,2.68)
%\psline[linecolor=qqqqcc](3.68,2.68)(0,2.68)
%\psline[linecolor=qqqqcc](0,2.68)(0,4)
%\psline{->}(-0.5,1.5)(-0.5,0)
%\psline{->}(-0.5,1.5)(-0.5,2.68)
%\psline{->}(2,-0.5)(0,-0.5)
%\psline{->}(2,-0.5)(3.68,-0.5)
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
%\rput[bl](0.08,0.07){$A$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](7,0)
%\rput[bl](7.08,0.07){$B$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](7,4)
%\rput[bl](7.08,4.07){$C$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,4)
%\rput[bl](0.08,4.07){$D$}
%\rput[bl](2,-0.94){$x+1$}
%\rput[bl](-0.85,1.13){$x$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,2.68)
%\rput[bl](0.08,2.75){$E$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3.68,0)
%\rput[bl](3.75,0.07){$F$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3.68,2.68)
%\rput[bl](3.75,2.75){$G$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}  
%\end{minipage}


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Déterminer selon les valeurs du réel $k$, le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation :
$$ x^2-4x-5=k$$
\item Déterminer selon les valeurs du réel $k$, le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation :
$$ x^2+2x+4=kx$$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Proposer deux fonctions polynômes du second degré admettant le tableau de variations donné (pour chacune des fonctions on donnera ses racines).
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item  %:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$11$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-7$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\item  %:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$4,5$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$-23$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item $f$ est le polyn\^ome d\'efini par $f(x)=4x^3+2x^2-2x-1$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $\forall x\in\R$, on ait $f(x)=(2x+1)(ax^2+bx+c)$.
\item R\'esoudre alors l'\'equation $f(x)=0$
 \item Etablir le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Trouver une racine évidente $x_0$ de $g(x)=x^3-x^2-14x+24$.
\item Déterminer alors les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $\forall x\in\R$, on ait $g(x)=(x-x_0)(ax^2+bx+c)$.
\item Résoudre $x^3-x^2-14x+24\leq 0$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}R\'esoudre l'\'equation : \qquad $6x^4-5x^2+1=0$\\
\textit{\underline{Indication} : Poser $X=x^2$ (ce type d'équation s'appelle une équation \textbf{bicarré})}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère l'inéquation $ 3x^4-13x^2+4>0$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les racines du trinômes $3X^2-13X+4$.
\item En déduire une factorisation de $3X^2-13X+4$.
\item Résoudre alors l'inéquation proposée dans $\R$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}R\'esoudre l'\'equation : \qquad $x+x^3+x^5+x^7=0$\\
\textit{\underline{Indication} : Peut-il y avoir une solution r\'eelle strictement n\'egative ? Et 
strictement positive ?}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Résoudre sans utiliser $\Delta$ l'équation : \qquad  $2012x^2+x-2013=0$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 \hfill \textbf{Un problème de Léonard Euler}\\J'ai acheté plusieurs pièces de tissu pour $180$ écus. 
 Si j'avais acheté pour la même somme trois pièces de tissu de plus, j'aurais eu chaque pièce pour $3$ écus 
 de moins. Combien ai-je acheté de pièces de tissu ?
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
 \hfill \textbf{Probabilité et second degré}\\
On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleues, une boule rouge et $m$ boules 
vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l’urne. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivantes :
$ J$ = \og tirer une boule jaune \fg. 
$B$ = \og tirer une boule bleue \fg. 
$R$ = \og tirer une boule rouge \fg. 
$V$ = \og tirer une boule verte \fg. 
\item  En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d’argent selon la convention suivante, si la boule 
tirée est :  
\begin{itemize}
\item rouge, on gagne 10 \euro.
\item verte, on gagne $5m$ \euro
\item jaune ou bleue, on gagne $-1-2m$ \euro.
\end{itemize}
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé. 
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question $(1)$ : $p(X = 10)$, $p(X = -1-2m)$ et $P(X = 5m)$.
\item Calculer $m$ pour que le gain moyen espéré soit de $4,5$ \euro. En déduire dans ce cas l'écart-type $\sigma(X)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\\
 \includegraphics[scale=1]{Kangourou2011S.eps}
\end{ExoF}








\begin{ExoL}
 Repère : n$^{\circ}$ 49-50-59 p 30 (avec paramètre) +  n$^{\circ}$ 68 à 70 p 34 (lien entre des racines)
 +  n$^{\circ}$ 54 à 56 p 32 (expression à partir du graphique)
+ n$^{\circ}$ \textbf{75} p 36 (signe d'un trinôme) \\
 Positions relatives : \textbf{79} p 37 (retrouver les expressions de $f$ et $g$ en plus) + \textbf{80} p 37\\
 Corriger le DM 3bis\\
 Proba : 72-\textbf{82} p 205 (espérance de degré 2) + \textbf{52-53} p 247 (paramètres de loi binomiale à partir de l'écart type)\\
 Trigo : \textbf{121}-124 p 295
\end{ExoL}




\section{Algorithme et programmation}
\Cadre[Un peu d'histoire]{

\noindent Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques sont utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs 
d'aires de champs, d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions.
Elles servent aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figure une (ou plusieurs) quantit\'e inconnue \`a trouver. \\
Vers 1800-1500 avant JC, les Babyloniens savent déjà résoudre des équations du $1^{er}$ et du $2^{nd}$ degré.
On parle de ''chose'' à trouver et on suit un discours logique phrasé (peu clair pour nous aujourd'hui) pour arriver à une solution.\\
Ce n'est qu'au VIII$^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie générale prend place peu \`a peu. Le point de d\'epart est de d\'esigner dans des calculs l'inconnue 
par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)  puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprend l'int\'er\^et d'une telle m\'ethode. C'est \textit{Al-Khawarizmi} qui le premier s'int\'eresse \`a cela et
classifie les différents types d'équations, afin que dans chaque problème, 
on n'ait plus qu'à reconnaitre le type d'équation et suivre la méthode générale appropriée, menant à la solution.
Le mot \textit{\textbf{algorithme}} découle de son nom et d\'esigne aujourd'hui \textbf{\textit{une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un 
\'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique}}. \\
\noindent Jusqu'au d\'ebut du XIX$^e$, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la 
pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils d\'eveloppent la notation symbolique et la conventionnent :
au XVI$^e$ Viete s\'epare l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utilisé de nos jours. 
On cat\'egorise les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnues, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution.Parallèlement, la notion de fonction prend forme.\\
Les équations de degré 3 sont résolues par les italiens Tartaglia et Cardan au XVI$^e$ si\`ecle, et celles de degré 4
par l'élève de ce dernier, Ferrari. 
L'histoire des formules de résolution s'arrête là, car le français Evariste Galois (1811-1832) montre au XIX$^e$ qu'il
est impossible de trouver des formules de résolution pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.\\
}



\Expl[Vocabulaire, démarche et rédaction]{
On souhaite un algorithme qui donne le type d'extremum d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, sa valeur approchée et quand il est atteint. }
\begin{enumerate} \item \textbf{Analyse préliminaire}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les informations initiales dont nous avons besoin ?\\
On les appelle les \textit{entrées} de l'algorithme.
 \item Quelle condition avons-nous sur l'une de ces entrées ?
 \item Que doit-on calculer ?\\
On prendra l'habitude de faire afficher le(s) résultat(s) de l'algorithme, que l'on appelle \textit{sortie(s)}.\\
L'ensemble des données de l'algorithme pouvant variées (entrées-sorties) sont les \textit{variables}. 
\end{enumerate}
\item  \textbf{Compréhension de l'algorithme  :} Compléter l'algorithme suivant
\Algo[Extremum d'un trinôme]{12cm}{
\Var{ 
 ...., ...., ...., ...., ....  sont des nombres réels}
\Deb{
  Saisir  .... \\
  \While{ ......... }
    {Afficher "Erreur : ........................................................"\\
    Saisir ....}
  Saisir  ........ et ........\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  \IfThenElse{ ........ }
    {    Afficher "La fonction f admet pour  ............ "}
    {    Afficher "La fonction f admet pour   ............ "}
  Afficher ...... " atteint en " ......
}
}
\item \textbf{La programmation : sur Algobox et sur TI}\\
Trouver comment programmer cet algorithme sur Algobox et sur votre calculatrice (ie avec le vocabulaire 
adapté au support) .\\
\end{enumerate}


\begin{ExoF}
Ecrire un algorithme qui donne la valeur du $\Delta$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, ainsi que son nombre de racines éventuelles et leurs valeurs. \\
Le programmer sur votre calculatrice.
\end{ExoF}

\section*{Hors Programme : polynômes de degré quelconque}
\Rq{
Le vocabulaire découvert ici est le même que celui employé pour un polynôme de degré $n\in\N$ quelconque, ie de la forme 
$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \text{ o\`u $a_0$, $a_1$, $\dots$, $a_n$ sont des r\'eels avec $a_n\neq0$} $$
\begin{itemize}
 \item Les éventuelles solutions de l'équation $P(x)=0$ s'appellent encore les racines de $P$.
 \item Le discriminant (s'il existe, ie si $n\geq 4$) se notera encore $\Delta$, 
 mais s'obtiendra par une autre formule.
\end{itemize}
On peut également démontrer que deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont le même degré et 
les mêmes coefficients.\\
Enfin si $x_1$ est une racine de $P$, alors on peut montrer que $P$ est factorisable par $(x-x_1)$.
}


\Expl{
\begin{itemize}
 \item La fonction $P$ d\'efinie par : $P(x)=x^8-6x^7+3x^2-5$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $8$
\item Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers : $P(x)=x^p$ avec $p\in\N$ sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $p$.
\item Les fonctions affines et constantes (diff\'erente de la fonction nulle) sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $1$ et $0$
\end{itemize}
}

\Cexpl{
\begin{itemize}
 \item La fonction $Q$ d\'efinie par $Q(x)=x^3+\dfrac{2}{x}$ n'est pas une fonction polyn\^ome
\item La fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}$ n'est pas une fonction polyn\^ome car non d\'efinie pour $x=1$ ou $x=-1$
\item En revanche la fonction $h$ d\'efinie par $h(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $2$ puisque $h(x)=x^2-1$ 
\end{itemize}
}

\Expl{Trouver les racines du polyn\^ome $P$ d\'efinie sur $\R$ par $P(x)=(x-1)(x^2-x-1)$}

\Rq{
\begin{itemize}
\item Les fonctions polyn\^ome de degr\'e $1$ ($x\longmapsto ax+b$) admettent toutes une seule racine $\lambda=-\dfrac{b}{a}$
\item Certaines fonctions polyn\^omes n'ont aucune racine r\'eelle, par exemple $P$ avec $P(x)=x^2+1 \geq 1$.
\end{itemize}
}


 \epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 


\end{document}
