\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au 
quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de 
Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la 
critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la 
meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les 
années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son 
exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les 
plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de 
points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{
\item Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire
 \item Connaître les formules d'espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire
 \item Interpréter ces caractéristiques 
}

\TITRE{des.eps}{0.8}



\begin{Intro}{Au fil du temps}
Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu’une première 
présentation rigoureuse ( les mathématiciens disent axiomatique ) en a été proposée trois siécles avant JC par le 
grec Euclide, il a fallu attendre le 
XVI$^e$ siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer 
leurs gains au jeu (c'est d'ailleurs pourquoi on en a gardé le vocabulaire). \newline

Parmi toutes les définitions possibles du hasard, nous en retiendrons deux qui ont influencé la théorie des 
probabilités :
\begin{itemize}
\item pour certains, tout a une cause, et le hasard n'est le reflet que de l'ignorance que nous avons des lois de la 
Nature. Cet esprit souffla particulièrement au XVIII ème siècle au moment où Laplace posa les bases d'une première 
théorisation des probabilités. 
Les probabilités sont alors déterminées a priori, par des considérations non expérimentales. Par exemple, un dé a 
six faces, donc, on peut poser 
d’avance que l’événement \og obtenir 5 \fg\, a une probabilité de $\dfrac16$. Cette symétrie, cette \og
géométrie du hasard \fg\, selon les 
termes de Pascal, permet de calculer sans ressentir le besoin de recourrir à l’expérience. 
Elle implique la notion centrale d'équiprobabilité : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas 
favorables sur le nombre de cas possibles. \newline
Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu’un dé puisse être parfaitement 
équilibré, mais doit-on être gêné pour autant ? 
\item pour d’autres, le hasard constitue notre univers, i.e qu'il n'est pas qu'une abstraction mathématiques mais 
une réalité physique. 
La théorie du chaos mise en forme par René Thom en 1955 montre en 
effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra 
prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent pas 
de prévoir mieux des états possibles futurs. 
\end{itemize}
Alors, le hasard, une réalité physique ou une invention mathématiques ?
Au lieu de s’opposer, ces deux visions se complètent et il faut les avoir en tête.
Ces deux notions ont en commun de postuler que l’issue de l’expérience (le jeté d’un dé)
est indépendant de l’observateur, mais ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple 
l’économie ou la physique quantique.\\

Dans ce chapitre, nous allons revoir les bases des probabilités, à savoir la construction de modèles
pour décrire des expériences aléatoires, ainsi que le vocabulaire et les propriétés de base. 
Le besoin d'avoir une méthode systématique de modélisation est justifié 
par le fait que certains résultats nous semblent parfois intuitivement 
évidents mais sont en réalité faux, comme en témoignent les problèmes d'introduction ci-dessous.\\
Ensuite, nous découvrirons les variables aléatoires, qui associent des résultats 
d'expériences aléatoires à des variables telles qu'un gain éventuel. Nous apprendrons alors à déterminer certains paramètres
de ces expériences, telles que le gain que l'on peut espérer gagner ou le risque d'un jeu,
sans avoir à le réaliser.
\end{Intro}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage


\section{Se souvenir ...}
\subsection{Les limites de l'intuition}

\textit{Proposer à l'oral ces petits problèmes et noter la conclusion et la suite à l'écrit}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Etablir une discussion au sein de la classe et éveiller la curiosité, 
 \item Percevoir les intuitions de chacun (il n'est pas prévu de les faire répondre rigoureusement, 
simplement de trouver des pistes de solution),
 \item Rappeler ce qu'est une modélisation mathématique et constater son utilité,
 \item Rappeler le vocabulaire ainsi que quelques bases sur les probabilités.\\
\end{itemize}

\Pbls{
  \begin{enumerate}
   \item Au XVI$^e$ siècle, le Grand Duc de Toscane demanda au vénérable Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 
au jeu de passe-dix (jeu consistant à jeter 3 dés et à faire plus que 10), même s'il n'y a dans les deux cas que 6 
combinaisons pour les obtenir. \\
La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, 
\og sur le papier \fg, il aurait dû y avoir la même fréquence d’apparition des deux nombres, puisqu’il y a dans 
chaque cas 6 manières de les obtenir. \\
\textbf{Proposer une explication à ce phénomène.}\\
\item Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elles
se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. 
Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux mauvaises portes, tout en conservant celle choisie par le candidat. 
Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. \\
\textbf{Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ?} \\
\item A votre avis, quelle est la probabilité que dans un groupe de 35 personnes indépendantes, deux personnes aient leur 
anniversaire le même jour de l'année ?  Dans un groupe de 70 personnes ? \newline 
\textbf{A votre avis, combien doit-on réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe
aient leur anniversaire le même jour de l'année ? }
  \end{enumerate}
}


\Sol{
\begin{enumerate}
 \item Le Duc ne tient pas compte de l'ordre des dés !
 \item Le candidat a 2 chances sur 3 de s'être trompé à la première étape, il vaut donc mieux changer.\\
 Reprendre éventuellement l'énoncé avec 100 portes.
 \item on a respectivement : $\simeq 81 \%$, $\simeq 99 \%$, 23 personnes. \\
En fait à partir de $57$ personnes, la probabilité dépasse $99\%$ !
\end{enumerate}
}


\Cadre[Conclusion]{L'intuition ne permet pas toujours de résoudre des problèmes de probabilité. De plus, on est souvent amené
à devoir la justifier pour être sûr de nos réponses ou convaincre d'autres personnes. \\
La théorie des probabilités vit le jour au XVI$^e$ siècle pour cela. \\
La première chose à faire pour résoudre un problème de probabilités
est de \textbf{modéliser} l'expérience aléatoire considérée.
}

\Expl{
Considérons un dé truqué où tous les nombres ont les mêmes chances d'apparitions sauf $1$ et $2$ qui 
apparaîssent deux fois plus. \\
Déterminer la probabilité d'avoir $6$.
}

\Sol{On peut choisir comme univers pour cette expérience l'ensemble $\Omega=\big\{1,2,3,4,5,6\big\}$.\\ 
 La loi de probabilité $P$ convenant alors est telle que : 
$$ P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=a \quad \text{ et } P(1)=P(2)=2a$$
On se rappelle que l'on doit avoir    $\sum_{i=1}^{6} P(i)=1$ \quad d'où 
$$2a+2a+a+a+a+a=1\Longleftrightarrow 8a=1\Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$$ 
Au final, on peut résumer la modélisation cette expérience dans le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8}  $ & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
}


\Cadre[Conclusion]{
Lors de la \textbf{modélisation} d'une expérience aléatoire, on est amené à \textit{choisir} successivement :
\begin{itemize}
 \item Un ensemble contenant au moins toutes les \textbf{issues/éventualités} possibles de l'expérience : 
 on l'appelle \textbf{univers} (souvent noté $\Omega$).
 %\item Des parties de cet univers (appelées \textbf{événements})
 \item Des \textbf{probabilités} pour chacune des issues de cet univers (respectant 3 règles) :
on parle de \textbf{loi de probabilité} sur $\Omega$ .\\
Cette modélisation est souvent présentée sous forme de tableau ou d'un arbre.
\end{itemize}
}

\begin{defi}
 Définir une \textbf{loi de probabilité} $P$ sur un univers $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_i,\dots, \omega_n\big\}$,
 c'est choisir une fonction $P$ qui associe à chaque issue $\omega_i\in\Omega$ un nombre $p_i$ de sorte que :
\begin{itemize}
\item Pour tout $i\in\llbracket 1; n \rrbracket$ :
$$0\leq p_i \leq 1$$
  \item La somme des $p_i$ vaut 1 :
  $$\overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=p_1+p_2+\dots+p_n=1$$
 \item La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités des 
issues $\omega_i$ qui le composent.
\end{itemize}
\textit{Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu'il y a \textbf{équiprobabilité} ou que 
la loi de probabilité $P$ est \textbf{équirépartie}.
}
\end{defi}

\Rqs{
  \item Les deuxième et troisième points impliquent immédiatement que $P(\Omega)=1$ 
  et que pour tout événement $A$, on a $0\leq P(A) \leq 1$
 \item Concrètement, plus on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, plus la fréquence de réalisation 
d'une issue se rapproche d'un nombre correspondant à sa probabilité. \\
Ceci s'appelle \textbf{la loi des grands nombres}. 
}

\Expl{\textit{A l'oral}\\
 Si on ne lance une pièce de monnaie équilibrée que 10 fois, on pourrait s'attendre à obtenir à obtenir une fréquence d'apparition de Face d'environ $\dfrac12=0.5$,
 ie environ 5 fois Face. Mais il arrivera très souvent que l'on obtienne
 une fréquence très différente, telle que $\dfrac4{10}=\dfrac23 \simeq 0.33$.\\
 Obtenir un nombre de Face différent de $5$ change beaucoup la fréquence, puisqu'il n'y a que 10 lancés.\\ 
 
 Alors que si on lance 1000 fois la pièce, on peut s'attendre à obtenir une fréquence d'apparition de Face 
 d'environ $\dfrac12=0.5$, ie \textbf{environ} 500 fois Face, et cela arrivera très souvent.\\
Attention on n'obtient pas forcément exactement 500 fois Face, à cause de la fluctuation d'échantillonnage, 
mais environ 500 fois. \\
Relativement aux 1000 lancés effectués, la fréquence ne changera pas beaucoup, même si on obtient uniquement 450  fois Face.\\
}

\Rq{Il existe de nombreux types d'univers possibles. Pour vous cette année, l'univers sera toujours \textit{fini}.\\
Mais l'an prochain, si tout va bien, vous serez amenés à travailler sur des univers du type : 
\begin{itemize}
 \item $\Omega = \N$ qui est \textit{infini dénombrable} comme dans l'expérience \og Choisir au hasard le numéro une décimale de $\pi$ \fg
 \item $\Omega=\{\text{Nombres premiers}\}$ qui est \textit{infini dénombrable} comme dans l'expérience \og Choisir un nombre premier au hasard \fg 
  \item $\Omega=[0;1]$ qui est \textit{infini indénombrable} comme dans l'expérience \og Choisir au hasard un réel entre 0 et 1 \fg
\end{itemize}
}

\subsection{Ce que vous savez déjà}

\textbf{\underline{Objectifs} : } 
Utiliser les arbres de probabilité vu en seconde et travailler sur les ensembles.

\begin{act}
On dispose de deux urnes. Dans la première notée $U_1$, il y a 5 boules Rouges et 3 boules Noires. 
Dans la seconde notée $U_2$, il y a 4 Rouges et 6 Noires. \\
On choisit au hasard une urne, puis on pioche une boule dedans. On s'intéresse à la couleur obtenue.
\begin{enumerate}
 \item Modéliser l'expérience à l'aide d'un arbre.
 \item On considère les événements suivants : \quad
$U_1$ : \og Choisir l'urne $U_1$ \fg  \qquad\qquad
R : \og Obtenir une boule Rouge \fg\\
Définir en français les événements suivants, puis déterminer leur probabilité :
\begin{multicols}{6}
 \begin{enumerate}
  \item $U_1\cap R$
  \item $R$
  \item $\overline{R}$
 \item $U_1\cup R$
 \item    $U_1\cap \overline{U_1} $
  \item  $U_1\cup \overline{U_1} $
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{act}



\begin{center}
\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|} \hline 
$A\cap B$ & $A\cup B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
\textbf{Intersection de $A$ et $B$ :} Eléments communs de $A$ et $B$
 & \textbf{Réunion de $A$ et $B$ : } Eléments de $A$ ou $B$ (voire les deux)
& \textbf{Complémentaire de $A$ :} Eléments de $\Omega$ non dans $A$
& \textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : Aucun élément commun à $A$ et $B$ \tabularnewline\hline
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=red] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture}
 &
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture} 
&\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}
 & \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
\node at (0.7,0.9) {$A$};
\end{tikzpicture}
\tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}


\Rq{On a toujours
$$\emptyset \subset A \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A\cup \overline{A}=\Omega \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
A\cap \overline{A}=\emptyset$$
}

%\begin{ExoL}
% Repère n$^{\circ}$ 24 p 196 (symboles)
%\end{ExoL}


%\subsection{Quelques propriétés}

\begin{propo}
Pour tous événements $A$ et $B$ de $\Omega$ on a :
$$P(\emptyset)=0 \qquad \qquad \qquad P(\overline{A})=1-P(A) 
\qquad \qquad \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$
\end{propo}

\Dem{Montrons déjà le résultat intermédiaire suivant :\\
\textbf{\underline{Lemme} : } Si deux événements $A$ et $B$ sont \textbf{incompatibles}, alors la probabilité de leur réunion est égale à la somme 
de leurs probabilités :
$$ A\cap B=\emptyset \Longrightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

\textbf{\textit{Preuve du Lemme} : } Si l'un des événements $A$ et $B$ est l'ensemble vide, alors la relation précédente est évidente.\newline
Dans le cas contraire, par définition, $P(A)$ est la somme des probabilités des issues dans $A$, $P(B)$ est la somme des 
probabilités des issues dans $B$ et $P(A\cup B)$ est la somme des probabilités des issues qui sont
soit que dans $A$, soit que dans $B$, soit dans les deux. \\
Or $A$ et $B$ sont disjoints, par conséquent, $P(A\cup B)$ est la somme des probabilités des issues qui sont
soit que dans $A$, soit que dans $B$.
Ainsi $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.\\

Démontrons maintenant chacun des points de la proposition.
\begin{enumerate}
\item  $$1=P(\Omega)=P(\emptyset \cup \Omega) = P(\emptyset) + P(\Omega) = P(\emptyset) +  1 $$
D'où $P(\emptyset) =0$.
 \item $$1=P(\Omega)=P(A \cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$$
D'où $P(\overline{A})=1-P(A)$
 \item Tout repose sur ces découpages en événements disjoints deux à deux :
\begin{multicols}{2}
   $$ A =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$ B =  \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$A \cup B =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right)$$
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1.2cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.3) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=red] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.8,-0.75) {$B\setminus A$};
\node at (0.7,0.7) {$A\setminus B $};
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=orange] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-0.1,-0.1) {$A\cap  B $};
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}
\end{enumerate}
Ainsi 
\begin{eqnarray*}
P(A) + P(B) - P(A\cap B) & = & P\bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)\bigg) + P\bigg( \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right) \bigg) - P(A\cap B)\\
& = &  P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)+P\bigg(A \cap B  \bigg) - P(A\cap B)\\
& = & P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)\\
& = & P \bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right) \bigg) \\
& = & P(A\cup B)
\end{eqnarray*}
D'où $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$.
}


%\begin{ExoF}
%Lors d'une épidémie, $4\%$ de la population d'une île est atteinte par un virus. On met en place un test 
%biologique qui devrait être négatif si la personne n'est pas contaminée.\\
%On a observé les résultats suivants :
%\begin{itemize}
% \item Quand la personne est contaminée, le test est positif dans $99\%$ des cas.
% \item Quand la personne n'est pas contaminée, le test est négatif dans $97\%$ des cas.
%\end{itemize}
%On voudrait savoir la confiance à placer dans ce test.\\
%On considère les événements suivants :
%\begin{itemize}
% \item A : \og La personne est contaminée \fg
% \item B : \og La personne a un test positif \fg
%\end{itemize}
%\begin{enumerate}
% \item Modéliser la situation à l'aide d'un arbre.
% \item Déterminer la probabilité $p$ que le test donne un résultat faux.
 %\item Le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit contaminée ?
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}



%\begin{ExoF}
%On souhaite répondre à la question suivante : dans une même classe, y a-t-il plus d'une chance sur deux pour qu'au moins deux élèves de la classe
%aient la même date d'anniversaire ?\\
%On considérera une classe de $35$ élèves et, pour simplifier, on dira qu'une année comporte 365 jours.
%\begin{enumerate}
% \item Combien existe-t-il de listes différentes contenant $30$ dates d'anniversaire (identiques ou non) ? %\\
%%\textit{On pourra raisonner à l'aide d'un arbre, sans toutefois le réaliser !}
%\item Notons $A$ l'événement \og au moins deux élèves de la classe ont la même date d'anniversaire \fg.
%\begin{enumerate}
% \item Exprimer en français l'événement $\overline{A}$.
%\item Quel est le nombre de cas favorables à $\overline{A}$ ?%\\
%%\textit{On pourra à nouveau raisonner à l'aide d'un arbre.}
%\item Répondre à la question posée en début d'exercice.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}
\newpage
 \begin{minipage}{8cm}
\begin{ExoF} \textbf{La loi des Grands Nombres}\\
Norbert, un élève syldave studieux, lance des fléchettes sur une cible carrée de côté 1. Il atteint toujours la cible (ie le carré de côté 1) mais comme il n'est pas très doué, il pense 
que sa probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à
l'aire de cette zone.\\
Il s'intéresse à la probabilité d'atteindre la zone sous la parabole $y=x^2$. Malheureusement, 
il ne sait pas encore calculer cette aire (il l'apprendra l'an prochain en Terminale S).\\
Il cherche donc à l'estimer par l'expérience, et pour cela, il a rédigé l'algorithme ci-dessous.
\end{ExoF}
 \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=6cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.1)(1.5,1.2)
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\rput{0}(0,0){\psplot{0}{1}{x^2/2/0.5}}
\psline{<-}(0.71,0.5)(1.1,0.45)
\rput[tl](0.2,0.82){$y ~....~x^2$}
\rput[tl](0.72,0.32){$ y ~.... ~x^2 $}
\rput[bl](1.15,0.4){$y ~....~ x^2$}
\rput[bl](-0.2,0.01){{$A (0, 0)$}}
\rput[bl](1.01,0.01){{$B (1, 0)$}}
\rput[bl](1.01,1.01){{$C (1, 1)$}}
\rput[bl](0.01,1.01){{$D (0, 1)$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer en quoi cet algorithme simule le lancer de fléchettes en détaillant ce que représentent 
  $X$, $Y$, $N$, $A$ et $K$.
 \item Que représente l'affichage pour le problème de Norbert ?
 \item En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, simuler 500 lancers et noter l'affichage en sortie.
 \item Relancer votre programme plusieurs fois en notant les affichages successifs. \\
 Est-ce toujours les mêmes ? Pourquoi ?
 \item Simuler 1\,000 lancers et en déduire une valeur approchée de l'aire sous la parabole.
\end{enumerate}
\Rq{
Cette méthode s'appelle la méthode de Monte Carlo. On peut aussi l'utiliser pour trouver une valeur approchée de $\pi$. \\
Il suffit de considérer la courbe représentative de la fonction $y=\sqrt{1-x^2}$ sur $[0,1]$ qui dessine un quart de cercle
dans un carré de côté 1. Cependant, il faut beaucoup de lancers pour obtenir une bonne approximation de $\pi$.
}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{Algo}{8cm}{
  \Variable{N est un entier naturel\\
  X et Y sont des réels compris entre 0 et 1}
\Entree{A prend la valeur 0}
    \Deb{
  Saisir N\\
  \For{~K allant de 1 à N~}{
  X prend une valeur aléatoire entre 0 et 1\\
  Y prend une valeur aléatoire entre 0 et 1\\
  \IfThenElse{~$Y>X^2$~}{A prend la valeur A+1}{K prend la valeur K+1}
  }
  }
  \Sortie{Afficher $\dfrac{A}{N}$}
  }
 \end{Algo}
 \end{minipage}

\newpage
\section{Variable aléatoire}

\subsection{Définition}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Introduire la notion de variable aléatoire, 
 \item Etablir la loi de probabilité d'une variable aléatoire,
 \item Introduire la notion d'espérance et la critiquer.
 \end{itemize}
 
 
\begin{act}
L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est géré dans les bureaux du
ministère, en si\-mulant sur odinateur le lancé d'un dé pour chaque élève virtuel, 
le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Préciser l'univers $\Omega$ de cette expérience.
	\item Déterminer la probabilité $p$ de l'événement A : \og  Obtenir un nombre impair \fg
       \end{enumerate}
 \item On convient que lorsque le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 14, s'il tombe sur un numéro impair, il a 5.\\
On désigne par $X$ le procédé qui, selon la simulation, associe à chaque face la note d'un élève.
\begin{enumerate}
 \item Compléter $X(6)= \dots$, $X(4)= \dots $, $X(5)= \dots$.\\
  Quel \og objet mathématique \fg \, reconnaissez-vous dans $X$ ?
 \item Quel est l'univers, noté $X(\Omega)$, de cette nouvelle expérience aléatoire ? 
 \item On note $(X=5)$ l'événement \og L'élève obtient la note $5$ \fg\\
Quel lien existe-t-il entre A et $(X=5)$ ? En déduire $P(X=5)$.
\item On note $x_i$ les différentes valeurs prises par $X$.\\
Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $5$ &  &  & Total  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ &  &  &  & \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
Doit-on s'étonner du résultat de la case Total ?
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
        \item Quelle moyenne nationale peut espérer obtenir le ministre ? 
	\item Cette moyenne nationale est-elle une moyenne ?
	\item Cette moyenne nationale sera-t-elle effectivement atteinte~?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}




\begin{defi}
On appelle \textbf{variable aléatoire} toute fonction d'un univers $\Omega$ à valeurs dans $\R$, notée en général $X$.\\
Autrement dit, définir une variable aléatoire sur un univers c'est associer à chaque issue un réel, 
appelé de manière générale \og gain \fg, pouvant être positif, négatif ou nul. 
\end{defi}


%\Expl{On lance trois pièces de monnaie. Le jeu qui consiste à 
%gagner $1$ $\euro$ chaque fois que $F$ apparaît et à perdre $1$ $\euro$ chaque fois que $P$ apparaît.\\
%La fonction $X$ qui, à chaque issue, associe le gain (positif ou négatif) correspondant, 
%est une variable aléatoire sur $\Omega$.
%On a : \\
%$X(PPP)=-3$, \quad $X(PPF)=X(PFP)=X(FPP)=-1$, \quad $X(PFF)=X(FFP)=X(FPF)=1$ \quad
%et \quad $X(FFF)=3$.
%}


\begin{defi}[et Proposition \textit{Admise}]
Avec les notations précédentes, si $x_1, x_2, \dots , x_m$ désignent les valeurs prises par $X$, on note $(X=x_i)$ l'événement \og la variable 
aléatoire $X$ prend la valeur $x_i$ \fg .\\
La \textbf{loi de probabilité} d'une variable aléatoire $X$ est la fonction de 
$\{x_1, x_2, \dots , x_m\}$ dans $[0;1]$, qui à chaque gain $x_i$ associe le nombre $P(X=x_i)$.
\end{defi}

\Rqs{\item Il s'agit bien d'une loi de probabilité sur $\{x_1, x_2, \dots , x_m\}$. Toutes les propriétés
rappelées dans le I) sont donc encore vraies.
\item On représente en général cette loi à l'aide d'un tableau du type :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\dots$ & $x_m$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ & $ p_1$ & $ p_2 $ & $ \dots $ & $ p_m $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{On utilisera désormais toutes ces notations.}
}

%\Expl{Dans l'exemple ci-dessus, la loi de probabilité du gain $X$ est résumée dans le tableau suivant :}
%\begin{table}[h]
%\center
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
%\hline
%\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $x_i$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$  & Total \tabularnewline\hline
%\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{1}{8}$ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $  & $1$\tabularnewline\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{table}

\Expl{
Les derniers syldaves fonctionnaires touchant un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher à l'état. Un nouveau système de
rémunération en neurones a été mis au point :\\
Le fonctionnaire doit chaque mois verser un impôt de $1\,000$
neurones à l'état puis il lance un dé. S'il sort un $6$, il
touche $3\,000$ neurones. Dans les autres cas, l'état ne lui verse rien.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire sur $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ qui, à chaque issue associe le gain
(positif ou négatif) en neurones d'un fonctionnaire. On a :\\
$$X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=-1000 \qquad \text{ et } \qquad X(6)=2000 $$
La loi de probabilité du gain $X$ est résumée dans le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $x_i$ & $-1000$ & $2000$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{5}{6}$ & $ \dfrac{1}{6} $ & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
}




\begin{ExoF}
Dans le club de Norbert, plusieurs activités sont proposées dont le tir à l'arc et le golf. La cotisation de base 
pour adhérer au club est de $30\euro$ auxquels s'ajoutent éventuellement :
\begin{multicols}{2}\begin{itemize}
 \item $50\euro$ pour pratiquer le tir à l'arc
 \item $80\euro$ pour pratiquer le golf.
\end{itemize}
\end{multicols}
Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. On choisit 
un adhérent au hasard et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque adhérent sa cotisation.
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les différentes valeurs prises par $X$ et dans quels cas ?
  \item Donner la loi de probabilité de $X$.
  \item En déduire la probabilité qu'un adhérent pratique au moins l'un des deux sports.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Ce tableau présente la loi de probabilité $P$ associée à une variable aléatoire $X$.
 \begin{center}
  \begin{tabular}{*{6}{|C{2cm}}|}\hline
  $X$ & $-2$ & $0$ & 3 & 5 & 10 \tabularnewline\hline
 \vrule width 0in height 25pt $P(X=x_i)$ &  $\dfrac{5}{14}$ & $a$ & $\dfrac{1}{7}$ & $b$ & $\dfrac{1}{14}$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
 \end{center}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
 \item Déterminer $a$ et $b$ sachant que les événements $X=a$ et $X=b$ sont équiprobables.
 \item Calculer $P(X\leq 4)$.
 \item Imaginer un jeu dont les probabilités de gain seraient données par le tableau ci-dessus.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Fabrice, le petit frère de Norbert, veut faire une blague à Norbert. Il lui a acheté 4 bonbons sans lui dire les parfums. 
 Il y en a 1 à la menthe (M), 1 à la fraise (P), et 2 au kumiss (K).\\
 \textit{Le Kumiss est une boisson Kirghize, à base de lait de jument fermentée.}\\
 Norbert les a mis dans son sac et compte chaque jour, en mangé un, pioché au hasard, cependant :
 \begin{itemize}
  \item S'il tombe sur un bonbon au kumiss dès le premier jour, il n'en mange pas d'autres, pensant qu'ils sont 
  tous au même parfum
  \item Sinon, il continue d'en manger tant qu'il n'a pas mangé le deuxième bonbon au kumiss.
 \end{itemize}
 Fabrice s'intéresse évidemment à l'ordre dans lequels seront mangés les bonbons.
 \begin{enumerate}
  \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre.
  \item Combien y a-t-il d'issues ?
  \item Quelle est la probabilité que Fabrice mange un bonbon au kumiss le premier jour ?
 \item Fabrice se demande si Norbert mangera les deux bonbons au kumiss ou non. Il appelle $X$ la variable aléatoire
  qui donne le nombre de bonbons au kumiss mangés par Norbert. Donner la loi de probabilité de $X$.
  \item Fabrice s'intéresse aussi évidemment au jour où Norbert mangera son premier bonbon au kumiss. 
  On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne ce jour.\\
  Donner la loi de probabilité de $Y$.
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On tire avec remise deux cartes d'un jeu de 32 cartes. Soit $X$ la variable aléatoire donnant 
 le nombre d'as obtenus.
 Donner la loi de probabilité de $X$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La finale d'un master de tennis oppose Roger et Raphaël. Le premier qui gagne deux sets remporte le prix.
 On considère que Roger a deux fois plus de change de gagner un set.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la probabilité $p$ que Roger gagne un set ?
  \item Donner une représentation de la situation.
  \item On définit par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de sets disputées pour déterminer le vainqueur du master.\\
  Donner la loi de $X$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\subsection{Espérance}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Manipuler Algobox 
 \item Donner du sens à la notion d'espérance, 
 \item Observer la loi des grands nombres.
\end{itemize}


\begin{act}
On reprend le contexte de l'activité précédente et
on donne l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
Dé, i, N sont des nombres entiers\\
Effectif est une liste à deux éléments
}
\Deb{
 Saisir  N\\
 Effectif$[1]$ et Effectif$[2]$ prennent la valeur 0\\
 \For{i allant de 1 à N}
  {Affecter à Dé un entier aléatoire entre 1 et 6\\
   \IfThenElse{$Dé==6$}
    {Affecter à Effectif[1] la valeur Effectif[1]+1}
    {Affecter à Effectif[2] la valeur Effectif[2]+1}\\
}\\\\
Afficher Effectif[1]\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Programmer cet algorithme sur Algobox et le tester.
 \item Que fait-il ? \\
\textit{On précisera ce que représente chacune des variables}
\item Modifer ce programme pour qu'il simule l'attribution des notes en Syldavie et qu'il renvoit
les effectifs de chaque note. Le tester.
 \item Modifier votre dernier programme pour qu'il renvoit la moyenne nationale obtenue.
\item Effectuer un simulation pour $10$ élèves, puis $100$ puis $1\,000$. \\
Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
\end{act}


\begin{defi}
L'espérance mathématique de $X$ est le nombre $E(X)$ définie par : 
$$ E(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i\times p(X=x_i)= \ds\sum_{i=1}^mx_ipi= p_1x_1+p_2x_2+\dots +p_mx_m $$
\end{defi}

\newpage
\Rqs{
 \item Lors d'un grand nombre d'expériences, le gain moyen d'un joueur se stabilise aux environs de $E(X)$.
 \item On interprète l'espérance comme le gain moyen que peut espérer un joueur par partie, 
s'il joue un grand nombre de fois. On parlera donc de jeu favorable, défavorable ou équitable en 
fonction du signe de $E(X)$.
}

\Expls{
\begin{enumerate}
  \item Dans l'exemple précédent du salaire des fonctionnaires en Syldavie, calculer $E(X)$.
\item Les entreprises privées décident de payer leurs salariés selon le même modèle, mais elles 
proposent $6\,000$ neuronnes à la place de $3\,000$ (avec la même mise initiale).\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_S$ correspondante et calculer $E(X_S)$.
\item Les banques se calquent aussi sur ce modèle mais elles utilisent un dé à $100$ faces, 
une mise initiale de $1$ million de neurones et un gain éventuel de $1$ milliard de neurones.\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_A$ correspondante et calculer $E(X_A)$.
\item Interpréter et critiquer l'ensemble de vos résultats. 
\end{enumerate}
}

\begin{ExoF}
Norbert propose un jeu à son frère Fabrice. Il dispose de trois roues comportant 12 secteurs angulaires
de même aire chacune. 
\begin{center}
 \newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){2}
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.73,-1)(1.73,1)
\psline(-1,-1.73)(1,1.73)
\psline(0,-2)(0,2)
\psline(1,-1.73)(-1,1.73)
\psline(1.73,-1)(-1.73,1)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{-1.047197551196598}{-0.5235987755982994}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{-2.6179938779914944}{-2.0943951023931957}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[lt](-1.4,-2.52){\parbox{3.5 cm}{Mise : 2 crêpes\\  Gain : 8 crêpes}}
\end{pspicture*}\quad 
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){2}
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.73,-1)(1.73,1)
\psline(-1,-1.73)(1,1.73)
\psline(0,-2)(0,2)
\psline(1,-1.73)(-1,1.73)
\psline(1.73,-1)(-1.73,1)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{-2.6179938779914944}{-2.0943951023931957}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{2.0943951023931953}{2.617993877991494}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{1.5707963267948963}{2.094395102393195}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[lt](-1.2,-2.52){\parbox{2.8 cm}{Mise : 1 crêpe\\  Gain : 4 crêpes}}
\end{pspicture*} \quad 
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){2}
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(-1.73,-1)(1.73,1)
\psline(-1,-1.73)(1,1.73)
\psline(0,-2)(0,2)
\psline(1,-1.73)(-1,1.73)
\psline(1.73,-1)(-1.73,1)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{-1.047197551196598}{-0.5235987755982994}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{-2.6179938779914944}{-2.0943951023931957}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{0.5235987755982987}{1.0471975511965974}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{1.0471975511965976}{1.5707963267948966}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\parametricplot{1.5707963267948963}{2.094395102393195}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[lt](-1.2,-2.52){\parbox{2.8 cm}{Mise : 1 crêpe\\  Gain : 2 crêpes}}
\end{pspicture*}
\end{center}
Norbert propose à Fabrice de choisir une roue, et lui dit qu'il gagne lorsque la roue s'arrête sur le vert.\\
Quelle roue doit choisir Fabrice (sachant qu'il est très gourmand) ?
\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
%Fabrice veut lui aussi proposer un jeu à son frère Norbert. Il possède une urne contenant 10 boules blanches et $n$ boules noires ($n \geq 2$).
%Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche obtenue, Norbert gagnera 2 billes et pour chaque boule
%noire, il perdra 3 billes.\\
%On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique (ie éventuellement négatif) de billes de Norbert.\\
%\partieBac{Norbert tire une boule}
%\begin{enumerate}
% \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
% \item Donner la loi de probabilité de $X$
% \item Exprimer $E(X)$ en fonction de $n$
% \item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles le jeu est défavorable.
%\end{enumerate}
%\partieBac{Norbert tire deux boules successivement et sans remise}
%\begin{enumerate}
% \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
% \item Donner la loi de probabilité de $X$
% \item Exprimer $E(X)$ en fonction de $n$
% \item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles le jeu est défavorable.\\
% \textit{On pourra s'aider d'un tableau de valeurs.}
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}




\begin{ExoF}
 Pendant ses vacances d'été, Norbert aide sa mère à entraîner $30$ yaks au saut d'obstacles dans la boue. 
 Un yak n'est admis en compétition nationale que s'il est capable d'exécuter le parcours en moins de 5 minutes.\\
 Un tiers des yaks sont entraînés par Norbert, $20\%$ par son frère Fabrice et le reste par leur mère Laurence.\\
  Laurence amène les $5/7^e$ des ses yaks à la compétition, Norbert réussit pour $50\%$ de ses yaks, tandis que Fabrice y parvient 
 pour $40\%$.\\
 On choisit un yak au hasard et on s'intéresse aux événements suivants :
\begin{multicols}{2}
  \begin{itemize}
  \item L : \og Le yak est entraîné par Laurence \fg
  \item F : \og Le yak  est entraîné par Fabrice \fg
  \item N : \og Le yak  est entraîné par Norbert \fg
  \item C : \og Le yak est capable de participer à la compétition nationale \fg
 \end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \item Donner une représentation de la situation
 \item Calculer $p(L)$
 \item Déterminer $p(\overline{L} \cap C)$ et $p(\overline{L} \cap \overline{C})$
 \item Un yak qui est capable de participer à la compétition est vendu ensuite $5\,000\euro$ sur le marché européen, 
 tandis que les  autres sont cédés à $3\,000\euro$.\\
 On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le prix d'un yak de cette famille sur le marché européen. 
 \begin{enumerate}
 \item Donner la loi de probabilité de $X$.
 \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\subsection{Variance et écart-type}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Réinvestir ce que les élèves viennent d'apprendre sur les variables aléatoires.
 \item Parler d'étendue, écart interquartile, écart à la moyenne (sans valeur absolue, avec) ... suivant leurs idées (recherche en groupe)
 \item Introduire le sens de la variance et de l'écart-type.
\end{itemize}

\begin{act}
On reprend l'activité sur les notes d'élèves de Syldavie. \\
Pour rentrer à l'université de Springfield, ils sont mis en compétition avec les élèves de Groland. \\
Cette université privilégie les élèves du pays au meilleur résultat moyen espéré et à leur régularité.\\
A Groland, on a également décidé de tirer les résultats du baccalauréat aux dés. Voici la règle :
Lorsqu'on obtient 6 au dé, l'élève a 20. Un autre nombre pair fournit un 7 à l'élève. 
Ensuite s'il sort 1, l'élève a 
5, s'il sort 3, l'élève a 10 et enfin, s'il sort 5, l'élève a 14.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la moyenne nationale que peut espérer obtenir Groland.
 \item De quels moyens dispose-t-on pour comparer la régularité de chacun des pays ?
\end{enumerate}
\end{act}

\underline{Question subsidiaire pour donner de suite une formule praticable} :
Montrer que 
$$\sum_{i=1}^m \big(x_1-E(X)\big)^2p_i=\ds\sum_{i=1}^mx_i^2pi-\big(E(X)\big)^2$$

\Dem{
\begin{eqnarray*}
   \sum_{i=1}^m \big(x_1-E(X)\big)^2p_i 
&=& \sum_{i=1}^m \left(x_i^2-2x_i E(X) + \left(E(X)\right)^2 \right) p_i\\
&=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)\sum_{i=1}^m x_ip_i + \big(E(X)\big)^2 \sum_{i=1}^m  p_i\\
 &=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)E(X) + \big(E(X)\big)^2 \times 1\\
&=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-\big(E(X)\big)^2
\end{eqnarray*}
}

\begin{defi}
La variance de $X$ est le nombre $V(X)$ obtenu par la calcul suivant :
$$V(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i^2pi-\big(E(X)\big)^2=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p3+...+x_m^2p_m - \big(E(X)\big)^2$$
L'écart-type de $X$ est le nombre $\sigma(X)$ défini par : 
$$ \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$
\end{defi}


\Rqs{\item En réalité, la variance est définie par la formule 
$$ V(X)=\ds\sum_{i=1}^m [x_i-E(X)]^2 p(X=x_i) =\ds\sum_{i=1}^m  [x_i-E(X)]^2 pi=[x_1-E(X)]^2p_1+\dots +[x_m-E(X)]^2p_m$$
Il est alors clair que la variance est toujours positive.\\
Les carrés sont là pour ne pas avoir de problèmes de signes et rappellent la distance euclidienne, bien connue.\\
La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. L'écart-type définit donc une distance proprement 
dite.
\item La variance permet de quantifier la régularité d'une variable aléatoire mais on
interprète plutôt l'écart-type à cause du problème d'unité.\\
L’écart-type est une caractéristique de la dispersion des valeurs de $X$ autour de $E(X)$, 
autrement dit, cela représente le risque du jeu.
}




\Expl{Dans l'exemple précédent sur les différents salaires en Syldavie, 
\begin{enumerate}
 \item Calculer la variance et l'écart-type de $X$.
 \item Interpréter vos résultats.
 \item Vérifier vos résultats grâce aux indicateurs statistiques de votre calculatrice, en suivant 
l'une des procédures suivantes, puis calculer la variance et l'écart type des variables  $X_S$ et $X_A$. 
\end{enumerate}
}


\Cadre[TI82, 83 et 84]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Taper \fbox{stats} et valider le choix de \textbf{\texttt{EDIT}} et 
\textbf{\texttt{1:Edite}} par \fbox{enter}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la liste L1, et les probabilités dans la liste L2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
 \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Par \fbox{stats}, choisir \textbf{\texttt{CALC}} et 
\textbf{\texttt{1:Stats 1-Var}} en validant par \fbox{enter}
 \item \textbf{\texttt{Stats 1-Var}} apparait à l'écran. \\
Préciser les listes concernées en saisissant à la suite $L_1,L_2$ grâce aux touches 
\fbox{2nde} \fbox{1} \fbox{,} \fbox{2nde} \fbox{2}
 \item Valider par \fbox{enter} pour obtenir les indicateurs.\\
  La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Par \fbox{stats} \fbox{4}, choisir \textbf{\texttt{4:EffListe}} 
 \item \textbf{\texttt{EffListe}} apparaît à l'écran. \\
Préciser les listes concernées en saisissant à la suite leur nom, 
séparés d'une virgule.
 \item Valider par \fbox{enter}
\end{itemize}
}

\vspace{1.5cm}

\Cadre[TI89]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item Pour accéder au menu de statistiques, appuyer sur la touche \fbox{APPS} 
\item Sélectionner \textbf{\texttt{6:Data/Matrix Editor}} puis 
\textbf{\texttt{3:New}}
 \item Donner un nom à la variable (par exemple \textit{salaires}) qui désigne le dossier où seront enregistrer
les listes. 
 \item Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire dans la liste c1, et les probabilités dans la liste c2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Taper \fbox{F5}, et vérifier que vous avez :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{Calculation Type : OneVar}}
 \item  \textbf{\texttt{Freq and Categories : YES}}
 \item \textbf{\texttt{Freq : c2}} 
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{enter}\\
 La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Dans l'éditeur de matrice courant, choisir \textbf{\texttt{1:Current}} 
 \item Choisir \textbf{\texttt{F1}} puis \textbf{\texttt{8: Clear Editor}}. 
\end{itemize}
}

\newpage

\Cadre[Casio 35+, 65 et 85]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Par \fbox{Menu}, choisir le menu \textbf{\texttt{STAT}} et 
valider par \fbox{EXE}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la liste List 1, et les probabilités dans la liste List 2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Sur le même écran, choisir \textbf{\texttt{CALC}} par la touche \fbox{F2} située en dessous.
 \item Choisir \textbf{\texttt{SET}} par \fbox{F6} pour définir les listes concernées.\\
Vérifier que vous avez :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{XList : List1}}
 \item \textbf{\texttt{Freq : List2}}
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{EXE}.
 \item Choisir \textbf{\texttt{1 VAR}} par \fbox{F1} pour obtenir les indicateurs.\\
 La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Dans le menu \textbf{\texttt{STAT}}, sélectionner un élément de la liste à effacer.
 \item Puis choisir \textbf{\texttt{DEL-A}} par les touches \rotatebox{90}{\fbox{$\triangledown$}} \fbox{F4}
 \item Valider par \fbox{EXE}
\end{itemize}
}

\vspace{1.5cm}
\Cadre[TI Nspire CX CAS]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Choisir \texttt{Ajouter Tableur $\&$ Listes}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la colonne A, et les probabilités dans la colonne B.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Appuyer sur \fbox{menu} + \fbox{4: Statistiques} +  \fbox{1: Calcul statistique} + \fbox{1: Statistiques à une variable}
 \item Remplir \textbf{\texttt{Nbre de listes :} 1}. Puis :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{Liste des X1 : }a[\,]}
 \item \textbf{\texttt{Liste des fréquences :} b[\,]}
 \item Laisser le reste tel quel.
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{enter}.\\
  La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer la table (une page) :}
\begin{itemize}
 \item Appuyer sur \fbox{ctrl} + \fbox{$\blacktriangle$}\\
  Les pages du classeur s'affichent toutes en petit. 
 \item Sélectionner celle de votre choix grâce aux flèches et appuyer sur \fbox{del}
\end{itemize}
}
\newpage

Dans les quatre cas, la calculatrice affiche dans l'ordre :
\begin{itemize}
 \item $\overline{x}$ : la moyenne pondérée 
 \item $\sum x$ : la somme pondérée des valeurs, ie $\sum x_ip_i$ (ici c'est la même chose que $\overline{x}$)
 \item $\sum x^2$ : la somme pondérée des carrés des valeurs, ie $\sum x_i^2p_i$  (utile pour le calcul de la variance)
 \item $Sx$ : sans valeur quand les coefficients sont des probabilités)
 \item $\sigma x$ : l'écart-type 
 \item $n$ : l'effectif, ie $\sum p_i$ (donc ici $n=1$)
 \item minX : la plus petite valeur prise par $X$
 \item $Q_1$ : le premier quartile
 \item Med : la médiane 
 \item $Q_3$ : le troisième quartile 
 \item maxX : la plus grande valeur de $X$\\
\end{itemize}

\begin{ExoF}
 On définit les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ par leurs lois de probabilités ci-dessous :
 \begin{center}
  \begin{tabular}{|C{1.6cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|}
\hline
 $x_i$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$  & $2$  \tabularnewline\hline
 $P(X=x_i)$ & 0,25 & 0,35  & 0,2  & 0,1  & 0,1\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\quad\begin{tabular}{|C{1.6cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|C{0.9cm}|}
\hline
 $y_i$ & $-3$ & $-2$ & $0$ & $2$  & $3$  \tabularnewline\hline
 $P(Y=y_i)$ & 0,15 & 0,3 & 0,25  & 0,15  &0,15\tabularnewline\hline
\end{tabular}
 \end{center}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant la calculatrice, déterminer l'espérance et l'écart-type de $X$, puis de $Y$.
 \item On définit la variable aléatoire $Z=X+Y$.
 \begin{enumerate}
   \item Quelles sont les valeurs prises par $Z$ ? 
   \item Donner sa loi de probabilité (on pourra s'aider d'un arbre).
   \item Calculer son espérance. Que constatez-vous ?
   \item Le même constat peut-il être fait sur la variance de $Z$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Norbert lance $n$ dés ($n\geq 1$). 
Le jeu consiste à miser $2\euro$, puis si on obtient au moins un $6$, 
on remporte $3\euro$.
\begin{enumerate}
 \item On note $A$ l'événement \og obtenir au moins un $6$\fg
\begin{enumerate}
\item Décrire $\overline{A}$ en français puis exprimer en fonction de $n$ la probabilité $P(\overline{A})$.
\item En déduire que $P(A)$ en fonction de $n$.
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{3.5cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Nombres de dés $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \tabularnewline\hline
 $P(A)$ & \vrule width 0in height 30pt &  &   &   & & & &\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Combien de dés faut-il pour que la probabilité d'obtenir au moins un six soit supérieure à $ \dfrac{2}{3}$ ?
\end{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain du joueur.
\begin{enumerate}
 \item Donner la loi de probabilité de $X$ en fonction de $n$.
 \item Calculer $E(X)$ en fonction de $n$.\\
% \item 
Combien de dés faut-il pour que le jeu soit favorable au joueur ? Est-on surpris ?
 \item Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$ dans ce cas. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Norbert veut davantage d'argent de poche. Il propose à sa mère de lancer une pièce équilibrée trois fois de suite.\\
 Les règles du jeu sont ensuite expliquées par l'algorithme suivant.
  \Algo{12cm}{
  \Var{$a$, $b$ et $c$ sont trois entiers naturels.}
  \Deb{Affecter à $a$ un entier aléatoire compris entre 0 et 1\\
  Affecter à $b$ un entier aléatoire compris entre 0 et 1\\
  \IfThenElse{$a\neq b$}{Afficher le message \og Perte de 20 $\euro$ \fg}
  {Affecter à $c$ un entier aléatoire compris entre 0 et 1\\
  \IfThenElse{$a\neq c$}{Afficher le message \og Perte de 20 $\euro$ \fg}
  {Afficher le message \og Gain de 30 $\euro$ \fg}
  }
  }
  }
   On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique de Laurence.
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer simplement les règles du jeu proposé par Norbert.
  \item Donner la loi de probabilité de $X$. \\
  \textit{On pourra s'aider d'un arbre}
  \item Calculer l'espérance mathématique de cette loi.\\
  Le jeu est-il équitable ? Expliquer en interprétant.
  \item Calculer l'écart-type de cette loi. Le jeu est-il risqué ?
  \item Laurence refuse de jouer ainsi, mais elle accepterait si le jeu était équitable.\\
  Combien Norbert doit-il lui proposer de perdre pour cela (sans changer le gain) ? 
  \item Dans ces conditions, le jeu est-il risqué ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivants, dire s'il existe des liens logiques entre les affirmations $A$ et $B$.
\begin{enumerate}
 \item A : \og La variable aléatoire $X$ prend ses valeurs parmi 2, 3 et 5 \fg \qquad\qquad\quad B : \og $E(X)\geq 2$ \fg
 \item A : \og La variable aléatoire $X$ peut prendre des valeurs positives \fg \qquad\qquad B : \og $E(X)\geq 0$ \fg
 \item A : \og $V(X)\geq 0$ \fg \qquad\qquad B : \og $E(X)\geq 0$ \fg
 \item A : \og $V(X)\geq 1$ \fg \qquad\qquad B : \og $\sigma(X)\geq 1$ \fg
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
\textbf{Repère} :  68 p 204 (arbres)
\end{ExoL}

\Pbl[DM 1 : Série Noire]{
On dispose d'une urne contenant $10$ boules blanches et des boules noires.\\
Une expérience consiste à piocher au hasard une boule dans l'urne, noter sa couleur, 
la remettre dans l'urne et piocher une seconde boule.\\
On associe à cette expérience la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules blanches obtenues.
\begin{enumerate}
 \item La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{9}{64}$ & $ \dfrac{30}{64} $ & $\dfrac{25}{64}$ &$1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
Combien y-a-t-il de boules noires dans l'urne ?
\item On se place dans le cas précédent et on considère le jeu suivant : pour une certaine mise, un joueur remporte
 $1\euro$ par boule blanche piochée.\\
Quel doit être le montant de la mise pour que le jeu soit équitable ?
\item Calculer l'écart-type dans le cas d'un jeu équitable. Que mesure ce nombre ?
\end{enumerate}
}


\subsection{Linéarité}

\begin{act}
A Groland, le système de rémunération des fonctionnaires est le même que celui de Syldavie, mais la
monnaie est le moustique, dont le taux est de $4$ moustiques pour $1$ neurone. De plus, un salarié doit
verser un impôt supplémentaire de $1000$ moustiques au départ.
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ donnant le gain d'un
fonctionnaire en moustiques.
 \item Exprimer la variable aléatoire $Y$  en fonction de la variable $X$ 
de l'exemple précédent.
 \item Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $E(Y)=4E(X)-1000$. En déduire $E(Y)$
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $V(Y)=16E(X)$, sans calculer $V(Y)$. En déduire $V(Y)$.
 \end{enumerate}
\end{act}

\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels.\\% et $Y$ une variable aléatoire sur $\Omega$.\\
L'espérance est linéaire : $E(aX+b)=aE(X)+b$\\
On en déduit la formule : $V(aX+b)=a^2V(X)$
\end{prop}


\Dem{
\begin{eqnarray*}
 E(aX+b)= \sum_{i=1}^m   \big(ax_i+b\big)p_i &=& \sum_{i=1}^m \big(ax_ip_i + bp_i \big) \\
&=& \sum_{i=1}^m ax_ip_i + \sum_{i=1}^m bp_i \\
&=& a\sum_{i=1}^m x_ip_i + b\sum_{i=1}^m p_i \\
&=& a E(X) + b
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
 V(aX+b)&=&\sum_{i=1}^m \big(ax_i+b)^2pi-\big(E(aX+b)\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m \big(a^2x_i^2+2abx_i+b^2)pi-\big(aE(X)+b\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m a^2x_i^2p_i + 2ab\sum_{i=1}^m x_ip_i+b^2\sum_{i=1}^m pi-\big(a^2E^2(X)+2abE(X)+b^2\big)\\
&=& a^2\sum_{i=1}^m x_i^2p_i + 2abE(X)+b^2-a^2E^2(X)-2abE(X)-b^2\\
&=& a^2\left(\sum_{i=1}^m x_i^2p_i-E^2(X) \right)\\
&=& a^2V(X)
\end{eqnarray*}
}

\Expl{
A Groland, le système de rémunération des salariés et des actionnaires est le même qu'en Syldavie, 
mais en moustiques. De plus, le premier ne demande pas de mise initial, et le
second donne systématiquement une prime de $500 000$ moustiques.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer les variables aléatoires $Y_S$ et $Y_A$ donnant respectivement le salaire des salariés et des actionnaires
à Groland.  
 \item En déduire $E(Y_S)$, $\sigma(Y_S)$, $E(Y_A)$ et $\sigma(Y_A)$.
 \item Interpréter.
\end{enumerate}
}



\begin{ExoF}
 Une urne contient $n+5$ boules : 5 blanches et $n$ noires ($n\geq 3$). 
 Tous les tirages sont supposés équiprobables.\\
 Norbert tire des boules de l'urne. Pour chaque boule noire tirée, il perd 1 $\euro$ et pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 $\euro$.
 \begin{enumerate}
  \item Dans cette question,  Norbert tire deux boules, successivement et avec remise.\\
  On définit par $X$ la variable aléatoire égale à son gain.
  \begin{enumerate}
   \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
   \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
   \item Calculer en fonction de $n$ l'espérance mathématique du gain de Norbert. \\
   Y a-t-il une valeur de $n$ pour laquelle le jeu est équitable ? Si oui, laquelle ?
     \end{enumerate}
 \item Dans cette question,  Norbert tire deux boules, successivement et sans remise.\\
  On définit par $Y$ la variable aléatoire égale à son gain.
  \begin{enumerate}
   \item Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ?
   \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
   \item Calculer en fonction de $n$ l'espérance mathématique du gain de Norbert. \\
   Y a-t-il une valeur de $n$ pour laquelle le jeu est équitable ? Si oui, laquelle ?
   \item Fabrice déclare qu'elle ne joue que si $n\leq 10$. Expliquer pourquoi.
     \end{enumerate}
     \item Dans cette question, pour pouvoir jouer, on doit donner 2 $\euro$.
     \begin{enumerate}
      \item Dans les deux cas précédents, quelle est la nouvelle espérance ?
      \item Fabrice ne souhaite pas jouer. Pourquoi ?
     \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivants, dire si les affirmations A et B sont équivalentes $A$ et $B$.
\begin{enumerate}
 \item A : \og $E(X)\leq -2$ \fg \qquad\qquad\quad B : \og $E(-2X)\geq 0$ \fg
 \item A : \og $E(X)> -4$ \fg \qquad\qquad B : \og $E(2X+8)> 0$ \fg
 \item A : \og $V(3X+4)\geq 4$ \fg \qquad\qquad B : \og $\sigma(X)\geq 4$ \fg
 \item A : \og $V(X-11)\leq 4$ \fg \qquad\qquad B : \og $\sigma(X)\geq 4$ \fg
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\Pbl[AP : Prenez des initiatives par groupe de trois]{
 Norbert a construit un appareil de jeu contenant quatre boules blanches ($B_1$, $B_2$, $B_3$ et $B_4$)
 et trois boules rouges ($R_1$, $R_2$ et $R_3$).\\
 Lorsque l'on introduit un jeton dans l'appareil, trois boules tombent dans un panier. 
 Toutes les boules ont la même probabilité de tomber  dans le panier. \\
 Si les trois boules obtenues sont rouges, son frère Fabrice (le joueur) gagne un faux billet de 100 $\euro$.\\
 Si seulement deux des boules obtenues sont rouges, Fabrice gagne gagne un faux billet de 15 $\euro$.\\
  Si une seule des boules obtenues est rouge, Fabrice gagne gagne un faux billet de 5 $\euro$.\\
  Si les trois boules sont blanches, Fabrice ne gagne rien.\\
  \\
  Le prix d'un jeton est fixée à 10 $\euro$ (en faux billet toujours).
  Après quelques parties, Norbert trouve que son jeu ne s'avère pas suffisamment rentable pour lui, 
  il envisage deux solutions : augmenter de 1 $\euro$ le prix du jeton
  ou ajouter une boule blanche dans son appareil.\\
  Quelle est la solution la plus rentable pour lui ? 
}







%\section{Répétition d'expériences identiques et indépendantes}
\section{Algorithmes de loi géométrique tronquée}

\Expl{Le \og président \fg \, de Syldavie pense que les filles de son pays sont trop intelligentes et 
risquent de renverser son pouvoir, pourtant bien établi depuis $30$ ans.\\
Pour limiter le nombre de filles en Syldavie il décide que chaque famille aura au moins un enfant et
arrêtera de procréer après la naissance d'un garçon, dans un maximum de 4 enfants par famille.\\
On considère que chaque enfant autant de chances d'être un garçon qu'une 
fille, indépendamment du sexe d'éventuel(s) enfant(s) précédent(s).  \\
On se demande si ce choix a la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles 
dans la population.}
\begin{enumerate}
 \item On présente l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
X, NbeEnfants, NbeFilles sont des nombres entiers
}
\Deb{
  $n=0$, $X=0$\\
    \While{$X==0$ et NbeEnfants$<4$}
  {Affecter à X un entier aléatoire entre 0 et 1\\
    $n=n+1$}
    \IfThenElse{$X==1$}
      {NbeFilles$=n-1$\\
Afficher \og La famille a eu \fg , NbeFilles , \og fille(s) et $1$ garçon\fg}
    {La famille a eu $4$ filles et $0$ garçon}\\
\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Que fait-il ?
 \item Modifier cet algorithme pour qu'il simule les naissances dans $N$ familles quelconque en Syldavie et qu'il
renvoit le nombre de garçons et le nombre de filles.
 \item Programmer votre algorithme sur Scilab.
 \item Conjecturer une réponse au problème posé.
\end{enumerate}
\item Le \og président \fg \, de Syldavie appelle $S$ (pour Succès) et $E$ (pour Echec) 
les événements suivants :\\
$S$ : \og La famille a un garçon \fg \qquad \qquad et \qquad \qquad $E$ : \og La famille n'a pas de garçon \fg
\begin{enumerate}
       \item Schématiser la situation par un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à $k$ si le premier Succès est rencontré au $k^{ième}$ 
enfant, et à $0$ si aucun Succès n'a été obtenu.\\
Déterminer la loi de $X$.
\item Répondre au problème posé.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}


\Expl{
Le jeu du lièvre et de la tortue \\
Le jeu consiste à affronter un lièvre et une tortue pour parcourir
un plateau de 6 cases, selon les règles suivantes :
\begin{itemize}
 \item On lance un dé équilibré à 6 faces,
 \item Si le 6 sort, le lièvre avance directement de 6 cases (et donc gagne) ; 
 \item Sinon, la tortue avance d'une case. 
 \item Le jeu continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.
\end{itemize}
On appelle $p$ la probabilité de gagner du lièvre. 
\begin{enumerate}
 \item Conjectures :
\begin{enumerate}
        \item Conjecturer la situation la plus enviable, celle du lièvre ou de la tortue ?
 \item Conjecturer la valeur de $p$.
       \end{enumerate}
 \item Simulation :
\begin{enumerate}
        \item Simuler ce jeu sur Algobox, avec en affichage la fréquence de gain du lièvre.\\
\textit{On commencera par demander à l'utilisateur le nombre de parties qu'il souhaite faire.
}
 \item Les résultats de la simulation pour $50$ expériences vous semblent-ils en accord 
avec votre conjecture ? Pour $100$ ? $10\,000$ ?
       \end{enumerate}
 \item Modélisation :
\begin{enumerate}
 \item Schématiser la situation à l'aide d'un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers de dés qu'il a fallu au lièvre
pour gagner et égale à $0$ si le lièvre a perdu.\\
Déterminer $P(X=0)$ puis l'expression de $P(X=k)$ en fonction de $k$, pour $1 \leq k \leq 6$.
 \item En déduire $p$.
 \item Calculer $E(X)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Expl[Le paradoxe de Saint Pétersbourg]{
Un joueur joue contre la banque au jeu de \og pile ou face \fg, en misant toujours sur face. Il adopte la
stratégie suivante : il mise un euro au premier coup, et s’il perd, double la mise au coup suivant, tant que
face ne sort pas. S’il gagne, il récupère sa mise augmentée d’une somme équivalente à cette mise. Le
joueur dispose d’une fortune limitée, qui lui permet de perdre au maximum $n$ coups consécutifs et, si 
pile sort $n$ fois de suite, le joueur ne peut plus miser et arrête le jeu. La fortune de la banque, 
elle, n’est pas limitée.
Une partie consiste pour le joueur à jouer, si sa fortune le lui permet, jusqu’à ce que face sorte.
Il s’agit de déterminer la probabilité qu’a le joueur de gagner une partie, son gain algébrique moyen par
partie, et d’analyser l’intérêt pour le joueur de jouer à ce jeu, par rapport à la banque.\\
}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la mise du joueur s'il gagne au $3^{ième}$ coup, puis au $10^{ième}$, 
puis au $k^{ième}$, avec $k\in\N^*$.
 \item On envisage le cas où le joueur dispose d’une fortune de $1\,000\euro$.
  \begin{enumerate}
         \item Sa fortune lui permet de tenir $n$. Déterminer $n$ grâce à un tableau de valeurs.
 \item Simulation
\begin{enumerate}
 \item Sur tableur, reproduire la feuille de calculs ci-après, qui simule $1\,000$ parties en $9$ coups.\\
On a codé la sortie de Face par $1$ et celle de Pile par $0$ et on à utiliser notamment les formules suivantes :
\begin{itemize}
 \item \texttt{=ALEA.ENTRE.BORNES(0,1)}
 \item \texttt{=SI(OU(A2=1;A2="");"";ALEA.ENTRE.BORNES(0,1))}
 \item \texttt{=SI(SOMME(A2:I2)=0;"Tortue";"Lièvre")}
 \item \texttt{=NB.SI(K2:K1001;"Tortue")}
 \item \texttt{=NB.SI(A2:I2;0)+NB.SI(A2:I2;1)}
\end{itemize}
 \item Puis tracer l'histoire correspondant à la plage $L6:M14$. Cela vous parait-il cohérent ?
 \item Discuter l'intérêt de ce jeu.
\end{enumerate}
\item Modélisation : on appelle $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le rang de la première face, et l’on convient que ce 
rang est égal à $0$ si face ne sort pas et on appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le gain 
algébrique du joueur.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $P(X=0)$ puis l'expression de $P(X=k)$ en fonction de $k$, pour $1 \leq k \leq n$.
 \item Déterminer les valeurs possibles de $Y$
 \item Déterminer la loi de $Y$.
 \item Calculer $E(Y)$.
 \item Conclure en terme de gain moyen et de risque.
\end{enumerate}
\item Désormais on considère que la banque joue $n$ et on reprend les notations précédentes.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $P(X=0)$ et en déduire la probabilité de gagner pour la banque.
 \item De quoi se rapproche celle valeur quand $n$ est très grand ?
 \item Conclure.
 \end{enumerate}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\includegraphics[scale=0.48]{Paradoxe_St_Petersbourg.eps}\\

\textit{La notion de risque, liée à celle de la dispersion de la variable aléatoire \og gain \fg, 
est un élément décisif d’appréciation d’un jeu.
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est l’un des problèmes ayant donné naissance à la
théorie de la décision en économie. Dans cette théorie, on formalise en particulier la notion de fonction
d’utilité, qui mesure le degré de satisfaction d’un consommateur.
}

\begin{ExoF}(Challenge)\\
Combien y a-t-il de \og couples \fg de délégués possibles dans de votre classe ? 
\end{ExoF}


\end{document}
