\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 11}
\newcommand{\Ch}{Produit Scalaire}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\footskip=30pt

\setcounter{NumLecon}{11}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne 
réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image
{\item Découvrir les applications de la fonction dérivée
 \item Connaître les formules pour trouver une fonction dérivée
\item Savoir étudier un sens de variation d'une fonction en utilisant sa dérivée.
}

\TITRE{L.eps}{0.45} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

 \begin{Intro}{Au fil du temps}{
Le produit scalaire est une nouvelle opération, qui a deux vecteurs associe un nombre réel. Etymologiquement, le mot \og scalaire \fg provient du latin \textit{scala} qui signifie échelle, historiquement le mot \og scalaire \fg en mathématiques désigne un nombre réel. Si on veut comprendre le lien entre les deux, il faut remonter à l'empire romain. Dans les quartiers pauvres où s'élevaient de grands immeubles surpeuplés appelés \textit{Insulae}, des échelles servaient parfois à passer d'un étage à l'autre. A l'époque, on désignait par \og échelle 2\fg ce qu'on appelerait aujourd'hui \og étage 2\fg.  C'est ainsi que le mot échelle (scala) fut associé à l'idée de nombre.
\\
Élément important de calcul en géométrie euclidienne, le produit scalaire apparaît cependant assez tard dans l'histoire des mathématiques. On en trouve trace chez Hamilton en 1843 lorsqu'il crée le corps des quaternions. Peano le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donnent le nom de produit intérieur ou produit scalaire. C'est sous cette forme qu'il apparaît par la suite. Sa qualité de forme bilinéaire symétrique sera ensuite exploitée en algèbre linéaire et, de propriété, deviendra définition.\\
La notation du produit scalaire à l'aide d'un point ou d'une croix provient de Josiah Willard Gibbs, dans les années 1880.
\\
Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan.  
\\
En particulier il permet de répondre au problème suivant (un prolongement du théorème de Pythagore) :
\begin{multicols}{2}
\Expl{
$ABC$ est un triangle tel que $AB=4$ ; $AC=3$ et $ ( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=70^\circ$. Calculer $BC$. }
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(5.6,4)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.2,-0.2)(4.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](4.0000,0.0000){B}
\psline(0.0000,0.0000)(4.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](1.0261,2.8191){C}
\psline(4.0000,0.0000)(1.0261,2.8191)
\psline(0.0000,0.0000)(1.0261,2.8191)
\psarc(0.0000,0.0000){0.5000}{0.0000}{70.0000}
\uput{0.5000}[40.0000](0.0000,0.0000){$70^\circ$}
\uput{0.3000}[-90.0000](2.0000,0.0000){$4$}
\uput{0.3000}[150.0000](0.5130,1.4095){$3$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{multicols}
}
\Sol{
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur le segment $[AB]$, notons $CH=h$, $AH=x$. \quad
Dans ce cas  $BH=4-x$. \\
Dans le triangle rectangle $BHC$ on obtient en utilisant le théorème de Pythagore :

$$ BC^2=BH^2+HC^2=(4-x)^2+h^2=16-8x+x^2+h^2$$

Dans le triangle rectangle $AHC$ on a :
$$ \cos 70^\circ=\cos \dfrac{7\pi}{18}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{x}{3} \Longleftrightarrow x=3\cos \dfrac{7\pi}{18}\simeq 1,03$$

Dans ce même triangle, on obtient d'après le théorème de Pythagore :
$$ AH^2+HC^2=AC^2 \Longleftrightarrow x^2+h^2=AC^2 \Longleftrightarrow h^2=9-9\cos^2\dfrac{7\pi}{18}$$

Nous en déduisons le carré de la longueur $BC$ :

$$ BC^2=16-8\times 3\cos\dfrac{7\pi}{18}+9\cos^2\dfrac{7\pi}{18}+9-9\cos^2\dfrac{7\pi}{18}=16+9-24\cos\dfrac{7\pi}{18}=25-24\cos\dfrac{7\pi}{18}$$
}

\end{Intro}



\section{Définition et premières propriétés}
En procédant de manière identique dans le cas général on obtient le théorème d'Al-Kashi 
qui généralise celui de Pythagore :


\begin{theo}[d'Al-Kashi]
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
Soit un triangle $ABC$, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure ci-contre.
Alors on a :
$$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$$
$$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta $$
$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma $$
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8.5,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(8,0)(5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(8,0)
\psline[linecolor=zzttqq](8,0)(5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](5,4)(0,0)
\rput[tl](2,2.66){\zzttqq{$b$}}
\rput[tl](4.42,-0.3){\zzttqq{$c$}}
\rput[tl](7.18,2.5){\zzttqq{$a$}}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{2.214297435588181}{3.141592653589793}{0.8*cos(t)+8|0.8*sin(t)+0}\lineto(8,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6747409422235527}{0.8*cos(t)+0|0.8*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.4668517113662407}{-0.9272952180016123}{0.8*cos(t)+5|0.8*sin(t)+4}\lineto(5,4)\closepath}
\rput[bl](-0.5,0.12){{$A$}}
\rput[bl](8.08,0.12){{$B$}}
\rput[bl](5.08,4.2){{$C$}}
\rput[bl](6.8,0.1){\qqwuqq{$\beta$}}
\rput[bl](1,0.1){\qqwuqq{$\alpha$}}
\rput[bl](4.88,2.6){\qqwuqq{$\gamma$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{center}
\end{theo}


\Expls{
Traiter des cas dans un triangle équilatéral, un carré, un rectangle ...\\

Si $ABC$ est un triangle tel que $AB=7$ ; $AC=5$ et $ ( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=30^\circ$ alors d'après le théorème d'Al-Kashi :
$$ BC^2=49+25-70\cos \dfrac{\pi}{6}=74-70\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=74-35\sqrt{3}$$
et donc :
$$ BC=\sqrt{74-35\sqrt{3}}$$
}


\Rq{
Lorsque le triangle est rectangle en $C$ alors $\gamma=\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$. \quad Ainsi, 
$$2ab\cos\gamma=2ab\cos \dfrac{\pi}{2}=2ab\times 0=0$$
On retrouve dans ce cas $c^2=a^2+b^2$, l'égalité donnée par le théorème de Pythagore.
}

 
\begin{defi}
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\vect{u} $ et $\vect{v}$, noté $\vect{u} \cdot \vect{v}$, 
est le nombre :
$$ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=||\vect{u}||\times ||\vect{v}||\cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$$


En particulier :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$$

Si l'un des vecteurs est nul alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$ par convention.
\end{defi}


\Expls{
Retraiter les cas dans un des figures particulières.\\


Si $ABC$ est un triangle tel que $AB=7$ ; $AC=5$ et $ ( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=30^\circ$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=7\times 5\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{105}{2}$.

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=AB\times AC\times \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$$

Si $ABC$ est un triangle tel que $AB=1$, $AC=1$ et $ ( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=120^\circ$ alors :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-0,5$$
}

\begin{theo}

Soit deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls.


Le produit scalaire entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est nul si et seulement si $\vec{u}\perp\vec{v}$.
\end{theo}

\Dem{
\begin{itemize}
\item[$ \Longleftarrow)$] Si $\vec{u}\perp\vec{v}$ alors $\vec{u}\cdot \vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos \dfrac{\pi}{2}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times 0=0$.
\item[$\Longrightarrow)$] Réciproquement si $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ alors $$||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u};\vec{v} \right)=0$$

Et puisque $\vec{u}\neq \vec{0}$ et $\vec{v}\neq \vec{0}$ alors $ \cos\left(\vec{u};\vec{v} \right)=0$ et donc $\left(\vec{u};\vec{v} \right)=\pm \dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près.
\end{itemize}
}


\begin{ExoC}
$ABC$ est un triangle tel que $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=18$, $AB=6$ et $AC=2 \sqrt{3}$.\\
Calculer la mesure exacte en radians de l'angle $ \widehat{BAC}$.
\end{ExoC}

\Rqs{
\item $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ si et seulement si l'angle $\left(\vec{u};\vec{v}\right)$ possède une mesure entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ radians. Autrement dit le produit scalaire entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est strictement positif si et seulement si l'angle $\left(\vec{u};\vec{v}\right)$ est aigu.
\item $\vec{u}\cdot\vec{v}<0$ si et seulement si l'angle $\left(\vec{u};\vec{v}\right)$ est obtu.
\item $\vec u\cdot \vec u=\mid\mid \vec u\mid \mid\times ||\vec{u}||\cos\left(\vec{u};\vec{u}\right)=||\vec{u}||^2$. On notera par convention : $\vec u^2=\mid\mid \vec u\mid \mid ^2$\\
De même si $A$ et $B$ sont deux points , on a $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}^2=\mid\mid \overrightarrow{AB} \mid\mid^2$
\item Si $\vec u=\vec 0$ ou si $\vec v=\vec 0$ alors $\vec u\cdot \vec v=0$. La réciproque est fausse, le fait que $\vec u\cdot \vec v=0$ n'implique pas nécessairement que $\vec u=\vec 0$ ou $\vec v=\vec 0$. Les contres-exemples sont nombreux, il suffit de choisir deux vecteurs orthogonaux.
\item Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires alors $\vec u=k\vec v$ alors :
$$ \text{Si $k>0$ on a }\vec{u}\cdot\vec v=k||\vec{u}||^2$$
$$ \text{Si $k<0$ on a }\vec{u}\cdot\vec v=-k||\vec{u}||^2$$
\item $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$ car pour $\vec u$ et $\vec v$ non nuls, on a  la multiplication dans $\R$ qui est commutative,
et $(\vec v ; \vec u) = - (\vec u ; \vec v )$ or $\cos(x]=\cos(-x)$ pour tout $x\in\R$.
}


\section{Autres Définitions et conséquences immédiates}
\subsection{Avec un projeté orthogonal}

\Rq{
La définition précédente suppose connue la définition de la fonction cosinus. Mais
il est possible d'éviter de faire appel à cette fonction pour calculer un produit scalaire.\\
Pour cela, considérons $A$, $B$ et $C$ trois points distincts, la trigonométrie du triangle rectangle permet de 
calculer le produit scalaire grâce à une projection orthogonale. 
}

\begin{defi}
 Le \textbf{projeté orthogonal} d'un point $C$ sur une droite $(AB)$ est le pied de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$\\
 Par analogie, on peut définir le projeté orthogonal d'un objet mathématique quelconque sur une droite, en projetant
 chacun des points qui le compose sur cette droite.
\end{defi}


Ainsi, si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, nous obtenons les 
deux cas possibles suivants :


\begin{center}
\begin{multicols}{2}
$\hat{A}$ \textbf{est aigu}\\ 
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\psline{->}(0,0)(7,0)
\psline{->}(0,0)(3,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,3)(3,0)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.48,-0.02){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](7.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](3.08,3.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.9,-0.46){\xdxdff{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
$$\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{AH}{AC} \Longleftrightarrow AH=AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$$
$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=AB\times AH$$
Or, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH\times \cos 0=AB\times AH$.

\vspace{2cm}

$\hat{A}$ \textbf{est obtu}\\ 
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(6,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline{->}(0,0)(5,0)
\psline{->}(0,0)(-3,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](-3,3)(-3,0)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{-3.5}{8}{(-0-0*x)/7}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.28,-0.32){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](5.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](-2.92,3.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](-3.1,-0.46){\xdxdff{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
$$ \cos\left(\pi-\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\right)=\dfrac{AH}{AC} \Longleftrightarrow AH=AC\times \cos\left(\pi-\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\right)$$
Or, $\cos\left(\pi-x\right)=-\cos x$ d'où $AH=-AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=-AB\times AH$$
Or, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AH}\right)=-AB\times AH$
\end{multicols}
\end{center}

Dans les deux cas, le produit scalaire est alors en valeur absolue égal au produit des distances $AH$ et $AB$. \\
Si $A$ se trouve entre $H$ et $B$, le produit scalaire est négatif et positif sinon. \\
On remarque que si $H$ est confondu avec $A$, alors le produit scalaire est nul.


\begin{theo}
Soit $A$ et $B$ deux points distincts et soit $H$ le projeté orthogonal d'un point $C$ sur la droite 
$(AB)$ alors 
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AH}=\pm AB\times AH$$
suivant la nature de l'angle $\hat{A}$
\end{theo}



\begin{ExoC}
On considère un carré $ABCD$ de côté $a$ et de centre $O$, 
calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AO}\cdot OI$, $\overrightarrow{JD}\cdot \overrightarrow{JB}$ et $\overrightarrow{DJ}\cdot \overrightarrow{BC}$ où $I$ et $J$ sont les milieux  respectifs des segments $[AB]$ et $[AD]$.
\end{ExoC}


\subsection{Avec les normes}

\begin{theo} Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : 
$$\vec u\cdot \vec v=\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec u\mid\mid^2+\mid\mid\vec u\mid\mid^2-\mid\mid\vec u - \vec v\mid\mid^2\right)
\qquad\quad \text{ et }\qquad \quad  
\vec u\cdot \vec v=\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec u+\vec v\mid\mid^2-\mid\mid\vec u\mid\mid^2-\mid\mid\vec v\mid\mid^2\right)$$
\end{theo}


\Dem{
\textbf{Première formule :}
\begin{itemize}
 \item Si l'un des vecteurs est nul, par exemple si $\vec{u}=\vec{0}$ alors
 $\overrightarrow{u}\cdot \vec{v}=0$ par définition.

De plus $\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec u\mid\mid^2+\mid\mid\vec v\mid\mid^2-\mid\mid\vec u+\vec v\mid\mid^2\right)
=\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec 0\mid\mid^2+\mid\mid\vec v\mid\mid^2-\mid\mid\vec v\mid\mid^2\right)=0$, 
ainsi les deux expressions sont égales lorsqu'au moins un des deux vecteurs est nul.
 \item Si aucun des deux vecteurs n'est nul.
 \end{itemize}
\noindent \begin{minipage}{7cm}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2.5)(6,2.5)
\psline{->}(0,0)(5,0)
\psline{->}(0,0)(2,2)
\psline{->}(5,0)(3,-2)
\psline{->}(3,-2)(0,0)
\psline{->}(5,0)(2,2)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.7853981633974483}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.42,-0.34){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](5.08,0.2){\blue{$B$}}
\rput[bl](2.08,2.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.5,0.08){$\vec u$}
\rput[bl](0.82,1.18){$\vec v$}
\rput[bl](4.16,-1.34){$-\vec v$}
\rput[bl](1.,-1.4){\rotatebox{-35}{$\vec u - \vec v$}}
\rput[bl](3.5,1.12){\rotatebox{-35}{$\vec u - \vec v$}}
\rput[bl](0.6,0.2){\qqwuqq{$x$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{10 cm}
  On note $\overrightarrow{AB}$ un représentant du vecteur 
$\vec{u}$ et $\overrightarrow{AC}$ un représentant de $\vec{v}$ d'origine $A$. \\
Dans ce cas $\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ comme sur 
la figure ci-contre.\\

D'après Al-Kashi dans le triangle $ABC$ on a :
\begin{eqnarray*}
 ||\vec{u}-\vec{v}||^2&=&||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos\left(x\right)\\
 ||\vec{u}-\vec{v}||^2&=& ||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} \quad \text{(identité remarquable)}\\
\iff \vec{u}\cdot\vec{v}&=&\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec u\mid\mid^2+\mid\mid\vec u\mid\mid^2-\mid\mid\vec u-\vec v\mid\mid^2\right)
\end{eqnarray*}
 \end{minipage}


\textbf{Deuxième formule :}
\begin{itemize}
\item Si l'un des vecteurs est nul, par exemple si $\vec{u}=\vec{0}$ alors $\overrightarrow{u}\cdot \vec{v}=0$.

De plus $\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec u+\vec v\mid\mid^2-\mid\mid\vec u\mid\mid^2-\mid\mid\vec v\mid\mid^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec v\mid\mid^2-\mid\mid\vec 0\mid\mid^2-\mid\mid\vec v\mid\mid^2\right)=0$, ainsi les deux expressions sont égales lorsqu'au moins un des deux vecteurs est nul.
\item Si aucun des deux vecteurs n'est nul. 
\end{itemize}
\noindent \begin{minipage}{9cm}
  \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(11,4)
\psline{->}(0,0)(7,0)
\psline{->}(0,0)(3,3)
\psline{->}(0,0)(6.98,0.02)
\psline{->}(6.98,0.02)(10,3)
\psline{->}(0,0)(10,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.7853981633974483}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.7853981633974483}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+7|0.6*sin(t)+0}\lineto(7,0)\closepath}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.28,-0.32){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](7.2,-0.36){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](3.08,3.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](3.5,-0.3){$\vec u$}
\rput[bl](1.08,1.5){$\vec v$}
\rput[bl](10.08,3.2){\blue{$C'$}}
\rput[bl](8.82,1.3){$\vec v$}
\rput[bl](4.82,1.6){\rotatebox{15}{$\vec u + \vec v$}}
\rput[bl](0.6,0.3){\qqwuqq{$x$}}
\rput[bl](5.5,0.3){\qqwuqq{$\pi-x$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
  On note $\overrightarrow{AB}$ un représentant du vecteur 
$\vec{u}$ et $\overrightarrow{AC}$ un représentant de $\vec{v}$ d'origine $A$. \\
Dans ce cas $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC'}$ comme sur la 
figure ci-contre.

D'après Al-Kashi dans le triangle $ABC'$ on a  :
\begin{eqnarray*}
 ||\vec{u}+\vec{v}||^2&=&||-\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||-\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos\left(\pi-x\right)\\
 &=& ||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \left(-\cos\left(x\right)\right)\\
 ||\vec{u}+\vec{v}||^2 &=& ||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} \quad \text{(identité remarquable)}\\
\iff \vec{u}\cdot\vec{v}&=&\dfrac{1}{2}\left(\mid\mid\vec u+\vec v\mid\mid^2-\mid\mid\vec u\mid\mid^2-\mid\mid\vec v\mid\mid^2\right)
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
}

\subsection{Avec les coordonnées}


\begin{theo}
On considère un repère \textbf{orthonormal}, un vecteur $\vec u(x;y)$ et un vecteur $\vec v(x';y')$. Alors on a :
$$ \vec u\cdot \vec v=xx'+yy'$$
\end{theo}

\Dem{
On sait que dans un repère orthonormal $||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$ et $||\vec{v}||=\sqrt{x'^2+y'^2}$. 
De plus $\vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y')$ et donc $||\vec{u}+\vec{v}||=\sqrt{(x+x')^2+(y+y')^2}$.

Il ne reste plus qu'à utiliser le théorème précédent :
$$ \vec{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left((x+x')^2+(y+y')^2-x^2-y^2-x'^2-y'^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(2xx'+2yy'\right)=xx'+yy'$$
}

\Expl{Si $\vec u(2;3)$ et $\vec v(6;-3)$ alors $\vec u\cdot \vec v=2\times 6+3\times (-3)=3$
}

Le théorème $2$  énoncé dans repère orthonormal comme ci-dessus donne :

\begin{prop}
Dans un repère orthonormal, $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ sont orthogonaux si et seulement 
si $\vec u\cdot\vec v=0\Longleftrightarrow xx'+yy'=0$
\end{prop}



\begin{ExoC}
Soient les points $A(1,-2)$, $B(2,3)$, $C(6,1)$ et $D(-4,3)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ?
\end{ExoC}

\Rqs{
\item Le produit scalaire permet de donner une bonne définition d'un repère orthogonal. En effet $(O;\vec i,\vec j)$ est un repère orthogonal si et seulement si $\vec i\cdot \vec j=0$
\item Si un vecteur est orthogonal à tout vecteur alors c'est le vecteur nul.\\
En effet, on a en particulier $\vec u\cdot \vec u=x^2+y^2=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$
}
\begin{ExoC}
Dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$ on donne $A(1,1)$, $B(4,1)$ et $C(3,3)$. Calculer de quatre manière 
différentes  $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. \end{ExoC}


\newpage
\subsection{Ce qu'il faut retenir}

Si on se donne deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et si on nomme $A$, $B$ et $C$ les points vérifiant :
$$ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{AC}=\vec{v}$$

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-3)(7,3.5)
\psline{->}(0,0)(6,-2)
\psline{->}(0,0)(3,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.3217505543966422}{0.7853981633974483}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psline{->}(-9,-2)(-6,1)
\psline(0,0)(6,-2)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](1.8,-0.6)(3,3)
\psline{->}(-7,3)(-1,1)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.28,-0.32){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](3.08,3.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](6.2,-2.36){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](2.68,-1.5){$\vec u$}
\rput[bl](-8,-0.52){$\vec v$}
\rput[bl](-4.,2.2){$\vec u$}
\rput[bl](1.08,1.52){$\vec v$}
\rput[bl](0.84,0.14){\qqwuqq{$\alpha$}}
\rput[bl](1.54,-1.04){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

On note $\left(\vec{u};\vec{v}\right)=\alpha \quad [2\pi]$.

Il existe $4$ manières différentes de calculer le produit scalaire entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :\\

\begin{enumerate}
\item \textbf{Avec le cosinus} : \qquad  \fbox{$\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos\left(\vec{u};\vec{v}\right)=AB\times AC\times \cos\alpha$}\\
\item \textbf{Avec le projeté orthogonal} : \qquad \fbox{$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\pm AB\times AH$} suivant si l'angle  $\alpha$ est obtu ou aigu.\\
\item \textbf{Avec les  normes} : \qquad \fbox{$ \overrightarrow{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v||^2}\right)$} \qquad et \qquad \fbox{$ \overrightarrow{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v||^2}\right)$}\\
\item \textbf{Avec les coordonnées} : Si dans un repère \textbf{orthonormal} $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ alors 
 \qquad \fbox{$ \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$}\\
\end{enumerate}

\Rq{Les quatres formules sont équivalentes, c'est-à-dire que nous aurions choisir de définir 
le produit scalaire par n'importe laquelle des quatres, nous aurions retrouvé exactement les mêmes
propriétés au final.
}

On retiendra enfin que  le signe de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ renseigne sur la nature de l'angle $\left(\vec{u};\vec{v}\right)$.

% Visionner le code LaTeX du paragraphe 0
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{2.7cm}|c|c|c|}
\hline 
Signe du produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ & $\vec{u}\cdot\vec{v}<0$ & $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ & $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$\tabularnewline
\hline 
Nature de l'angle $\left(\vec{u};\vec{v}\right)$ & Angle obtu & Angle droit & Angle Aigu\tabularnewline
\hline 
Illustration & \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(6,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline{->}(0,0)(5,0)
\psline{->}(0,0)(-3,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](-3,3)(-3,0)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{-3.5}{8}{(-0-0*x)/7}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.28,-0.32){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](5.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](-2.92,3.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](-3.1,-0.46){\xdxdff{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
& \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(6,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline{->}(0,0)(5,0)
\psline{->}(0,0)(0,3)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.28,-0.32){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](5.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](-0.28,3.2){\blue{$C$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*} 
& \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\psline{->}(0,0)(7,0)
\psline{->}(0,0)(3,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,3)(3,0)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.48,-0.02){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](7.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](3.08,3.2){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.9,-0.46){\xdxdff{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}  \tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}


\pagebreak
%
\section{Propriétés du produit scalaire}

\begin{prop}
Pour tout vecteur $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ et pour tout réel $\lambda$ on a :
\begin{enumerate}
\item \underline{Symétrie} : $\vec u\cdot \vec v=\vec v\cdot \vec u$
\item \underline{Bilinéarité}(linéarité par rapport aux deux variables :)\\
\indent $\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w$ (linéarité par rapport à la première variable)\\
\indent $(\vec u+\vec v)\cdot \vec w=\vec u\cdot \vec w+\vec v\cdot \vec w$ (linéarité par rapport à la seconde variable)\\
\indent $\vec u\cdot \lambda\vec v=\lambda\vec u\cdot \vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$ 
\item \underline{Définie} : $\vec u\cdot \vec u=0\Longleftrightarrow \vec u=\vec 0$
\item \underline{Positive} : $ \vec u\cdot \vec u\geq0$
\end{enumerate}
\end{prop}

\Rq{On dit que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
}
%
\Dem{
\textit{La démonstration avec la formule des coordonnées dans un repère orthonormal est la plus simple.} \\
Notons $\vec u(x;y)$, $\vec v(x';y')$ et $\vec w(x'';y'')$
\begin{enumerate}
\item $\vec u \cdot \vec v = xx'+yy' = x'x + y'y = \vec v \cdot \vec u$ \quad par commutativité de la multiplication dans $\R$
\item $$\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=x(x'+x'')+y(y'+y'')=xx'+xx''+yy'+yy''=xx'+yy'+xx''+yy''=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w$$
$$(\vec u+\vec v)\cdot \vec w=(x+x')x''+(y+y')y''=xx''+x'x''+yy''+y'y''=xx''+yy''+x'x''+y'y''=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w$$
$$\vec u\cdot \lambda\vec v=x\lambda x'+y\lambda y'=\lambda xx'+\lambda yy'=\lambda\vec u\cdot \vec v=\lambda(xx'+yy')=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$$
\item $\vec u\cdot \vec u=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0\Longleftrightarrow \vec u=\vec 0$
\item $\vec u\cdot \vec u=x^2+y^2\geq 0$
\end{enumerate}
}

\Expl{
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}
=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{BD}
=\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{BD} $$
}

\begin{ExoC}
$ABCD$ est un rectangle de centre $O$ tel que $AB=4$ et $BC=3$.\\
Calculer $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}$ \end{ExoC}

\underline{\textbf{Solution :}}\\
\begin{eqnarray*}
&  \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}\\
= & \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{DB}\\
= & \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DB}\\
= & AB^2-BC^2 \\
= & 16-9=7\\
\end{eqnarray*}

%
\textit{\textbf{Application}} : Retrouver, à l'aide du produit scalaire, le fait que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.

\underline{\textbf{Solution :}}Notons $A'$, $B'$ et $C'$ les projetés orthogonaux de $A$, $B$ et $C$ respectivement sur $(BC)$, $(AC)$ et $(AB)$ et $H=(BB')\cap (CC')$. 
On veut montrer que $H\in (AA')$.\\
On remarque que $ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=\vec 0$ et $ \overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=\vec 0 $
\\Par conséquent \begin{eqnarray*}
& \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB} \\
 \Longleftrightarrow & (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH})\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH})\cdot \overrightarrow{AB} \\
 \Longleftrightarrow &  \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AB} \\
 \Longleftrightarrow & \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AB}\quad \text{ car }\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\\
 \Longleftrightarrow & \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=\vec 0\\
\end{eqnarray*}
Les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont donc perpendiculaires, ce qui prouve que la droite $(AH)$ est la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$. CQFD

\underline{Règle pratique} : pour calculer un produit scalaire, on peut décomposer un vecteur (ou les deux) suivants des 
directions orthogonales. 


%

\begin{theo}[Identités remarquables] 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\left(\vec u+\vec v\right)^2=\vec u^2+\vec v^2+2\vec u\cdot \vec v$
\item $\left(\vec u-\vec v\right)^2=\vec u^2+\vec v^2-2\vec u\cdot \vec v$
\item $\left(\vec u+\vec v\right)\left(\vec u-\vec v\right)=\vec u^2-\vec v^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{theo}

%
\Dem{
\begin{enumerate}
\item $\left(\vec u+\vec v\right)^2=\vec u^2+\vec u\cdot \vec v+\vec v\cdot \vec u+\vec v^2=\vec u^2+\vec v^2+2\vec u\cdot \vec v$
\item $\left(\vec u-\vec v\right)^2=\vec u^2-\vec u\cdot \vec v-\vec v\cdot \vec u+\vec v^2=\vec u^2+\vec v^2-2\vec u\cdot \vec v$
\item $\left(\vec u+\vec v\right)\left(\vec u-\vec v\right)=\vec u^2-\vec u\cdot \vec v+\vec v\cdot \vec u-\vec v^2=\vec u^2+\vec v^2-2\vec u\cdot \vec v=\vec u^2-\vec v^2$
\end{enumerate}
}

\textbf{\textit{Application}} : \begin{enumerate}
\item \underline{Identité du parallélogramme} : $\left(\vec u+\vec v\right)^2+ \left(\vec u-\vec v\right)^2=2(\vec u^2+\vec v^2)$ \\
Si $ABCD$ est un parallélogramme, en notant $ \overrightarrow{AB}=\vec u $ et $ \overrightarrow{AD}=\vec v$ on obtient une relation entre les diagonales et les côtés du parallélogramme : $AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)$
\item \underline{Inégalité triangulaire} : Comme $\vec u\cdot \vec v\leq \mid\mid\vec u\mid\mid \times\mid\mid\vec v\mid\mid$ (puisque $\cos \theta \leq 1$), on a :
\begin{eqnarray*}
& \mid\mid \vec u+\vec v\mid\mid^2 \leq  \mid\mid\vec u\mid\mid^2+ \mid\mid\vec v\mid\mid^2+2 \mid\mid\vec u\mid\mid \times\mid\mid\vec v\mid\mid\\
\Longleftrightarrow & \mid\mid \vec u+\vec v\mid\mid^2 \leq  \left(\mid\mid\vec u\mid\mid+\mid\mid\vec v\mid\mid\right)^2\\
\Longleftrightarrow & \mid\mid \vec u+\vec v\mid\mid \leq \mid\mid\vec u\mid\mid+\mid\mid\vec v\mid\mid \\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\newpage

\section{Applications}
\subsection{Aux Droites}
Dans toute cette partie, on se place dans un repère orthonormal.

\Cadre[Rappel]{
Toute droite admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels, 
dans ce cas $\vec u(-b;a)$ est un vecteur directeur.\\
Réciproquement, l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ax+by+c=0$, avec $(a;b)\neq(0,0)$ est 
une droite dirigée par $\vec u(-b;a)$.
}

\begin{defi}
Un vecteur $\vec n\neq \vec 0$ est \textbf{normal} à une droite $d$ si et seulement si sa direction est orthogonale à celle de $d$ 
\end{defi}

\begin{theo}
 Soit $d$ une droite passant par un point $A$ et $\vec n$ un vecteur normal à $d$. \\
Alors $d$ est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $ \overrightarrow{AM}\cdot \vec n=0$.\\
Autrement dit, $M(x;y) \in d \iff  \overrightarrow{AM}\cdot \vec n=0$. 
\end{theo}




\Dem{Remarquons déjà qu'il n'existe qu'une droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$.\\
Notons $A(x_A,y_A)$ et $\vec n(a;b)$.\\
 L'ensemble des points $M(x,y)$ tels que 
$ \overrightarrow{AM}\cdot \vec n=0$ est l'ensemble des points tels que :
$$\left(\begin{array}{c}
         x-x_A \\ y-y_A 
        \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}
                                     a \\ b
                                    \end{array}\right)=0
\iff 
 a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\Longleftrightarrow ax+by-ax_A-by_A=0$$
ce qui est l'équation cartésienne d'une droite $D$ de vecteur directeur $\vec u (-b ; a)$.\\
Or $\vec u \cdot \vec n = -ba+ab =0$ \quad donc $\vec u $ et $\vec n $ sont orthogonaux, ou encore $\vec n$ est
normal à $D$.\\
De plus $ax_A + by_A-ax_A-by_A = 0$ donc $A$ vérifie l'équation cartésienne de $D$, ie $A\in D$.\\
Comme il n'existe qu'une droite de vecteur normal $\vec n$ passant par $A$, on a $D=d$.
}

\Rq{Si $d$ est une droite d'équation $ax+by+c=0$, 
alors $\vec n(a;b)$ est un vecteur normal de $d$, et réciproquement.}

\begin{theo}
Soient les droites $d$ et $d'$ d'équations respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$.\\
$d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si $aa'+bb'=0$ 
\end{theo}



\Dem{Considérons les deux vecteurs $\vec n(a;b)$ et $\vec n'(a';b')$ normaux à $d$ et $d'$\\
$d\perp d'\Longleftrightarrow \vec n\cdot\vec n'\Longleftrightarrow aa'+bb'=0$}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Dans un repère orthonormal, la droite $d$ a pour équation $x-y+2=0$. Trouver une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $d$ passant par le point $B(2;1)$.
 \item Dans un repère orthonormal, on donne les points $A(0;3)$ et $B(4;-1)$. Trouver une équation de la médiatrice de $[AB]$.
\end{enumerate}
}


\subsection{Aux Cercles}
Dans toute cette partie, on se place dans un repère orthonormal.

\begin{theo}
Le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels 
que $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$  
\end{theo}


\Dem{Notons $\mathscr C$ le cercle de diamètre $[AB]$. 
Si $M=A$ ou $M=B$ c'est évident.\\
Sinon, $\mathscr C$ privé des points $A$ et $B$ est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $AMB$ soit un triangle rectangle en $M$, donc l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $ \overrightarrow{MA}$ et $ \overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux i.e $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ }

\begin{theo}
On considère un cercle $\mathscr C$ de centre $O$.\\
Le cercle $\mathscr C$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que 
$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 
où $(x_0;y_0)$ sont les coordonnées du centre du cercle $\mathscr C$ et $r$ son rayon. 
\end{theo}

\Dem{$M(x;y)\in\mathscr C\Longleftrightarrow OM=r\Longleftrightarrow OM^2=r^2\Longleftrightarrow (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$  }

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item $(x+3)^2+(y-1)^2=5$ est une équation du cercle $\mathscr C$ de centre $O(-3;1)$ et de rayon $ \sqrt{5}$. 
\item On donne les équations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $x^2+y^2-2x+y+1=0$
\item $x^2+y^2-2x+4y+5=0$
\item $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$
\end{itemize}
\end{multicols}
Pour chacune des équations précédentes, dites si c'est l'équation d'un cercle. Si oui, préciser son centre et son rayon.
Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ trouver une équation  :
\begin{itemize}
\item du cercle $\mathscr C$ de centre $I(1;2)$ passant par $J(3;-2)$
\item du cercle $\mathscr C'$ passant par les points $O$, $A(4;0)$ et $B(0;2)$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}


\Exos[Repère]{n$^{\circ}$ 110 (cercle circonscrit) + 112 (cercle + tangente) + 114 (équations) 
+ 115-116 (algo et condition) + 118-119 (intersections) p 381 }

\newpage

\subsection{A la trigonométrie}


\begin{act}
 \textit{Dans cette activité, nous allons démontrer les célèbres formules de trigonométrie suivantes. }
\begin{prop}
Pour tous réels $a$ et $b$ on a : 
\qquad\quad   \fbox{$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a \sin b$} \qquad \qquad \qquad $(\star)$ \\\\
\begin{minipage}{4.5cm}
On en déduit :
\end{minipage}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
 $$ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$
 $$ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a \sin b$$
 $$\sin(a+b)=\sin a \cos b+\cos a\sin b$$
\end{minipage}
}\\\\
\begin{minipage}{7cm}
Ainsi que les formules de duplication :
\end{minipage}
\begin{center}
\fbox{
$\quad \cos ^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2} \qquad \quad\text{et}\qquad\quad 
\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\quad $
}\end{center}
\end{prop}
Dans un repère orthonormé $(O; \vec i ; \vec j)$, on considère
deux vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ unitaires, tels que : $(\vec i ; \vec u ) = a \quad \textrm{ et } \quad (\vec i ; \vec v ) = b $
\begin{enumerate}
 \item Démontrons tout d'abord $(\star)$.
 \begin{enumerate}
 \item Faire le schéma d'un cercle trigonométrique, muni d'un repère $(O; \vec i ; \vec j)$, et dessiner deux représentants des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ayant pour origine $O$.
 \item Déterminer $(\vec u ; \vec v) $ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos(a-b)$.
 \item Préciser les coordonnées de $\vec u $ et $\vec v$ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b $.
 \item En déduire que pour tous réels $a$ et $b$ on a $\cos(a-b) =  \cos a \cos b + \sin a \sin b $.
 \item \textbf{Application} : En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{12}$.
\end{enumerate}
 \item Quelle relation connue obtient-on en prenant $b=a$ dans $(\star)$ ?
 \item Grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique, retrouver les trois 
 formules suivantes de la propriété ci-dessus.
 \item Utiliser désormais $(\star)$ pour retrouver les formules de duplication.
 \item \textbf{Application} : A l'aide des formules de duplications, calculer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{8}$ et $ \sin\dfrac{\pi}{8}$.
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{prop}
Quels que soient les réels $a$ et $b$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a \sin b$
\item $ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
\item $ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a \sin b$
\item $\sin(a+b)=\sin a \cos b+\cos a\sin b$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}

\Dem{\begin{enumerate}
\item Choisissons un cercle trigonométrique $\mathscr C$ de centre $O$, muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec i,\vec j)$. $A$ et $B$ sont les points de $\mathscr C$ tels que, en radians, $(\vec i, \overrightarrow{OA})=a$ et  $(\vec i, \overrightarrow{OB})=b$. Dans ce cas $A(\cos a; \sin a)$ et $B(\cos b; \sin b)$\\
De plus $$ \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{OA},\vec i\right)+\left(\vec i;\overrightarrow{OB}\right)=b-a$$
Exprimons le produit scalaire $ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ de deux manières différentes :
\begin{eqnarray*}
  \text{Avec les coordonnées : } \quad \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}&=&\cos a\cos b+\sin a \sin b \\
\text{D'autre part : } \quad \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}&=&OA\times OB\times \cos (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=\cos (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=\cos(b-a) 
\end{eqnarray*}
 \item On sait que $\cos (-x)=\cos x$ et $\sin (-x)=-\sin x$\\
En écrivant $a+b=a-(-b)$, on obtient :
$$ \cos(a+b)=\cos(a-(-b))=\cos a\cos (-b)+\sin a \sin (-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$
\item $\sin(a-b)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(a-b)\right)=\cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b\right]=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\cos b-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\sin b=\sin a\cos b-\cos a \sin b$
\item $\sin(a+b)=\sin(a-(-b))=\sin a\cos (-b)-\cos a \sin (-b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
\end{enumerate}}

\begin{coro}[Formules de duplication]
Quel que soit le réel $a$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos ^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2}$ 
\item $\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{coro}

\Dem{En utilisant le théorème précédent, il vient : $$ \cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a\qquad \text{ et }\qquad\sin 2a=2\sin a\cos a$$
Comme $\cos ^2 a+\sin^2 a=1$, on obtient aussi :
$$ \cos 2a=2\cos^2 a-1\qquad \text{ et }\qquad\cos 2a=1-2\sin^2 a$$
D'où $$ \cos ^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2} \qquad \text{ et }\qquad\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2} $$}


\Expl{\begin{enumerate}
\item En remarquant que $ \dfrac{11\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$, calculer $\sin \dfrac{11\pi}{12}$
\item En remarquant que $2\times \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$. Calculer $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{\pi}{8}$ 
\end{enumerate}}

\Expl{\begin{enumerate}
\item Simplifier l'écriture de $F(x)=\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x$
\item Démontrer que :
\begin{enumerate}
\item $ \sqrt{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin x-\cos x$
\item Pour tout réel $a$, $1+\cos a+\sin a=2\cos \dfrac{a}{2}\left(\cos \dfrac{a}{2}+\sin \dfrac{a}{2}\right)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exos[Repère]{n$^{\circ}$ 90-91-95-98-103-105-107-109-123-127-138 ? p 292 }






\epigraphe{La vie est faite de hasards contraires aux destinées.}{Johan Sfar}{Issu du film \og Gainsbourg, vie héroïque \fg} 


\end{document}