\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\Ch}{La suite des suites !}
\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
%\newcommand{\num}{8}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
 Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\forall n\in N$, $u_n=7-4n$ ;
\item $\forall n\in N$, $v_n=n^2-1$ ;
\item $\forall n\in N$, $w_n=(n+1)^2-n^2$ ;
\item $\forall n\in N$, $t_n=5n+1 $ ;
\item $\forall  n\in N$, $s_n=\dfrac{n}{n+1}$ ;
%\item Pour tout $n\in N$, $k_n=\dfrac{4n^2-1}{2n+1}$ ;
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer la somme $ A=100+103+106+\dots+\dots +400$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une entreprise doit envoyer un certain nombre de colis en province. Un transporteur propose les conditions suivantes :
%\begin{itemize}
 $98$ \euro pour le premier colis et une réduction de 3 \euro pour chaque colis supplémentaire.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Combien coûte l'envoi de $10$ colis ?
\item Le budget transport de l'entreprise est de $50000$ \euro. Combien de colis l'entreprise peut-elle envoyer ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On reprend le contexte de l'activité introductive. Le lapin blanc décide pour son second, le lapin rouge de donner dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $417$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de moins que la semaine précédente.
\end{itemize} 
On note $v$ la suite telle que $v_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $v_1=417$ et que $v_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $(v_n)$ est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son sens de variation.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\begin{enumerate}
\item Jusqu'à quel âge le lapin rouge peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin rouge au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=v_1+v_2+\dots+v_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}v_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin rouge (fort économe comme son frère) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économisées par le lapin rouge.
\item Grand amateur de montre, le lapin rouge décide de troquer ses carottes contre des montres mais l'inflation existe au pays des merveilles. Il faut $10\%$ de carottes supplémentaires pour obtenir une montre qu'au temps du lapin bleu. 
Le lapin rouge est-il perdant par rapport à son frère ?
\end{enumerate}
\item Le lapin blanc constatant l'injustice subit par le lapin rouge décide d'utiliser une autre méthode pour les \og carottes de poches \fg{} du lapin suivant, le lapin vert. Il le rémunère de sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $1$ carotte la première semaine ;
\item Chaque semaine trois carottes de plus que la semaine précédente ;
\item $100$ carottes les $6$ derniers mois.
\end{itemize} 
On note $w$ la suite telle que $w_0=1$ et $w_n$ désigne le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item La suite $w$ est-elle arithmétique ?
\item Plus précisément déterminer le rang jusqu'au quel $w$ se comporte comme une suite arithmétique.
\item Identique à ses frères le lapin rouge économise dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes par 
semaine. Mais durant les $6$ derniers mois il mange un peu de ses économies de manière à manger $300$ 
carottes exactement par semaine. Sachant que le cours de la carotte a encore augmenté 
de $50\%$ déterminer le nombre de montres que le lapin rouge possèdera au moment de devenir enfant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Déterminer $\Lim[n]{+\infty} u_n$, lorsque :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $u_0=-2$ et $r=-3$ ;
\item $u_0=2$ et $r=-3$ ;
\item $u_0=-3$ et $r=2$ ;
\item $u_0=3$ et $r=2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\forall n\in N$, $u_n=-\dfrac{2}{5^n}$ ;
\item $\forall n\in N$, $v_n=\dfrac{2^{2n}}{3^{3n}}$ ;
%\item Pour tout $n\in N$, $w_{n+1}=-w_n+3$  et $w_0=-4$;
\item $\forall n\in N$, $t_n=5^{2n+3}$ ;
\item $\forall n\in N$, $s_n=\dfrac{3n+2}{n+1}$ ;
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer la somme $ B=21+63+189+\dots+\np{137781}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bails. \\
\underline{1$^\text{er}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de 
$5\euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.
\\
\underline{2$^\text{ème}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu'à la fin du bail\footnote{Un bail est un contrat de location}.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, i.e le loyer du $36^\text{ème}$ mois.
\item Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? (\textit{Justifier par des calculs})
\end{enumerate} 
\end{ExoF}
    
     

\begin{ExoF}
     On considère la suite géométrique définie de la façon suivante :\quad $\left\{\begin{array}{l}
                                                                                    u_1=1 \\ u_{n+1}=2u_n\qquad \forall n\geq 1
                                                                                   \end{array}\right.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ ; $u_3$ ; $u_4$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ ; en déduire $u_{64}$.
\item \textbf{La légende du jeu d'échec} :\textit{ Le roi demanda à l'inventeur du jeu d'échec de choisir lui-même sa récompense. Celui-ci répondit : \og place 1 grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la deuxième case, quatre sur la troisième case, et ainsi de suite jusqu'à la $64^\text{ième}$ case. Le roi sourit de la modestie de la demande.}
\\
Calculer une valeur approchée du nombre total de grains de blé que le roi devra placer sur l'échiquier.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosphère du carbone $14$, qui est un élément radioactif. Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone $14$ que l'atmosphère. Cette proportion de carbone $14$ décroît après la mort du tissu de $1,24\%$ en $100$ ans.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $1000$ ans, de $2000$ ans et de $10000$ ans.
\item Exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $k\times 10^3$ années.
\item Un fossile ne contient plus que $10\%$ de ce qu'il devrait contenir en carbone $14$. Estimer  son âge.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $v$ une suite arithmétique de premier terme $v_0$ et de raison $q$. Dans chaque cas, préciser 
si la suite $v$ admet une limite. Si oui, la déterminer.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $v_0=2$ et $q=3$ ;
\item $v_0=2$ et $q=-3$ ;
\item $v_0=-2$ et $q=0.5$ ;
\item $v_0=3$ et $q=-\dfrac{5}{7}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $u$ la suite arithmétique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=-10$. Soit $v$ la suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=-2$ et enfin $w$ la suite géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $w_0=5$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation des suites $u$, $v$ et $w$.
\item Déterminer les limites des suites, $u$, $v$ et $w$.
\item Déterminer le rang à partir duquel :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n\geq 10^6$ ;
\item $v_n\leq -10^6 $ ;
\item $|w_n|\leq 10^{-6}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On considère la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :
\quad $ u_{n+1}=\dfrac{5u_n}{2u_n+5}$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les $7$ premiers termes de la suite $u$ .
\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le signe de $u_n$, le sens de variation et la convergence de $u$ ?
\item Calculer les $7$ premiers termes de la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite $v$ ?
\end{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $v$ est une suite arithmétique. On donnera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Etudier le comportement à l'infini de la suite $v$, puis celui de la suite $u$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On partage un carré de côté $1$ en quatre carrés de même taille et on noircit le carré inférieur gauche. 
 On applique le même procédé au carré en haut à droite. Et ainsi de suite. 
 Quelle sera l'aire de la partie noire lorsqu'on poursuit indéfiniment la construction ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Soit la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_0=1000$ et $v_{n+1}=1,005\times v_n+30$\\
\begin{minipage}{10cm}
 On considère l'algorithme  ci-contre.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Faire fonctionner l'algorithme pour $n=4$. Obtient-on $v_4$ ?
\item Transformer l'algorithme de façon à obtenir $v_n$ en fonction de $n$
\item Programmer cet algorithme et déterminer $v_{60}$
\end{enumerate}
\item On considère la suite $u$ définie par $u_n=v_n+6000$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $u$ est géométrique. 
\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier le résultat 
de la question précédente.
\end{enumerate} 
\item On place $1000$ \euro sur un livret qui rapporte $0,5\%$ par mois, à la fin de chaque mois, 
on y verse, en plus, la somme de $30$\euro.
\end{enumerate} 
\end{minipage} \quad
 \begin{minipage}{9cm}
\Algo{9cm}{
\Var{ 
 $S \in \R$ ;  $n$ et $k$ sont des nombres entiers naturels.
}
\Deb{Saisir $n$\\
$S:=1000$ et $k:=0$\\
  \While{$k<n$}
{$k:=k+1$ et $S:=1,005\times S$}
Afficher $S$.
}
}
 \end{minipage}
   Ce livret est bloqué pour $5$ ans, ce qui signifie que, sur cette 
période, il est impossible de retirer de l'argent.
Donner la somme présente sur ce livret au terme du contrat.
\end{ExoF}

\newpage
\section*{Des exercices donnés en devoir}

\Exop[2 points]{
Calculer les sommes suivantes : \quad 
$S_1=1+2+3+\dots + 2014+2015 \qquad \qquad \qquad \qquad 
S_2=6+18+54+\dots +354\,294$\\
\textit{On prendra soin de rédiger la réponse clairement. 
Notamment, pour $S_2$, on justifiera la formule utilisée en précisant la suite considérée ainsi que sa nature.}
}


\Exop[6 points]{
On souhaite construire un château de cartes à $n$ niveaux ($n\geq 1$). 
On a représenté ci-dessous un château à quatre niveaux. 
On appelle $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite dont chaque terme $u_n$ est égal au 
nombre de cartes du niveau $n$ en partant d'en haut. Ainsi $u_1=2$ et $u_2=5$.
}
\begin{minipage}{13.8cm}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $u_3$ et $u_4$ grâce au dessin.
 \item Donner la nature de la suite $(u_n)$ ainsi que ses éléments caractéristiques \textit{(inutile de justifier)}.\\
\textbf{A partir de maintenant, toutes les réponses doivent être justifiées par  des formules du cours et des calculs.}
% \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
 \item \begin{enumerate}
        \item Combien de niveaux aura un château dont la dernière rangée est composée de $23$ cartes ? 
 \item En déduire le nombre de cartes d'un tel château. 
        \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
       \item Exprimer le nombre $S$ de cartes d'un château à $n$ niveaux en fonction de $n$.\\
\textit{On prendra soin à n'avoir plus que la lettre $n$ dans l'expression de $S$.}
 \item Quelle est le nombre de niveaux du plus grand château que l'on peut fa\-briquer si l'on dispose de $500$ cartes ?
 \item Quelle sera alors le nombre de cartes de la rangée du bas ?
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{4cm}
 \includegraphics[scale=0.65]{chateau_carte.eps}
\end{minipage}




\Exop[2 points]{
La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{20}=10$ et $u_{34}=-18$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la raison $r$ et $u_0$.
 \item Calculer la somme $S=u_{50}+u_{51}+ \dots + u_{100}$
\end{enumerate}
}



\Exop[5 points]{
Un capital $C_0=10\,000 \euro$ est placé sur un compte coûtant $20 \euro$ par an pour frais de gestion, puis
rapportant $4\%$ à la fin de chaque année. On nomme $C_n$ le montant disponible sur le compte à la fin de la $n^{eme}$ année, 
après le versement des intérêts.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer $C_1$ puis $C_2$.
 \item Justifier que pour tout $n\geq 0$ on a $C_{n+1}=1.04C_n - 20.8$
       \end{enumerate}
 \item On pose $u_n=C_n-520$ pour tout $n\geq 0$.
 \begin{enumerate}
        \item Pour tout $n\geq 0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
 \item En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et donner ses éléments caractéristiques.
 \item Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$, puis $C_n$ en fonction de $n$.
       \end{enumerate}
\item Afficher sur votre calculatrice les premiers termes de la suite $(C_n)$ et en déduire au bout de combien
d'années le capital aura au moins doublé.
\end{enumerate}
}

\end{document}