\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\num}{8}
\newcommand{\ch}{Chapitre \num}
\newcommand{\Ch}{Loi Binomiale}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex


\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\dfrac34$.\hfill 
 On donne $\binom{6}{2}=15$.
 \begin{enumerate}
  \item Donner sous forme de fraction irréductible les probabilités $P(X=0)$, $P(X=1)$ et $P(X=2)$.
  \item En déduire $P(X\geq 3)$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac25$.\\
 Sachant que $E(X)=4$, calculer l'écart-type de $X$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $16$ et $p\leq \dfrac12$.\\
 Sachant que $\sigma(X)=1$, calculer l'espérance de $X$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 En syldavie, Norbert fait participer son chat Banshee au jeu des \og lancers de souris \fg.\\
Le jeu consiste à lancer \textbf{quatre fois} fois une souris en l'air et à tenter de la rattraper.
Banshee estime que sa probabilité de rattraper une souris est toujours égale à $\dfrac35$\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de souris rattrapée par Banshee 
lors d'une épreuve (donc lors de \textbf{quatre} lancers).
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de $X$. Justifier.
   \item Calculer la probabilité que Banshee rattrape au moins une souris.
   \item Calculer la probabilité que Banshee rattrape exactement 1 souris.
   \item Calculer la probabilité que Banshee rattrape exactement 2 souris.
   \item Calculer $E(X)$. Interpréter.
    \item Calculer $\sigma(X)$. Banshee est-il régulier ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans une loterie, à chaque jeu on a $5\%$ de chance de gagner. On décide de jouer $n$ fois 
 (avec $n$ entier naturel non nul).  Chaque jeu est indépendant des autres. \\
 Soit $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où on gagne à cette loterie lors des $n$
 jeux. 
 \begin{enumerate}
  \item Quelle loi suit $X$ ? Donner ses paramètres.
  \item Montrer que $P(X>0)=1-0.95^n$
  \item A l'aide d'un tableau de valeurs à la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ pour laquelle 
  $P(X>0)\geq 0.5$.
  \item Interpréter cette valeur trouvée dans le contexte de l'exercice.
 \end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Donner sans calcul la valeur des coefficients binomiaux suivants :
 $$\binom{12}{1} \qquad \binom{17}{16} \qquad \binom{827}{1} \qquad \binom{12358}{0} \qquad \binom{4651}{4651}$$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Sachant que $\binom{101}{2}=5050$, donner la valeur des coefficients binomiaux suivants sans utiliser la calculatrice :
 $$\binom{101}{99} \qquad \binom{102}{2} \qquad \binom{102}{100}$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 A l'aide du triangle de Pascal, déterminer un coefficient binomial auquel chacun de ces nombres 
 correspond en prenant la plus petite valeur de $n$ possible : 
 $$6 \qquad 5 \qquad 15 \qquad 35 \qquad 70 $$
 En proposer alors deux autres évidents.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Le druide de Gattaca a besoin pour préparer sa potion magique de champignons syldave. Il envoie $11$ vaillants citoyens les chercher. Parsemé de périls et d'embuche on estime qu'un citoyen (aussi vaillant soit-il) a $2$ chances sur $17$ de périr pour aller dans la forêt et tout autant pour revenir à Gattaca.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un citoyen revienne vivant de l'excursion. \textit{on pourra s'aider d'un arbre de probabilité.}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de survivant. 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X\hookrightarrow B\left(11; \dfrac{225}{289}\right)$
\item Calculer la probabilité qu'au moins un citoyen ramène des champignons syldave nécessaire à la préparation de la potion magique.
\item Calculer $p(X=0)$ et $p(X=1)$.
\item En déduire la probabilité qu'au moins deux citoyens ramène des champignons syldave.
\item Calculer $E(X)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\item Lance, un jeune cycliste Syldave, n'a pas la permission de consommer les champignons préparé par le druide, il décide donc de se débrouiller tout seul. Pendant une semaine tous les matins, Lance part chercher les fameux champignons et revient le soir afin de les préparer et de les manger.
\\
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Lance a pu manger des champignons syldave.
\begin{enumerate}
\item Donner $p(Y=1)$ et $p(Y=2)$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ &  &  &  &  &  &  &  & \tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Le ministre syldave de l'\'Education décide de donner le bac à
80\% des enfants dès leur naissance. C'est vrai ! Pourquoi
attendre 18 ans et dépenser tant d'argent quand on est même pas
sûr du résultat, tout ça pour permettre à des profs d'être payés à
être en vacances la moitié de l'année~?
\\
Le ministre découpe donc dans du carton dix carrés numérotés de 1
à 10 et propose au nouveau-né de tirer un carton au hasard. 
\begin{itemize}
\item si c'est un multiple de cinq, il est recalé,
\item si c'est un sept,il obtient la mention <<~très bien~>>,
\item si c'est un multiple de quatre, il obtient la mention
<<~bien~>>,
\item si c'est un multiple de trois, il obtient la mention
<<~assez bien~>>
\item sinon, il obtient la mention <<~passable~>>.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité pour un nouveau-né syldave d'obtenir
le bac avec la mention <<~passable~>>.
\item Le village natal du beau-frère du  ministre attend sept naissances
pour l'année qui suit. On sait qu'il y aura trois filles et quatre
garçons\footnote{Comme chacun sait, la capitale syldave s'appelle
Gattaca}. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de
garçons bacheliers et $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de
filles bachelières parmi ces bébés.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les lois de probabilité de $X$ et $Y$.
\item Compléter les deux tableaux suivants :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(X=k)$ & 0.0016 & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & 1\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$Y$ & 0 & 1 & 2 & 3 & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ & $0,008$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & 1\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item Calculer la probabilité d'avoir plus de bachelières que de
bacheliers. (on pourra s'aider d'un arbre)
\item Calculer la probabilité pour que ce village
dépasse l'objectif du ministre.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Suite à une étude démographique  de la  Syldavie, on estime que la probabilité pour qu'un Syldave interrogé au hasard ne connaisse pas par c\oe ur les \oe uvres du GGC (Grand Guide Charismatique) est de $p$.
\\
On a classé la population en  $m$ groupes de $n$ Syldaves. On va comparer deux stratégies pour détecter les traitres incultes dans chaque groupe :
\begin{itemize}
 \item la première consiste à interroger les syldaves un par un ;
\item on suppose que les services de renseignements syldaves ont mis au point un test rapide permettant de vérifier de manière globale si un groupe contient au moins un traitre. Si ce test global est positif, alors on interroge un a un ses membres pour identifier les traitres, sinon, on passe au groupe suivant.
\end{itemize}
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de traites et $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de groupe comportant au moins un traite.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de X et donner son espérance.
\item \begin{enumerate}
\item On considère un groupe de $n$ syldaves ($Z$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de traitre dans ce groupe), démontrer que la probabilité qu'au moins un syldave soit un traitre vaut :
$$ p(Z\geq 1)=1-(1-p)^n$$
\item Expliquer pourquoi $Y\hookrightarrow B(m;1-(1-p)^n)$.
\end{enumerate}
%\env{$E(X)=n$ et $E(Y)=n+1-n(1-p)^n$}
\item On suppose à présent que $p=\dfrac{1}{100}$. Déterminer pour quelles valeurs de $n$ la deuxième méthode est plus économique.
%\env{$1\leq n\leq 643$}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Chaque crocodile qui traverse la clairière
séparant les kikis (une espèce très particulière qui vit dans le monde imaginaire des mathématiques...) du fleuve a une probabilité 1/3 de périr écrasé
par un éléphant sautant en parachute (tout est permis dans le monde imaginaire des mathématiques...). 
Un matin, 32 crocodiles quittent les kikis pour rejoindre le fleuve. On note $X$, le
nombre de victimes des éléphants parmi ces crocodiles. Les
survivants reviennent le soir par le même chemin. On note $Y$ le
nombre total de victimes. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que 22
crocodiles se baignent (sans périr) dans le fleuve.
\item Calculer la probabilité que $7$ crocodiles retournent sains et saufs le soir dans les kikis.
\item Calculer $E(Y)$. Comment interpréter ce résultat ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Un basketteur effectue une série de $7$ lancers francs. Il réussit chacun des lancers francs avec une probabilité égale à $p$.
\\
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la plus petite valeur de $p$, à $10^{-2}$ près, telle qu'on soit sûr
à plus de $99\%$ que le basketteur réussisse au moins un des sept lancers francs.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. 
 On regarde sa couleur puis on la remet dans le paquet que l'on mélange.\\
 On recommence cette expérience 8 fois de suite.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer la probabilité d'obtenir exactement 4 coeurs. \textbf{Justifier précisément !}
  \item A chaque fois qu'on tire un coeur, on gagne 3$\euro$. Dans les autres cas, on perd $1\euro$.\\
  Est-il financièrement intéressant de jouer à ce jeu ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill  \textbf{La loi géométrique tronquée}\\
L'oncle de Tatiana est accroc au jeu de grattage. Chaque semaine, il achète jusqu'à $20$ euros de 
cartes à gratter à deux euros. Il achète une première carte, la gratte. Si elle est gagnante, 
il s'arrête, sinon il en achète une seconde, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ait une carte 
gagnante ou bien qu'il ait dépensé $20$ euros. La probabilité d'avoir une carte gagnante est connu 
et vaut $0,12$.
\begin{enumerate}
\item Modéliser le début de cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Quelle est la probabilité que l'oncle achète $4$ cartes ?
\item Quelle est la probabilité que l'oncle achète $10$ cartes ?
\item Quelle est la probabilité que l'oncle ne gagne rien ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque série d'achats de la semaine, associe la somme dépensée.
\begin{enumerate}
\item Etablir la loi de probabilité de $X$.
\item Quelle est l'espérance de $X$ ? Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Algorithme}
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
 \\
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.
\begin{enumerate}
%\item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
\begin{minipage}{9cm}
 \item On considère l'algorithme ci-contre dans lequel : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
		\item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: 
\\
$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} ; L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ 
\\
$L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} ; L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? 
		\item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
	\end{enumerate} 
	\item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. 
	Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. 
\end{minipage}\qquad
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\}
{
 $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ 
   \While{$(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou  $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$}
{
$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\
 $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\
 $e := \text{rand}(1,~50)$
}
Afficher $a, b, c, d, e$
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. 
		\item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
	\\	 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item il a été contrôlé 5 fois exactement; 
\item il n'a pas été contrôlé; 
\item il a été contrôlé au moins une fois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{minipage}{9cm}
 \begin{ExoF} \hfill \textbf{Algorithme}\\
 On considère l'algorithme ci-contre.\\
  Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre affiché par cet algorithme.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit $X$ ? Donner ses paramètres.
\item Que faut-il changer dans le programme pour que les paramètres de la loi suivie par $X$ soient $10$ et $0.2$ ?
\item Programmer cet algorithme sur votre calculatrice ou sur un ordinateur.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \Algo{8cm}{
\Variable{  $A$, $i$ et $C$ sont des nombres entiers naturels.
}
\Deb{$C:=0$ \\
\For{$i$ allant de $1$ à $9$}
{$A$ prend la valeur d'un nombre entier aléatoire entre $1$ et $7$\\
\IfThen{$A>5$}
{$C:=C+1$}
}
Afficher $C$.
}
}
\end{minipage}

\section*{Un exemple de devoir}

\begin{ExoF}\hfill (2 points)\\
 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $10$ et $p$ avec $p> \dfrac12 $.\\
 Sachant que $V(X)=2$, calculer $p$ puis $E(X)$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill (8 points)\\
Le ministre syldave a supprimé la
faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca est un ancien
boxeur, à moitié-aveugle et parkinsonien. \\
Les syldaves venant le consulter se font toujours arracher une dent. \\
Le dentiste arrive à peu près à discerner la dent malade 
grâce aux indications des patients, et essaie toujours d'extraire celle-ci,
mais sa maladie le faisant trembler, il n'a qu'une probabilité de $0.4$ de réussir.\\
Le dentiste reçoit quinze clients par jour, en on note $X$ le
nombre de dents malades extraites à bon escient sur ces quinze clients.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \textit{Justifier.}
\item Calculer la probabilité pour qu'aucun des patients n'y laisse une dent malade.
\item Calculer la probabilité que le dentiste arrache exactement 11 dents malades.
\item Calculer la probabilité pour que le dentiste arrache au moins 2 dents malades.
\item Finalement, le dentiste a extrait 7 dents malades. Peut-il être satisfait de lui-même ?
\item Parmi les deux diagrammes en barres suivant, lequel peut représenter la loi de probabilité de $X$ ? \textit{Justifier}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.4]{loi1.eps} \quad \includegraphics[scale=0.4]{loi2.eps}
\end{center}
\item Avant chaque intervention, le patient paie $30 \euro$, puis 
le dentiste lui arrache une dent. Si c'est la bonne, le patient doit encore payer $20\euro$.
\begin{enumerate}
 \item Combien le dentiste peut-il espérer gagner d'argent en une journée ? Justifier.
 \item Les tremblements du dentiste empirant, sa probabilité d'extraire une dent malade risque de baisser.\\
 A partir de quelle probabilité de réussite ce métier lui permet-il de gagner plus de $510\euro$ par jour ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill (10 points)\\
Une compagnie de transports désire optimiser les contrôles afin de limite l'impact des fraudes.
 Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les 20 jours ouvrables d'un mois,
 soit au total $40$ trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité
 pour tout voyageur d'être contrôlé est égale à $p$.\\
 Un trajet côute $10 \euro$. En cas de fraude, l'amende est de $100\euro$.\\
 Théo fraude systématiquement lors des $40$ trajets étudiés (ce n'est pas bien du tout !).\\
 Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de trajets où Théo a été contrôlé.
\begin{enumerate}
 \item Quelle loi suit $X$. Justifier.
 \item On suppose que $p=0.05$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer à $10^{-4}$ près $P(X=5)$. Interpréter.
  \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au moins une fois.
  \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au plus deux fois.
  \end{enumerate}
\item Soit $Z$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par le fraudeur.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Z=400-110X$.
        \item Calculer $E(Z)$.
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item La fraude est-elle favorable ou non pour Théo ?
        \item Pour quelles valeurs de $p$ en serait-il autrement ?
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\end{document}
