\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\num}{6}
\newcommand{\ch}{Chapitre \num}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex


\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
Déterminer le(s) valeur(s) de $k$ telle(s) que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
  \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ 1 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} 5 \\ k+1 \end{array} \right)$
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} -k+1 \\ -2 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} k^2+17 \\ 5k-4 \end{array} \right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Trouver un réel $x$ tel que les vecteurs 
$\vec u  \left(\begin{array}{c} \cos^2(x) \\ -3\sin(x)+6 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} \sin(x) \\ 3 \end{array} \right)$ soient colinéaires
\item L'opposé de la valeur trouvée précédemment est-elle aussi une solution ?
\item Etes-vous capable de donner d'autres solutions ? toutes les solutions ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Tracer un quadrilatère quelconque $ABCD$.\\
Placer les milieux respectifs $I$, $J$, $K$ et $L$ des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.
\item Prouver que le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
$ABC$ est un triangle. Soient $D$ et $E$ les points tels que $\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
et $\overrightarrow{BE}=\dfrac13\overrightarrow{BC}$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AE}$.
 \item En déduire que $D$ appartient à la droite $(AE)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soient $A$ et $B$ deux points distinct du plan. On définit le point $C$ tel que $4\overrightarrow{CA}-5\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$. 
 \item Que peut-on en déduire sur les points $A$, $B$ et $C$ ? Faire une figure.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\begin{ExoF} 
%Dans le repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(6;2)$, $B(-2;-3)$ et $C(17;9)$.
%\begin{enumerate}
%\item Que dire des points $A$, $B$ et $C$ ?
%\item Si le point $D$ a pour coordonnées $(120;75)$ le quadrilatère $BADO$ est-il un trapèze ?
%\end{enumerate}
% \end{ExoF}
 
 \begin{ExoF}
 On donne les points $A(2,1)$, $B(x,4)$ et $C(x+2, 3)$.\\
 Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
\end{ExoF}

 \begin{ExoF}
 On donne les points $M(x,5)$, $A(2,4)$, $R(3,x-1)$ et $E(2,1)$.\\
 Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ les droites $(MA)$ et $(RE)$ sont-elles parallèles ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1;3)$, $C(5;-2)$ et $D\left(-2 ; -\dfrac{13}{3}\right)$. \\
 $E$ est le point  tel que $\overrightarrow{AE}=4\overrightarrow{AB}$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées du point $E$.
  \item Démontrer que les points $C$, $D$ et $E$ sont alignés.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Dans un repère orthonormé \Oij, on considère les points $A(-1;-3)$, $B(-3,3)$, $C(4;2)$ et $D(5;-1)$.\\
Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze rectangle.%\\
%\textit{Indication : on peut dessiner une figure pour savoir quels côtés sont parallèles et où est l'angle droit.}
\end{ExoF}


\noindent \begin{minipage}{8cm}
\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Dans un contexte géométrique, donner le rôle de chacune des variables de l'algorithme ci-contre.
\item Compléter l'affichage.
\item Le tester à la main avec les points $A(1;-2)$, $B(3;5)$ et $C(1;-1)$.
\item Ecrire cet algorithme sur votre calculatrice graphique.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\Algo{9cm}{
\Variable{$a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels
}
\Entree{ 
$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$, $x_C$, $y_C$ sont des nombres réels
}
\Deb{
 $x_B-x_A \longrightarrow a$ \\
Affecter à $b$ la valeur $y_B-y_A$\\
 $c$ prend la valeur $x_C-x_A$ \\
$d:=y_C-y_A$\\
\IfThenElse{ $ad-bc=0$}
{Afficher \og ...}
{Afficher \og ...}
}
}
\end{center} 
\end{minipage}


\begin{ExoF}
On considère $ABCD$ un parallélogramme non aplati.
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition des vecteurs $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{AO}$ et $\overrightarrow{BC}$ dans la base $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$.
\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{CA}$ dans chacune des bases suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)$.
\item $\left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\right)$.
\item $\left(2\overrightarrow{CB};-0,5\overrightarrow{CD}\right)$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{w}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BD}$ dans la base  $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
$ABCD$ est un rectangle. 
$E$ est le symétrique de $C$ par rapport à $B$, $F$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$, $G$ est le point tel que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item En se plaçant dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$, démontrer que $G$, $E$ et $F$ sont alignés.
\item Soit $H$ le point d'intersection de $(EF)$ et $(CD)$. Exprimer $\overrightarrow{DH}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
 


\begin{ExoF}
 Soit $EFG$ un triangle. Le point $I$ est tel que $\overrightarrow{GI}=\dfrac13 \overrightarrow{GF}$ et $H$ est 
l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FE}$. Le point $O$ est le milieu de $[EG]$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure.
 \item Expliquer pourquoi $\left(F ; \overrightarrow{FG} ; \overrightarrow{FE}\right)$ est un repère du plan.
\item En se plaçant dans ce repère, démontrer que 
les points $I$, $O$ et $H$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


%\begin{ExoF}
% $ABCD$ est un tétraèdre.
%Dans le plan $(ABC)$ on définit le point $K$ par $\overrightarrow{AK}=\dfrac23 \overrightarrow{AB} + \dfrac13 \overrightarrow{AC}$.
%\begin{enumerate}
% \item Faire un figure dans l'espace, puis une figure dans le plan $(ABC)$.
% \item En choisissant un repère du plan $(ABC)$, démontrer que $K$ appartient à $[BC]$.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}



%\Exop{
%Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ tel que $AB=6$ cm.
%\begin{enumerate}
% \item Placer les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{CE}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{FB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$
% \item Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{DF}$
%et $\overrightarrow{OE}$ dans les repères suivants :
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{3}
% \item $\left(D; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
% \item $\left(A; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
%\item $\left(C; \overrightarrow{CA} ; \overrightarrow {CB}\right)$
%\item $\left(C; \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow {CA}\right)$
%\item $\left(O; \overrightarrow{OB} ; \overrightarrow {OA}\right)$
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}

%\begin{ExoF}
%Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ ($a>0$). On considère les deux triangles équilatéraux $DCE$ et $DAF$ extérieurs au carré $ABCD$.\\
%Démontrer que les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles, en vous plaçant dans le repère orthormé 
%$\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
%\end{ExoF}




\begin{ExoF}
$ABC$ est un triangle. \\
$I$ est le milieu de $[BC]$ et $M$ est un point de la parallèle à $(AB)$ passant par $I$.\\
La parallèle à $(AC)$ passant par $I$ coupe la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ en $N$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Réaliser une figure avec un logiciel de géométrie.
\item Semble-t-il exister une position du point $M$ pour laquelle :
\begin{center}
$\rightsquigarrow M=N$ ? \qquad\qquad $\rightsquigarrow BCMN$ est un parallélogramme ?
\qquad\qquad  $\rightsquigarrow BCNM$ est un parallélogramme ?
 \end{center}
       \end{enumerate}
\item On se place dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que les coordonnées du point $M$ peuvent s'écrire $\left(k ; \dfrac12 \right)$ où $k$ désigne un nombre réel.
 \item Exprimer les coordonnées de $N$ en fonction de $k$.
 \item Justifier les conjectures émises à la question 1.b..
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}





%\begin{ExoF} 
%$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés. Les points $D$, $E$ et $F$ sont définis par :
%$$ \overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}\qquad \overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$
%Le but de l'exercice est de démontrer par deux méthodes que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés puis de comparer ces deux méthodes.\\
% Faire une figure.\\
%  \partieBac{méthode 1}
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère du plan.
%\item Déterminer les coordonnées des points $D$, $E$ et $F$ dans ce repère.
%\item En déduire celles des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ et démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
%\end{enumerate}
%  \partieBac{méthode 2}
%  \begin{enumerate}
%\item Ecrire chacun des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
%\item Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires. Conclure.
%\end{enumerate}
%  \partieBac{Comparaison des deux méthodes}
% Comparer les relations vectorielles trouvées  dans la partie B avec les coordonnées de $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ trouvées dans la partie A. Commenter.
%\end{ExoF}

\noindent \begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}
Soit $ABC$ un triangle et $a$ un réel.\\
On considère les points $P$, $Q$ et $R$ définis par :
$$ \overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}\qquad 
\overrightarrow{CQ}=a\overrightarrow{CA}\qquad \overrightarrow{CR}=a\overrightarrow{BC}$$
La figure ci-contre correspond au cas où $a=\dfrac{1}{2}$\\

Existe-t-il des valeurs de $a$ pour lesquelles les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés ?
\end{ExoF}           
          \end{minipage}
          \qquad 
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.95cm,yunit=0.95cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.98,-0.7)(4.64,4.5)
\psline(-2.44,2.68)(-0.1,3.98)
\psline(-0.1,3.98)(1.8,1.08)
\psline(1.8,1.08)(-2.44,2.68)
\psplot{0.85}{4.64}{(--3.64-1.45*x)/0.95}
%\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x](-2.44,2.68)
\rput[bl](-2.68,2.74){$A$}
\psdots[dotstyle=x](-0.1,3.98)
\rput[bl](-0.02,4.06){$B$}
\psdots[dotstyle=x](1.8,1.08)
\rput[bl](1.88,1.16){$C$}
\psdots[dotstyle=x](-1.27,3.33)
\rput[bl](-1.3,3.5){$P$}
\psdots[dotstyle=x](-0.32,1.88)
\rput[bl](-0.24,1.96){$Q$}
\psdots[dotstyle=x](2.75,-0.37)
\rput[bl](2.84,-0.3){$R$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}




\begin{ExoF}
Soit un triangle $RST$ et $K$ le milieu de $[RS]$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Construire les points $H$ et $L$ tels que :
$$ \overrightarrow{TH}=-3\overrightarrow{TR}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{SL}=-2\overrightarrow{ST}$$
\item Montrer que $\overrightarrow{TR}+\overrightarrow{TS}=2\overrightarrow{TK}$.
\item Décomposer le vecteur $\overrightarrow{HL}$ dans la base $\left(\overrightarrow{TR} ; \overrightarrow{TS}\right)$
\item En déduire que $(HL)$ et $(TK)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} 
Construire un triangle $ABC$, puis les points $D$, $E$ et $F$ tels que 
$\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}$.\\
\textit{Le but de cet exercice est de démontrer par deux méthodes différentes que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Décomposer $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.
\item Démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\item La parallèle à $(DE)$ passant par $C$ coupe $[AB]$ en un point $I$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $E$ est le milieu de $[AI]$.
\item En déduire que $I$ est le milieu de $[EB]$.
\item Démontrer alors que la droite $(CI)$ est parallèle à la droite $(FD)$. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On considère un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ du plan. 
 \begin{enumerate}
 \item On considère les points $A(2;-3)$ et $B(4;-5)$.\quad 
Donner trois vecteurs directeurs de la droite $(AB)$.
  \item Déterminer trois équations cartésiennes 
de la droite $d$ passant par  $C(2;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-1;2)$.
 \item Donner une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $D(5;-1)$ et parallèle à la droite 
 $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x-7y=2$.
\item La droite $d$ est-elle parallèle à la droite $d_2$ dont l'équation réduite $y=-\dfrac{2}{7}x+3$.\\
Si non, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Quel est le coefficient directeur d'une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ avec :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}(1;-3)$
\item $\vec{u}(-2;4)$
\item $\vec{u}(5;-2)$
\item $\vec{u}\left(\dfrac{1}{4};2\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $d$ la droite d'équation $2x-3y=-7$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Le point $A(-2;1)$ appartient-il à $d$ ?
\item Même question avec $B\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{2}\right)$ et $C\left(3;\dfrac{13}{3}\right)$.
\item Trouver l'ordonnée du point $E\in d$ d'abscisse $-\dfrac{2}{7}$.
\item Trouver l'abscisse du point $F\in d$ d'ordonnée $\dfrac{1}{5}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Placer les points $A(-2;4)$, $B(2;2)$, $C(-5;0)$ et le point $D$ tel que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
\item Déterminer les coordonnées de $D$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $d:6x+y=14$.\quad
Vérifier que $B$ et $D$ appartiennent à $d$.
\item Trouver une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
\item Prouver que $(BD)$ et $(AC)$ sont sécantes.
\item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $E$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $K$ milieu de $[AB]$ et de $L$ milieu de $[CD]$.
\item Démontrer que les points $E$, $K$ et $L$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $m$ un réel et $d$ la droite d'équation $ x+my+3=0$
Peut-on trouver $m$ tel que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}(3;2)$ soit un vecteur directeur de $d$.
\item $A(-2;3)$ appartienne à $d$.
\item $d$ soit parallèle à la droite d'équation $3x-y=0$.
\item $d$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
\item $d$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.
\item $d$ passe par l'origine du repère.
\item $d$ passe par le point $J(0;1)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Dans un repère du plan $(O;\vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(3;4)$, $B(1;-1)$ et $C(6;-2)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le milieu $I$ de $[AC]$ et parallèle à $(AB)$.
\item $\Delta$ est la droite d'équation $-16x+y=-98$
\begin{enumerate}
\item Prouver que $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $D$ de coordonnées à déterminer.
\item Montrer que le milieu $J$ de $[DC]$ est un point de $d$ de deux manières différentes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} 
Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB)$ soit parallèle à $(CD)$. \\
Soit $M$ le point 
d'intersection des droites $(AD)$ et $(BC)$. \\
Soit $I$ le milieu du côté $[AB]$ et $J$ celui du côté $[CD]$. \\
On nomme $K$ le point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$. \\
On veut démontrer que $M$, $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ est un repère.
\item Donner les coordonnées de $A$, $B$, $D$ et $I$ dans ce repère.
\item On nomme $a$ l'abscisse du point $C$ dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$. Déterminer, en fonction de $a$, les coordonnées de $C$ et de $J$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BC)$ et en déduire les coordonnées de $M$.
\item Montrer que les points $M$, $I$ et $J$ sont alignés.
\item Déterminer une équation cartésienne de $(BD)$ et de $(AC)$. En déduire les coordonnées de $K$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{ExoF}






\end{document}
