\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\Ch}{Variations de fonction}
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{5}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\section{Racine carré}

\begin{ExoF}
On a représenté graphiquement dans un repère les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(x)=\sqrt{x+2}$
\item $g(x)=\sqrt{2-x}$
\item $h(x)=\sqrt{x}-2$
\item $k(x)=\sqrt{x^2+1}$
\end{itemize}
\end{multicols}
Associer à chacune de ces fonctions la représentation graphique qui lui correspond, \textbf{sans calculatrice}.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqcccc}{0 0.8 0.8}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-1.999999872000013}{8.5}{(x+2)^0.5}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{3.1527648910790768E-15}{8.5}{x^0.5-2}
\psplot[linecolor=qqzzqq,plotpoints=200]{-4.3}{1.999999999999993}{(2-x)^0.5}
\psplot[linecolor=qqcccc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2+1)^0.5}
\rput[tl](-3.24,4.04){$\qqcccc{\mathscr C_1}$}
\rput[tl](-4,2.24){$\qqzzqq{\mathscr C_2}$}
\rput[tl](5.4,2.64){$\qqqqcc{\mathscr C_3}$}
\rput[tl](2,-0.76){$\zzqqqq{\mathscr C_4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Déterminer l'ensemble de définition  pour la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
\item $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+5}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


%\begin{ExoF}
% Etudier les ensembles de définitions et les variations des fonctions $f$ définies par :
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $f(x)=\sqrt{5x-1}$
%\item $f(x)=\sqrt{1-5x}$
%\item $f(x)=\sqrt{7x-9}-2$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$x$ et $y$ sont des nombres réels.\\
}
{
Entrer $x$ \\
  \IfThenElse{ $x>1$ }
{$y:=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$}
{Afficher \og impossible \fg.}
Afficher $y$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Tester cet algorithme pour les valeurs suivantes de $x$ : $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ et $5$.
\item Expliquer les réponses obtenues pour les valeurs de $-1$, $0$ et $1$ de $x$.
\item Déterminer l'expression algébrique, donnant $y$ en fonction de $x$, définie par cet algorithme, 
ainsi que l'ensemble $\mathscr D$ des réels $x$ pour lesquels elle est définie.
\item Démontrer par inégalités successives que la fonction définie sur 
$\mathscr D$ par $x\longmapsto y$ est décroissante.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Donner le signe de la fonction $\Phi$ définie sur $[0;+\infty[$ par $\Phi(x)=\sqrt{x}-x^2$
\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
% \begin{enumerate}
% \item Donner le tableau de signes de la fonction $\Psi$ définie sur $\R$ par $\Psi(x)=x^{n+1}-x^n$,
% en fonction de $n$.
% \item En déduire celui de la fonction $\xi$ définie sur $\R^*$ par $\xi(x)=\dfrac{1}{x^{n+1}}-\dfrac{1}{x^n}$, en fonction de $n$.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

%\newpage

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\sqrt{4x+5}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer son ensemble de définition $\mathscr D_f$.
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $\mathscr D_f$
\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=f(n)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les premiers termes de la suite $u$.
\item Démontrer que la suite $u$ est croissante.
\end{enumerate}
\item Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_{n+1}=f(v_n)$ et $v_0=-1$
\begin{enumerate}
\item Placer sur l'axe des abscisses les premiers de la suite $v$ en s'aidant de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ donné ci-dessous puis conjecturer le sens de variation et la limite de $v$.
\item Démontrer que si $v_n<v_{n+1}$ alors $v_{n+1}<v_{n+2}$.
\item Vérifier que $v_0<v_1$ ; en déduire le sens de variation de  $v$.
\end{enumerate}
\item Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_{n+1}=f(w_n)$ et $w_0=10$
\begin{enumerate}
\item Placer sur l'axe des abscisses les premiers de la suite $w$ en s'aidant de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ donné ci-dessous puis conjecturer le sens de variation et la limite de  $w$.
\item Démontrer que si $w_n>w_{n+1}$ alors $w_{n+1}>w_{n+2}$.
\item Vérifier que $w_0>w_1$ ; en déduire le sens de variation de la suite $v$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1)(8.5,8.6)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{8}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.5,-2.59999)(8.5,8.59999)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%\uput[-90](-1,0){\small $v_0$}
\end{pspicture*}

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1)(11.5,8.6)
\def\xmin{-2} \def\xmax{11} \def\ymin{-1} \def\ymax{8}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.5,-2.59999)(15.5,10.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{10}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{10}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%\uput[-90](10,0){\small $w_0$}
%\uput[180](0,6.7082){\small $u_1$}
%\uput[-90](6.7082,0){\small $u_1$}
\end{pspicture*}


\end{center}
\end{multicols}

%\newpage

\begin{ExoF}\\
 \partieBac{Une fonction auxiliaire}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2+4x+5$
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
$$ \forall x\in\R, \quad x^2+4x+5=(x+2)^2+1$$
\item En déduire que :
$$ \forall x\in\R, \quad g(x)\geq 0$$
\item Dresser le tableau de variation de $g$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une fonction composée}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $f$ est définie sur $\R$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ par inégalités successives
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\section{Valeurs Absolues}
 \begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivant, écrire $f$ sans valeur absolue puis faire un schéma de sa 
représentation graphique :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{1}{|x|}$ sur $\R^*$
\item $f(x)=x|x|$ sur $\R$
\item $f(x)=\dfrac{x}{|x|}$ sur $\R^*$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $I$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $|x-2|=3$ avec $I=\R$
\item $|x+5|=|3-x|$ avec $I=\R$
\item $\left|\cos x-\dfrac{1}{2}\right|\leq 1$ avec $I=]-\pi;\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|x|+|2x-4|$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, suivant les valeurs de $x$, l'expression de $|x|$, de $|2x-4|$, sans utiliser les valeurs absolues.\\
 En déduire l'expression de $f$ en fonction de $x$, sans valeur absolue.\\
\textit{On pourra présenter les résultats dans un tableau.}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation.
\item Résoudre l'équation $f(x)=3$.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal, d'unité graphique 1 cm.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=|3x|-|2x-2|+2-x$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer, suivant les valeurs de $x$, l'expression de $f$ sans valeur absolue.
 \item Dresser le tableau de variations de $f$.
 \item Résoudre l'inéquation $f(x)>4$, puis $f(x)\geq 4$.
 \item Tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ 
 dans un rep\`ere orthonorm\'e d'unit\'e graphique 1 cm.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\section{Tableau de variations et notion de limite}


%\begin{ExoF}
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=5x-1$ ainsi que les fonctions  
%$g$, $h$, $k$, $l$, $m$, $n$, $p$ et $q$ définies par :
%\begin{multicols}{3}
%\begin{itemize}
% \item $g(x)=|f(x)|$ \item  $h(x)=f\left(|x|\right)$
% \item $k(x)=\sqrt{f(x)}$ \item  $l(x)=f\left(\sqrt{x}\right)$
%\item $m(x)=f^2(x)$ \item  $n(x)=f\left(x^2\right)$
%\item $p(x) =\dfrac1{f(x)}$ \item  $q(x)=f\left(\dfrac1x\right)$
%\end{itemize} 
%\end{multicols}
%Déterminer les tableaux de variation de toutes ces fonctions.
%\end{ExoF}





\begin{ExoF}
En utilisant la méthode \og des tableaux de variations successifs \fg, dresser 
les tableaux de variations des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto 6-2|x|$  
\item $f:x\longmapsto |-2x+4|$  
%\item $f:x\longmapsto \dfrac{1}{(x-7)^2}$ 
%%\item $f:x\longmapsto \sqrt{5-x^2}$ 
\item $f:x\longmapsto \dfrac{-5}{|3x-4|}$ 
\item $f:x\longmapsto 1-\dfrac3{\sqrt{x^2-5}}$ 
%%\item $f:x\longmapsto 2|x|-6$ 
%%\item $f:x\longmapsto |x^2-2|$
\item $f:x\longmapsto \left(\sqrt{-2x+4}\right)^2$
\item $f:x\longmapsto \sqrt{\left(-2x+4\right)^2}$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


%\newpage
\begin{ExoF}
Soit $u$ une fonction polynôme de degré 2 de forme développé $u(x)=ax^2+bx+c$. \\
On donne son tableau de variations ci-dessous.
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations de $u$/1.5%,Variations de $\sqrt{u}$/1.5, Variations de $\dfrac1u$/1.5, Variations de $|u|$/1.5
}{$-\infty$,$1$, $4$, $\dots$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- / , R / ,+ /$18$, R/,-/ }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la seconde racine de $u$.
 \item Déterminer $a$. 
 \item En déduire la forme factorisée de $u$, puis sa forme canonique et enfin sa forme développée.
 \item Etablir les tableaux de variations des fonctions $g=\sqrt{u}$ , $h=\dfrac1u$ et $k=|u|$
 sur le plus grand ensemble possible.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\textbackslash \{3\}$ par \quad 
$f(x)=\dfrac{x^2-5x+5}{x-3}$\\
On souhaite étudier la position de la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ par rapport à la droite $d$ d'équation $y=x-2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)-(x-2)= -\dfrac{1}{x-3}$.
\item Etudier le signe de $-\dfrac1{x-3}$.
\item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathscr C$ et de la droite $d$.
\item Conjecturer la façon dont évolue la valeur de $f(x)-(x-2)$ lorsque $x$ devient grand 
\footnote{On pourra faire les calculs pour $x=10^2$, $x=10^3$ et $x=10^6$. Noter que ceci ne constitue absolumment pas une démonstration !}
\\
Interpréter géométriquement ce phénomène.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par :
\qquad $ g(x)=x-4\sqrt{x}+4$
\begin{enumerate}
\item \og $g$ est la somme de fonctions monotones sur l'intervalle $[0;+\infty[$, elle est donc monotone sur cet intervalle.\fg{}\\
Que penser de cette affirmation ?
\item Montrer que \quad $ \forall x\in [0;+\infty[, \quad g(x)=\left(\sqrt{x}-2\right)^2$
\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition.%\footnote{On pourra utiliser les variations de $f$ en raisonnant successivement dans l'intervalle $[0;4]$ puis dans l'intervalle $]4;+\infty[$}
\item La fonction $g$ admet-elle un minimum ? Si oui lequel ?
\item \begin{enumerate}
 \item Traduire en langage courant la proposition :
$$ \forall M\geq 0, \exists x_0\in [0;+\infty[, \forall x \geq x_0 \text{ on a } g(x)\geq M$$
 \item Démontrer cette proposition. 
 \footnote{Autrement dit, pour un $M$ quelconque fixé, 
 trouver une valeur de $x_0$ (en fonction de $M$) qui convienne}
\item Quelle nouvelle information, relative au tableau de variations de la fonction $f$, cette proposition apporte-t-elle ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\newpage

\section{Valeurs Absolues : Applications aux limites de suites}

\begin{ExoF}
On considère les suites $u$, $v$ et $w$ définies par  :
$$u_n=1+\dfrac{2}{n}\qquad\text{;}\qquad  v_n=\dfrac{7}{n}-3\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{5}{n+1} $$
\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n\qquad\text{;}\qquad \lim\limits_{n\to +\infty}v_n\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{n\to +\infty} w_n $$
\item Soit $\epsilon$ un nombre réel strictement positif, on considère les équations $(E)$, $(F)$ et $(G)$ suivantes :
$$ (E) :|u_n-1|\leq \epsilon \qquad\text{;}\qquad (F) : |v_n+3|\leq \epsilon \qquad \text{et}\qquad (G) : |w_n|\leq \epsilon$$
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations $(E)$, $(F)$ et $(G)$ pour $\epsilon=0,1$ et $\epsilon=10^{-3}$
\item On considère les deux algorithmes suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u\in \R$ et $n\in \N^*$.\\
}
{
$u:=3$ \\
$n:=1$\\
  \While{ $|u-1|>\epsilon$ }
{$n:=n+1$
\\
$u:=1+\dfrac{2}{n}$}
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$v\in \R$ et $n\in \N^*$.\\
}
{
$uv=4$ \\
$n:=1$\\
  \While{ $|v+3|>\epsilon$ }
{$n:=n+1$
\\
$v:=\dfrac{7}{n}-3$}
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\end{multicols}
Qu'affiche ces deux algorithmes lorsque l'utilisateur entre $\epsilon=0,1$ puis lorsqu'il entre $\epsilon=10^{-3}$ ?
\item Ecrire un algorithme permettant d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $ |w_n|\leq \epsilon$
\item Résoudre l'équation $(E)$. Qu'a-t-on démontré ?
\item De la même manière résoudre les équations $(F)$ et $(G)$ et préciser les résultats ainsi démontrés
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}















\end{document}
